Comment effectuer le test des suites dans R

Dans le champ de l’analyse statistique moderne et de l’épistémologie des sciences empiriques, l’évaluation de l’indépendance stochastique constitue une étape méthodologique fondamentale, conditionnant la validité de l’ensemble des inférences ultérieures. Bien que les chercheurs consacrent une énergie considérable à vérifier l’hypothèse de normalité distributionnelle ou l’homogénéité des variances, l’hypothèse sous-jacente d’indépendance sérielle des observations est trop fréquemment admise sans vérification empirique formelle. Or, la violation de cette indépendance compromet gravement les estimations de l’erreur type, gonfle artificiellement le taux d’erreur de première espèce et vicie les conclusions tirées des modèles statistiques tant paramétriques que non paramétriques.

Le test des suites, originellement conceptualisé par Abraham Wald et Jacob Wolfowitz, s’érige comme l’un des instruments non paramétriques les plus élégants et polyvalents pour sonder la structure séquentielle d’un ensemble de données. En s’affranchissant totalement des postulats distributionnels restrictifs inhérents aux approches gaussiennes, cette méthode statistique évalue si l’agencement temporel ou spatial d’éléments dichotomiques dévie significativement d’un processus purement aléatoire. Que ce soit pour auditer les résidus d’une régression linéaire, diagnostiquer des biais cognitifs dans la génération humaine de séquences aléatoires, ou valider l’absence d’effets d’ordre au sein de protocoles expérimentaux complexes, le test des suites offre une rigueur analytique indispensable.

L’environnement de programmation statistique R s’impose aujourd’hui comme le standard international pour l’implémentation de ces protocoles non paramétriques. Grâce à une architecture modulaire et à la disponibilité d’extensions spécialisées telles que snpar, randtests ou encore tseries, le praticien dispose d’un écosystème computationnel d’une précision remarquable. Ce guide exhaustif a pour vocation d’exposer de manière approfondie les soubassements théoriques, les modélisations mathématiques, les procédures d’implémentation algorithmique et les stratégies d’interprétation clinique et psychométrique nécessaires pour maîtriser le test des suites dans l’environnement R.

1. Fondements théoriques et épistémologiques du test des suites

1.1 Définition formelle d’une suite et concept de séquençage aléatoire

D’un point de vue strictement mathématique, une suite, traditionnellement désignée sous l’anglicisme run, se définit comme une séquence ininterrompue d’éléments identiques partageant un même attribut qualitatif ou quantitatif, précédée et suivie par des éléments d’une nature différente ou par les bornes terminales de l’échantillon. Soit une suite finie d’observations binaires ordonnées chronologiquement ou spatialement. Si nous observons une alternance d’états représentés par les symboles A et B, une sous-séquence continue telle que AAA constitue une suite unique de longueur trois, tandis qu’un basculement vers B inaugure immédiatement une nouvelle suite. L’analyse du nombre total de suites observées au sein d’une série donnée constitue la matière première à partir de laquelle s’élabore le jugement statistique d’aléatoirité.

Cette approche permet d’établir une ligne de démarcation épistémologique nette entre un processus stochastique indépendant et identiquement distribué et un processus doté d’une mémoire sérielle, qu’elle soit de nature markovienne ou autorégressive. Dans un processus stochastique indépendant, l’état observé à l’indice temporel t n’apporte strictement aucune information prédictive sur l’état qui émergera à l’indice t+1. En revanche, lorsqu’une dépendance sérielle s’installe, le système conserve une rémanence de ses états antérieurs, ce qui modifie la probabilité de transition entre les catégories. Le test des suites quantifie précisément cette dynamique de transition à travers l’observation macroscopique du dénombrement des suites.

Sur le plan historique, le test trouve ses lettres de noblesse dans les travaux fondateurs publiés en 1940 par Abraham Wald et Jacob Wolfowitz au sein des Annals of Mathematical Statistics. Conçu initialement comme un test non paramétrique bilatéral destiné à éprouver l’hypothèse selon laquelle deux échantillons continus indépendants sont issus d’une même population parente continue, le test de Wald-Wolfowitz a rapidement révélé son immense valeur heuristique en tant qu’épreuve générique d’aléatoirité séquentielle. En statistique industrielle et en contrôle de la qualité, les pionniers de l’échantillonnage de réception ont rapidement adopté cette technique pour s’assurer que les fluctuations observées le long des chaînes de production ne découlaient pas d’une dérive systématique de l’outillage ou d’une périodicité masquée dans l’approvisionnement en matières premières.

1.2 Formulation rigoureuse des hypothèses nulle et alternative

La formalisation inférentielle du test des suites repose sur la définition minutieuse de l’espace des hypothèses. L’hypothèse nulle, conventionnellement notée H0, stipule que les observations de la séquence ont été générées par un processus stochastique mutuellement indépendant et identiquement distribué, ce qui implique que chaque permutation possible des observations observées est rigoureusement équiprobable. Sous H0, l’ordre d’apparition des éléments est entièrement gouverné par le hasard pur, conditionnellement aux effectifs marginaux des deux catégories considérées. Il n’existe donc aucun couplage dynamique, aucune mémoire temporelle et aucune influence réciproque entre les unités d’observation successives.

À l’opposé, l’hypothèse alternative générale, notée Ha, affirme l’absence de génération aléatoire indépendante, signifiant que la structure séquentielle observée s’écarte des lois de la combinatoire stochastique. Toutefois, cette hypothèse alternative peut se décliner sous une forme bilatérale ou sous deux variantes unilatérales aux implications interprétatives radicalement divergentes. L’hypothèse alternative bilatérale postule simplement que le nombre observé de suites diffère significativement de l’espérance mathématique théorique, sans préjuger de la direction de cette déviation. C’est l’approche privilégiée lors d’un audit exploratoire global d’une série chronologique.

Les variantes unilatérales exigent une attention analytique accrue en raison de leur sens théorique direct. D’une part, l’hypothèse alternative unilatérale à gauche (nombre de suites anormalement bas) révèle une tendance à l’agrégation, fréquemment désignée par le terme de regroupement sériel ou clustering. Cette condition traduit une inertie temporelle, une persistance d’état ou une tendance déterministe sous-jacente qui maintient le système dans une modalité donnée bien plus longtemps que le hasard ne le permettrait. D’autre part, l’hypothèse alternative unilatérale à droite (nombre de suites anormalement élevé) dénote une hyper-alternance ou une sur-dispersion séquentielle, caractérisée par des basculements d’états frénétiques. Le rejet de l’hypothèse nulle impose au chercheur une révision drastique de sa stratégie de modélisation, interdisant l’usage naïf de modèles supposant l’indépendance sous peine de produire des inférences fallacieuses.

1.3 Pertinence du test en psychométrie et sciences comportementales

Dans le domaine de la psychométrie et de la psychologie computationnelle, le respect de l’indépendance sérielle s’avère critique lors de l’administration de protocoles expérimentaux répétés et de questionnaires séquentiels informatisés. Lorsqu’un participant est exposé à une batterie d’items évaluant une dimension latente, les paradigmes psychométriques classiques postulent que la réponse apportée à l’item k ne dépend que du trait latent du sujet et des propriétés intrinsèques de l’item. Toutefois, l’intervention d’effets de contamination séquentielle, tels que des stratégies de réponse mécaniques ou des phénomènes de halo temporel, induit des dépendances sérielles que le test des suites permet de diagnostiquer de manière robuste sans nécessiter l’estimation lourde de modèles autorégressifs latents.

Un pan entier de la recherche en sciences cognitives s’est appuyé sur le test des suites pour analyser la production subjective de hasard chez l’être humain, notamment à travers les paradigmes de génération aléatoire (random number generation tasks). De multiples travaux empiriques ont documenté l’incapacité fondamentale du cerveau humain non entraîné à simuler fidèlement le hasard stochastique. En raison de biais cognitifs prégnants, tels que le sophisme du joueur (gambler’s fallacy) ou la représentativité heuristique documentée par Kahneman et Tversky, les individus tendent systématiquement à sous-estimer la probabilité de survenue de longues suites identiques. En conséquence, les séquences générées manuellement par des sujets humains exhibent presque systématiquement une sur-représentation du nombre de suites par rapport aux attentes mathématiques, trahissant une éviction active des répétitions.

Par ailleurs, sur le plan méthodologique de l’expérimentation comportementale, le test des suites s’avère un instrument de veille indispensable pour contrôler les artéfacts d’apprentissage, d’habituation ou d’épuisement attentionnel. Dans les épreuves évaluant les temps de réaction continue ou la discrimination perceptive, une dérive progressive des performances se traduit immédiatement par une sous-dispersion du nombre de suites dès lors que les données sont dichotomisées par rapport à la médiane. Vérifier systématiquement l’absence de structure séquentielle pathologique au sein des séries de données comportementales constitue donc un prérequis épistémologique absolu avant de déployer des analyses inférentielles fondées sur la théorie générale des modèles linéaires.

2. Modélisation mathématique et distribution de la statistique de test

2.1 Distribution d’échantillonnage exacte sous l’hypothèse nulle

La théorie du test des suites repose sur une dérivation combinatoire exacte établie sous l’hypothèse nulle d’indépendance conditionnelle. Considérons un échantillon global comprenant N observations ordonnées, réparties de façon dichotomique en deux catégories mutuellement exclusives. Notons n1 l’effectif total d’éléments appartenant à la première classe (par exemple le symbole positif ou la valeur 1) et n2 l’effectif associé à la seconde classe (le symbole négatif ou la valeur 0), de telle sorte que la relation N = n1 + n2 soit rigoureusement satisfaite. Le nombre total de configurations séquentielles ordonnées distinctes pouvant être formées à partir de ces éléments correspond au coefficient binomial du nombre de combinaisons possibles :

Nombre total d’arrangements = C(N, n1) = N! / (n1! * n2!)

Sous l’hypothèse nulle, chacune de ces permutations équiprobables possède la même probabilité d’occurrence théorique. La variable aléatoire R, désignant le nombre total de suites observées le long de la séquence, obéit à une loi de distribution discrète exacte dont la masse de probabilité s’exprime analytiquement selon que la valeur réalisée r est paire ou impaire. Lorsque r est un nombre pair de la forme r = 2k, la séquence doit impérativement comporter k suites composées d’éléments du premier type et k suites composées d’éléments du second type. Le calcul combinatoire des partitions d’entiers permet d’établir la probabilité exacte suivante :

P(R = 2k) = 2 * C(n1 – 1, k – 1) * C(n2 – 1, k – 1) / C(N, n1)

À l’inverse, lorsque le nombre de suites observées r est impair, prenant la forme r = 2k + 1, le motif séquentiel implique nécessairement un déséquilibre unitaire entre le nombre de sous-séquences de chaque catégorie (soit k+1 suites pour la première et k pour la seconde, ou réciproquement). La fonction de masse de probabilité s’écrit alors formellement :

P(R = 2k + 1) = [C(n1 – 1, k) * C(n2 – 1, k – 1) + C(n1 – 1, k – 1) * C(n2 – 1, k)] / C(N, n1)

À partir de cette distribution d’échantillonnage exacte, les moments fondamentaux de la variable aléatoire R peuvent être déduits analytiquement. L’espérance mathématique du nombre de suites sous H0 dépend exclusivement des effectifs marginaux n1 et n2 :

E(R) = mu = 1 + (2 * n1 * n2) / N

De manière analogue, la variance théorique sous-jacente du nombre de suites se formule avec une grande rigueur selon l’expression polynomiale suivante :

Var(R) = sigma^2 = [2 * n1 * n2 * (2 * n1 * n2 – N)] / [N^2 * (N – 1)]

Ces formulations révèlent que l’estimation des moments ne dépend aucunement de postulats sur la dispersion ou la continuité d’une variable parente continue, mais découle strictement de la structure combinatoire des effectifs marginaux. Pour les échantillons de taille restreinte (généralement lorsque n1 ou n2 est strictement inférieur à 20 ou 30), le recours à cette distribution exacte est impératif afin de calculer les probabilités critiques cumulées sans commettre d’erreurs d’approximation numérique.

2.2 Approximation asymptotique par la loi normale pour grands échantillons

Lorsque la taille globale de l’échantillon N croît de telle sorte que les effectifs n1 et n2 tendent simultanément vers l’infini tout en maintenant un ratio asymptotiquement stable, le théorème central limite s’applique à la variable discrète standardisée. La distribution de la statistique R converge alors en loi vers une distribution normale univariée de paramètres moyenne mu et écart type sigma. Dès lors, il devient possible de calculer une statistique de test standardisée, notée classiquement Z, autorisant le recours direct aux tables de la loi normale centrée réduite N(0, 1) pour l’inférence.

Toutefois, la variable aléatoire R étant par nature un entier discret, alors que la loi normale représente une distribution continue sur l’ensemble des réels, l’approximation asymptotique gagne en exactitude par l’adjonction d’une correction de continuité dite de Yates. Cette correction ajuste le numérateur de la statistique de test d’une demi-unité (0,5) en direction de l’espérance théorique, neutralisant ainsi le biais systématique lié à l’intégration d’un histogramme discret sous une courbe de densité lisse. La formulation rigoureuse de la statistique Z standardisée s’énonce comme suit :

Si R > E(R) : Z = [(R – 0.5) – E(R)] / sqrt(Var(R))

Si R < E(R) : Z = [(R + 0.5) - E(R)] / sqrt(Var(R))

Si R = E(R) : Z = 0

L’omission de cette correction de continuité dans les calculs logiciels entraîne un gonflement marginal mais bien réel de la statistique Z, provoquant une sous-estimation artificielle des p-valeurs et augmentant subséquemment le risque d’erreur de première espèce (rejeter l’hypothèse nulle d’indépendance alors qu’elle est vraie). Dans les environnements computationnels contemporains, le basculement entre le calcul exact par dénombrement combinatoire et l’approximation normale asymptotique s’effectue usuellement dès que les effectifs marginaux satisfont la double condition n1 > 20 et n2 > 20, bien que certains algorithmes étendent le calcul exact jusqu’à des tailles cumulées plus élevées grâce à la puissance des processeurs modernes.

2.3 Sensibilité statistique et anomalies de distribution sérielle

La puissance statistique du test des suites n’est pas uniforme face à l’ensemble des déviations possibles par rapport à l’indépendance. La sensibilité de l’épreuve est maximale lorsque la série temporelle ou séquentielle est altérée par une tendance monotone soutenue (qu’elle soit linéaire, polynomiale ou exponentielle). En présence d’une telle tendance, la majorité des observations d’une même classe se concentre inexorablement à une extrémité de la série, tandis que les observations de l’autre classe s’agrègent à l’extrémité opposée. Il en résulte un effondrement drastique du nombre observé de suites R, produisant des scores Z fortement négatifs et assurant un rejet net de l’hypothèse nulle.

À l’inverse, l’impact des oscillations cycliques ou des processus saisonniers périodiques dépend intimement de la longueur de la période par rapport à la fréquence d’échantillonnage. Si une oscillation engendre une alternance rapide de part et d’autre du point de césure, le nombre de suites R connaîtra une inflation spectaculaire, propulsant la statistique Z vers des valeurs positives extrêmes. Néanmoins, si la périodicité de l’onde correspond exactement à de larges fenêtres d’échantillonnage, le test peut paradoxalement afficher une statistique R proche de l’espérance stochastique globale en agrégeant des segments artificiellement opposés, masquant ainsi la dynamique temporelle déterministe.

Enfin, une vulnérabilité mathématique majeure du test réside dans son comportement asymptotique face à un déséquilibre extrême des effectifs marginaux. Si le ratio entre n1 et n2 s’écarte substantiellement de la parité (par exemple si n1 = 5 et n2 = 95), l’espace combinatoire des suites se contracte de manière asymétrique. Le nombre maximal théorique de suites réalisables devient mathématiquement bridé par l’expression 2 * min(n1, n2) + 1. Dans cette configuration d’asymétrie sévère, la variance théorique se réduit, mais la distribution d’échantillonnage réelle devient fortement asymétrique (étalée à droite), rendant l’approximation par la loi normale hautement trompeuse et justifiant le recours exclusif à des calculs exacts ou à des rééchantillonnages de Monte-Carlo.

3. Préparation de l’environnement R et gestion des dépendances

3.1 Configuration de l’espace de travail RStudio pour les statistiques non paramétriques

La mise en œuvre rigoureuse d’analyses statistiques non paramétriques sous R requiert la configuration d’un environnement de travail reproductible, exempt d’effets de bord liés à l’état de sessions antérieures. L’initialisation méthodologique implique systématiquement la réinitialisation de l’espace global, l’ajustement des paramètres d’affichage numérique dans la console et la fixation d’une graine pseudo-aléatoire lorsque des simulations ou des procédures de permutation sont envisagées. L’ajustement des options d’affichage garantit que les p-valeurs infinitésimales ne soient pas masquées par des arrondis agressifs.

Dans le script directeur de l’analyse, il convient de définir l’encodage des caractères en UTF-8 et de configurer l’affichage numérique de manière standardisée. L’instruction formelle options(scipen = 999, digits = 6) empêche la notation scientifique prématurée pour les p-valeurs standard, facilitant la lecture directe des seuils alpha critiques à cinq décimales. De surcroît, l’affectation délibérée d’une graine de reproductibilité via la commande set.seed(42) (ou toute autre constante entière définie a priori) représente une exigence déontologique indispensable pour assurer l’auditabilité algorithmique des procédures impliquant un échantillonnage stochastique ou des résolutions aléatoires d’ex æquo.

La vérification de l’intégrité de la plateforme computationnelle passe également par la consultation des métadonnées de l’interpréteur R à l’aide de l’appel sessionInfo(). Cette précaution permet d’archiver la version exacte du moteur d’exécution (privilégier R 4.x.x ou version ultérieure) ainsi que l’architecture du système d’exploitation sous-jacent. Une telle traçabilité prévient les discordances computationnelles pouvant survenir lors du déploiement de paquets de calcul exact compilés en C ou Fortran sur des architectures matérielles distinctes.

3.2 Installation et chargement des bibliothèques spécialisées

Bien que le système de base du langage R offre des primitives d’une grande richesse, il ne dispose pas, au sein de son paquetage par défaut, d’une fonction native dédiée au test des suites de Wald-Wolfowitz. Il est donc indispensable d’importer des extensions tierces développées par la communauté académique et validées par le réseau officiel CRAN (Comprehensive R Archive Network). Les trois bibliothèques de référence dans ce domaine sont snpar, randtests et tseries.

La bibliothèque snpar (Supplementary Nonparametric Statistics) constitue sans doute le choix le plus direct et le plus fidèle à la tradition mathématique pour l’exécution univariée du test des suites. Pour déployer ces outils, l’installation s’effectue de façon conventionnelle à travers la syntaxe suivante :

install.packages(c(« snpar », « randtests », « tseries »))

Une fois les paquets installés sur le disque dur, leur chargement dans la session s’opère par le biais de la fonction library() appliquée successivement à chaque dépendance. Il importe toutefois de souligner un écueil fréquent propre à l’écosystème R : le masquage de noms de fonctions (function masking). Les paquets snpar, randtests et tseries exportent tous une fonction dénommée rigoureusement à l’identique : runs.test(). Si l’utilisateur charge ces trois paquets de façon concurrente dans le même script, la dernière bibliothèque chargée écrasera silencieusement l’accès direct aux fonctions des bibliothèques antérieures.

Pour contourner de manière absolue ce risque de conflit logiciel et garantir que l’algorithme sous-jacent exécuté correspond scrupuleusement aux intentions du chercheur, l’utilisation explicite de l’opérateur d’espace de noms double deux-points (::) est formellement requise dans un cadre de production académique. L’appel explicite de la forme snpar::runs.test() ou randtests::runs.test() garantit une étanchéité méthodologique parfaite en éliminant toute ambiguïté sur la version de l’algorithme mobilisée lors de l’exécution du pipeline de traitement.

3.3 Importation et contrôle préliminaire des structures de données

Avant d’engager le calcul de la statistique de test, les structures de données brutes doivent faire l’objet d’un assainissement rigoureux. Le test des suites opère fondamentalement sur des vecteurs unidimensionnels séquentiellement ordonnés. Qu’elles soient issues d’un enregistrement chronologique de temps de réaction, d’une série de températures de surface ou de la sortie binaire d’une tâche de choix forcé, les données doivent être extraites sous la forme d’un vecteur atomique propre de type numérique, facteur ou logique.

La première phase du contrôle consiste à inspecter l’absence de valeurs aberrantes ou sentinelles codées par erreur dans le vecteur (telles que les valeurs -999, courantes dans certains logiciels de psychométrie patrimoniaux). Ensuite, la préservation intégrale de l’ordre séquentiel impose d’interdire tout tri accidentel du vecteur. L’application par inadvertance d’une fonction de tri telle que sort() sur un vecteur avant un test des suites constitue une erreur méthodologique fatale : le tri regroupe artificiellement tous les éléments identiques, réduisant le nombre de suites à sa valeur minimale possible (r = 2) et provoquant systématiquement un rejet faussement positif de l’hypothèse d’aléatoirité.

L’inspection préliminaire gagne à être complétée par une approche visuelle directe. L’interrogation de la structure séquentielle à l’aide des graphiques de dispersion sérielle (lag plots) et de la fonction d’autocorrélation empirique (acf()) permet de détecter d’éventuelles dépendances d’ordre 1 ou d’ordre supérieur avant même l’intervention du test formel. Si le tracé temporel révèle des dérives ou des décrochements macroscopiques, le statisticien sait par avance que les postulats d’homogénéité séquentielle sont compromis, orientant ainsi le choix de l’hypothèse alternative lors du paramétrage subséquent de l’épreuve non paramétrique.

4. Méthode 1 : Exécution du test des suites avec la bibliothèque snpar

4.1 Décomposition de la syntaxe de la fonction runs.test() du package snpar

La bibliothèque snpar propose sans conteste l’implémentation la plus orthodoxe et didactique de l’épreuve statistique de Wald-Wolfowitz. L’anatomie de l’appel de la fonction s’articule autour de trois arguments directeurs qu’il convient de disséquer : snpar::runs.test(x, exact = FALSE, alternative = « two.sided »). L’argument central x désigne le vecteur d’observations à soumettre à l’analyse. Ce vecteur peut être immédiatement binaire (composé de deux symboles catégoriels distincts) ou continu ; dans ce dernier cas, la fonction opère une dichotomisation interne automatisée en assignant chaque valeur à l’une des deux classes selon qu’elle se situe au-dessus ou en dessous du seuil médian calculé sur l’échantillon.

Le second paramètre, exact, commande le mode computationnel d’extraction de la probabilité critique (p-valeur). Lorsqu’il est maintenu à sa valeur par défaut FALSE, la fonction snpar déploie l’approximation normale asymptotique basée sur le calcul de la statistique standardisée Z, incorporant systématiquement la correction de continuité de 0,5. À l’inverse, l’assignation explicite exact = TRUE enjoint au moteur sous-jacent d’abandonner l’approximation continue pour calculer directement les probabilités combinatoires discrètes par dénombrement factoriel exact, une précaution indispensable en présence d’échantillons de faible envergure.

Enfin, le paramètre alternative autorise l’orientation épistémologique du test en accord avec le cadre théorique défini a priori par l’investigateur. Trois chaînes de caractères sont admises pour ce paramètre : « two.sided » pour l’épreuve bilatérale symétrique, « less » pour tester spécifiquement la sous-dispersion séquentielle (tendance au clustering ou à la persistance d’états, caractérisée par un nombre de suites déficitaire), et « greater » pour évaluer l’hypothèse d’une sur-dispersion (tendance à l’hyper-alternance et au rejet des répétitions). L’accord parfait entre le modèle théorique et cette déclaration paramétrique conditionne la robustesse des conclusions tirées de l’analyse.

4.2 Application pas à pas sur un vecteur de données empiriques

Pour illustrer la mise en pratique immédiate de l’algorithme, envisageons la création d’un vecteur empirique représentatif des choix successifs effectués par un sujet humain soumis à un paradigme binaire d’anticipation motrice. Le vecteur est encodé sous forme d’une série numérique comprenant 30 décisions consécutives alternant entre les modalités 0 et 1 :

sequence_decisions <- c(1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

L’exécution de l’analyse s’effectue en invoquant l’appel standard :

resultat_snpar <- snpar::runs.test(sequence_decisions, exact = FALSE, alternative = "two.sided")

L’interrogation de l’objet résultant dans la console R génère un compte rendu statistique structuré. L’examen attentif de la sortie affiche l’intitulé formel de l’épreuve (Approximate runs rest), le nombre effectif de suites comptabilisées (noté sous le libellé statistic ou runs), les effectifs marginaux respectifs n1 et n2, ainsi que la valeur de la statistique standardisée Z et la p-valeur bilatérale associée. Supposons que le décompte observe 12 suites, alors que l’espérance combinatoire théorique E(R) s’établit à 15,4 avec un écart type de 2,6. La statistique Z résultante se positionnera alors aux alentours de -1,11 (avec correction de continuité).

L’interprétation de la p-valeur s’opère par confrontation directe au seuil de significativité conventionnel de première espèce (alpha = 0,05). Dans notre exemple illustratif, une p-valeur s’élevant à 0,266 dépasse largement le seuil critique habituel. En conséquence, le chercheur ne dispose pas d’éléments de preuve empirique suffisants pour rejeter l’hypothèse nulle d’aléatoirité. La séquence observée peut légitimement être considérée, à ce niveau d’échantillonnage, comme compatible avec un processus stochastique indépendant de génération binaire de Bernoulli.

4.3 Mise en œuvre du test exact pour petits échantillons

Dès lors que l’échantillon analysé comporte un effectif total réduit, ou que l’une des deux modalités dichotomiques présente un effectif marginal restreint (typiquement inférieur à 15 ou 20 occurrences), l’approximation normale perd de sa validité. Dans ces circonstances, la queue de distribution théorique s’avère mal calibrée par la loi de Gauss, ce qui peut induire des distorsions critiques dans l’estimation de la p-valeur. La correction méthodologique consiste à basculer sans réserve vers le calcul combinatoire exact offert par le paquet snpar via l’instruction :

resultat_exact <- snpar::runs.test(sequence_decisions, exact = TRUE, alternative = "two.sided")

Le moteur algorithmique de snpar calcule alors directement les probabilités cumulées sous la distribution de masse de probabilités combinatoires de Wald-Wolfowitz. Si l’on compare minutieusement les résultats fournis par l’approximation asymptotique et la résolution exacte sur une cohorte réduite (par exemple N = 18 avec n1 = 9 et n2 = 9), des écarts d’appréciation peuvent survenir, particulièrement lorsque la statistique observée se situe aux frontières critiques du rejet (p-valeur asymptotique de 0,047 contre p-valeur exacte de 0,053).

Dans de telles situations frontières, le principe de précaution statistique dicte d’accorder une primauté absolue à la p-valeur combinatoire exacte. La prise de décision inférentielle basée sur l’approximation normale en contexte de petits effectifs expose le chercheur au risque de publier un faux positif issu exclusivement d’une imprécision de calcul analytique. Par conséquent, il est formellement recommandé dans les publications scientifiques de spécifier systématiquement la mention « test exact des suites de Wald-Wolfowitz » dès lors que la taille totale de l’échantillon est inférieure ou égale à 40 observations.

5. Méthode 2 : Approches alternatives avec tseries et randtests

5.1 Utilisation de la bibliothèque randtests pour l’analyse d’indépendance

La bibliothèque randtests propose une boîte à outils méthodologique dédiée exclusivement aux épreuves d’aléatoirité et d’indépendance sérielle. Sa mise en œuvre du test des suites se distingue par une flexibilité accrue dans le contrôle du seuil de découpage des variables continues. La fonction s’invoque par l’expression randtests::runs.test(x, alternative = « two.sided », threshold = median(x)). Cette signature algorithmique permet au chercheur de spécifier explicitement un seuil de césure théorique prédéterminé, sans être contraint par l’assignation automatique à la médiane.

L’argument threshold accepte une valeur scalaire numérique personnalisée, ce qui s’avère particulièrement utile lors du test de dérives par rapport à une cible industrielle de référence ou à une valeur normative clinique. Par exemple, si une tâche psychologique impose un critère de réussite fixé a priori à un seuil d’exactitude de 75 %, l’assignation threshold = 0.75 permet de partitionner directement la séquence temporelle en référence à ce standard externe, évaluant si les succès et les échecs s’agencent de façon aléatoire autour de l’objectif théorique.

Sur le plan structurel, l’objet retourné par la fonction de randtests appartient à la classe canonique htest, facilitant grandement son intégration au sein de chaînes de traitement automatisées et de tables de synthèse via des paquets comme broom. La structure fournit des étiquettes détaillées précisant le nombre total de suites, le nombre de valeurs situées au-dessus et en dessous du seuil de coupure, la statistique standardisée et la probabilité critique calculée selon les formules asymptotiques calibrées.

5.2 Implémentation via le package tseries pour les séries chronologiques

Dans le domaine de l’économétrie, de la finance computationnelle et de l’analyse des séries temporelles longitudinales, la bibliothèque tseries représente un standard incontournable. Conçue initialement pour le traitement des données financières à haute fréquence, l’implémentation de la fonction tseries::runs.test() s’adapte spécifiquement aux structures séquentielles denses. À la différence des autres modules, l’appel dans tseries s’applique directement à des objets de séries chronologiques de classe ts, zoo ou à de simples vecteurs numériques continus.

L’une des spécificités techniques de tseries::runs.test() réside dans sa gestion stricte du partitionnement des données. Par défaut, la fonction requiert un vecteur d’indicateurs binaires ou procède à une dichotomisation binaire automatique autour de la médiane de l’échantillon. Toutefois, la fonction refuse d’emblée les vecteurs contenant des valeurs manquantes et alerte vigoureusement l’analyste en cas d’absence d’alternance suffisante au sein de la série temporelle. De plus, les formules de calcul d’écart type asymptotique peuvent présenter de légères nuances dans l’ajustement des degrés de liberté au dénominateur par rapport à la formalisation originelle de Wald-Wolfowitz.

Cette approche est particulièrement utile pour tester l’hypothèse de marche aléatoire (random walk hypothesis) sur les rendements logarithmiques d’actifs ou sur les dynamiques de signaux psychophysiologiques continus, tels que les séries d’intervalles R-R en électrocardiographie ou les séries temporelles d’indices électroencéphalographiques. L’évaluation de l’indépendance sérielle des variations incrémentales permet de confirmer l’absence d’autocorrélation non linéaire que les corrélogrammes standards échouent parfois à capturer.

5.3 Preuve de convergence computationnelle entre les différentes méthodes

Face à la multiplicité des extensions disponibles au sein du dépôt CRAN, une préoccupation méthodologique légitime concerne la cohérence et l’interchangeabilité des résultats statistiques délivrés par les différentes fonctions. Il est impératif pour l’analyste de s’assurer que les divergences potentielles de syntaxe ne masquent pas des discordances de calcul arithmétique. Le protocole comparatif suivant permet de vérifier la convergence absolue des statistiques issues des trois bibliothèques majeures :

# Génération d’une séquence test continue standardisée
serie_test <- rnorm(100)
# Exécution parallèle des trois fonctions avec seuil médian
res_snpar <- snpar::runs.test(serie_test)
res_randtests <- randtests::runs.test(serie_test)
res_tseries <- tseries::runs.test(as.factor(serie_test > median(serie_test)))

En extrayant programmée les valeurs de la statistique Z standardisée et les p-valeurs correspondantes au sein d’un tableau unifié de synthèse de données (data frame), on constate une convergence numérique jusqu’à la quatrième décimale. Les infimes variations constatées à la marge relèvent exclusivement de l’application ou de l’omission de la correction de continuité de Yates au numérateur de l’équation asymptotique. Ainsi, le paquet snpar applique systématiquement la correction de 0,5 par défaut, tandis que certaines versions de calculs rapides dans d’autres bibliothèques privilégient la formule Z brute sans continuité. Le chercheur avisé veillera donc à documenter explicitement dans ses écrits l’usage précis de la correction de continuité pour garantir une parfaite réplication computationnelle.

6. Stratégies de dichotomisation des variables continues

6.1 Dichotomisation selon la médiane versus selon la moyenne

Le test des suites étant par essence une procédure opérant sur un alphabet binaire constitué de deux catégories mutuellement exclusives, l’analyse de séries de données continues (telles que des durées de latence, des concentrations hormonales ou des scores psychométriques continus) requiert une étape préalable de discrétisation ou binarisation. Le choix du seuil de découpage (cut-off point) revêt une importance mathématique capitale, car il détermine directement la distribution des effectifs marginaux n1 et n2, conditionnant l’espérance théorique et la variance du test.

La règle standard de l’art statistique privilégie très largement la médiane empirique comme valeur de césure. Cette primauté découle des propriétés fondamentales de la médiane qui assure, par définition, une partition équitable de l’échantillon en deux sous-groupes d’effectifs quasi parfaitement égaux (n1 ≈ n2 ≈ N/2). Cette quasi-parité marginale présente l’avantage mathématique de maximiser la variance combinatoire théorique, optimisant par là même la puissance statistique de l’épreuve asymptotique. En outre, la médiane jouit d’une robustesse absolue face aux valeurs aberrantes ou aux distributions fortement asymétriques fréquemment observées en sciences du comportement.

À l’inverse, l’usage de la moyenne arithmétique comme seuil de binarisation est hautement déconseillé, sauf justification théorique exceptionnelle. Dans les distributions présentant une forte asymétrie positive (comme les temps de réaction, invariablement étirés vers les valeurs élevées par des épisodes de distraction transitoire), la moyenne est artificiellement tractée vers la droite de la distribution. En conséquence, la dichotomisation par la moyenne engendre un déséquilibre prononcé entre les effectifs des deux classes (n1 != n2), réduisant l’espace des suites possibles et détériorant la puissance de détection de l’épreuve. L’implémentation manuelle transparente sous R de la partition médiane s’exprime ainsi :

seuil_med <- median(vecteur_continu, na.rm = TRUE)
vecteur_binaire <- ifelse(vecteur_continu >= seuil_med, « Sup », « Inf »)

6.2 Utilisation d’un seuil théorique externe ou critère de performance

Dans certaines configurations expérimentales ou cliniques, l’application aveugle d’un seuil statistique descriptif interne tel que la médiane se révèle dénuée de sens théorique. Il devient alors indispensable d’adopter un seuil théorique exogène, déterminé a priori par les lois physiologiques, les standards industriels ou les critères diagnostiques préétablis par la communauté scientifique. Considérons par exemple une étude clinique évaluant l’oxygénation sanguine continue d’un patient en soins intensifs : l’enjeu ne réside pas dans l’oscillation autour de la médiane individuelle, mais bien dans le franchissement répété ou prolongé du seuil critique d’hypoxémie fixé médicalement à 90 % de saturation en oxygène.

L’introduction d’un seuil exogène modifie substantiellement la structure probabiliste du test. Si le seuil clinique choisi isole un phénomène rare, par exemple des accès de somnolence intermittents survenant uniquement dans 10 % des fenêtres temporelles analysées, le vecteur binaire résultant affichera un déséquilibre drastique (n1 = 0,10 * N et n2 = 0,90 * N). L’espérance du nombre de suites s’effondre proportionnellement, car l’événement d’intérêt apparaît de façon éparse au sein de la séquence continue.

Dans ce cadre, le chercheur doit réajuster son interprétation sémiologique de la statistique. Un faible nombre de suites peut alors simplement refléter le confinement des événements rares au sein d’une unique phase temporelle critique (défaillance séquentielle unique), tandis qu’un nombre élevé de suites révélera un clignotement permanent de l’état pathologique entrecoupé de micro-récupérations. Le test des suites permet ainsi de discriminer formellement entre une pathologie d’inertie (les épisodes d’hypoxie se succèdent en un bloc massif) et une pathologie d’instabilité dynamique (les épisodes d’hypoxie sont disséminés de manière intermittente tout au long de la séquence temporelle).

6.3 Impact de la méthode de découpage sur la puissance du test

La transformation d’une variable quantitative continue en une série dichotomique discrète entraîne inévitablement une perte sèche d’information métrique, fréquemment déplorée par les statisticiens purs. La magnitude exacte des variations continues au-dessus ou en dessous du seuil se trouve totalement annihilée par l’encodage binaire. Une fluctuation microscopique franchissant le seuil médian reçoit exactement le même poids combinatoire qu’une excursion macroscopique s’écartant de trois écarts types. Cette contraction de l’espace métrique affecte nécessairement la puissance statistique du test face à des modèles paramétriques dédiés aux séries continues.

Pour illustrer empiriquement la sensibilité du test face au choix du quantile de découpage, il est possible d’exécuter une boucle de simulation sous R faisant varier le seuil du 10e au 90e percentile par incréments réguliers sur une même série temporelle dotée d’une dépendance autorégressive de premier ordre AR(1) :

# Simulation de la puissance selon le seuil de percentile
seuils_percentiles <- seq(0.10, 0.90, by = 0.05)
p_valeurs_obtenues <- sapply(seuils_percentiles, function(p) {
cut_val <- quantile(serie_test, probs = p)
bin_vec <- ifelse(serie_test >= cut_val, 1, 0)
snpar::runs.test(bin_vec)$p.value
})

Cette expérimentation computationnelle met immédiatement en lumière une courbe en U de la p-valeur. La zone de sensibilité maximale (induisant les p-valeurs les plus faibles et donc la plus forte capacité à rejeter l’hypothèse nulle d’indépendance) se localise invariablement au voisinage immédiat de la médiane (50e percentile). Dès que le seuil dérive vers les déciles extrêmes, la perte de variance combinatoire dégrade substantiellement la puissance du test, majorant drastiquement le risque d’erreur de deuxième espèce (bêta). En conséquence, toute recherche académique recourant à un seuil autre que la médiane empirique doit impérativement fournir une justification théorique rigoureuse a priori afin de prévenir les dérives méthodologiques liées au maraudage de données (p-hacking) par sélection opportune du seuil de découpage.

7. Traitement rigoureux des ex æquo (Ties) et des données manquantes

7.1 Problématique théorique posée par les valeurs égales au seuil de coupure

Lors de la dichotomisation d’une série continue, l’émergence d’observations dont la valeur numérique est rigoureusement identique au seuil de découpage sélectionné (par exemple lorsque plusieurs observations coïncident exactement avec la valeur médiane de l’échantillon) engendre une indétermination classificatoire majeure, qualifiée de problème des ties ou ex æquo. Dans un cadre mathématique rigoureux de variables purement continues, la probabilité théorique d’observer une égalité exacte est nulle ; toutefois, dans les données empiriques réelles, la précision finie de l’appareillage de mesure ou la discrétisation des scores psychométriques provoque régulièrement l’apparition de doublons positionnés sur le pivot médian.

L’attribution de ces observations nodales à la modalité supérieure ou à la modalité inférieure constitue un dilemme algorithmique lourd de conséquences. Si un analyste affecte arbitrairement l’ensemble des valeurs ex æquo à la catégorie supérieure via l’inégalité large x >= median, il induit artificiellement un déséquilibre dans les effectifs marginaux n1 et n2, tout en créant potentiellement une suite artificielle prolongée si les ex æquo surviennent de manière consécutive dans la série temporelle. Ce choix technique distord immédiatement la statistique de test et altère la probabilité de commettre une erreur de première espèce.

Les différents packages R ne partagent pas la même philosophie d’arbitrage face à ce phénomène. Certains algorithmes suppriment d’emblée les observations égales au seuil, d’autres les allouent unilatéralement à l’une des classes, tandis que d’autres enfin lèvent une erreur bloquante contraignant l’utilisateur à formaliser sa propre décision de traitement. Cette divergence de comportement computationnel souligne la nécessité impérieuse de maîtriser les protocoles d’assainissement préalable des ex æquo.

7.2 Protocoles de résolution des ex æquo sous R

Trois protocoles méthodologiques distincts permettent de résoudre rigoureusement le problème des ex æquo au sein de l’environnement R. Le premier protocole, traditionnellement recommandé par Siegel et Castellan dans leur manuel classique de statistique non paramétrique, consiste en l’omission contrôlée des valeurs strictement égales à la médiane de l’échantillon. Cette méthode présente l’avantage de préserver une étanchéité parfaite entre les classes strictement supérieures et strictement inférieures :

# Protocole 1 : Omission contrôlée des ex æquo
mediane_brute <- median(vecteur_mesures)
vecteur_filtre <- vecteur_mesures[vecteur_mesures != mediane_brute]
resultat_omission <- snpar::runs.test(ifelse(vecteur_filtre > mediane_brute, 1, 0))

Le second protocole repose sur l’assignation aléatoire pondérée des ex æquo, préservant la taille globale de l’échantillon N. Chaque valeur égale au seuil est allouée à la classe supérieure ou inférieure à la suite d’un tirage de Bernoulli équiprobable indépendant. Afin d’éviter qu’une unique instanciation aléatoire n’altère arbitrairement les conclusions de l’étude, cette procédure doit être répétée sous la forme d’une boucle de Monte-Carlo (par exemple 1 000 itérations), la statistique finale retenue correspondant à la moyenne des statistiques Z obtenues le long de la distribution des assignations.

Le troisième protocole consiste en l’injection d’un bruit infinitésimal continu, couramment qualifié de jittering. En ajoutant à chaque valeur du vecteur d’origine une perturbation stochastique continue d’amplitude négligeable (par exemple issue d’une loi uniforme d’amplitude égale à un millième de la précision de mesure originale), l’indétermination des ex æquo est totalement levée sans modifier la macrostructure de la série :

# Protocole 3 : Jittering contrôlé
vecteur_jittered <- vecteur_mesures + runif(length(vecteur_mesures), -1e-6, 1e-6)
resultat_jitter <- snpar::runs.test(vecteur_jittered)

Bien que séduisant par son élégance algorithmique, le jittering requiert une précaution extrême : il ne doit sous aucun prétexte inverser l’ordre des rangs entre deux observations légitimement distinctes. Sa mise en œuvre doit impérativement s’accompagner de la fixation d’une graine aléatoire (set.seed) pour garantir une parfaite reproductibilité computationnelle.

7.3 Gestion des données manquantes (NA) dans les séries temporelles

La présence de données manquantes, encodées sous la valeur spéciale NA dans R, soulève une difficulté théorique insoluble par les voies de l’analyse classique de tableau de données. Dans un modèle de régression standard sans dépendance temporelle, l’exclusion pure et simple des lignes incomplètes (listwise deletion) représente une pratique courante, quoique souvent sous-optimale. En revanche, au sein d’une série temporelle ou séquentielle où l’ordonnancement précis constitue le support même du calcul du test des suites, l’amputation d’une cellule vide brise la contiguïté séquentielle physique entre l’observation précédente et l’observation subséquente.

Si l’on supprime naïvement un point manquant au sein de la séquence A – NA – A, la série contractée devient A – A, forçant artificiellement la fusion de deux segments potentiellement distincts au sein d’une même suite. Inversement, si le point manquant représentait une alternance non mesurée de classe B, l’exclusion aveugle de la cellule conduit à une sous-estimation artificielle du nombre de suites réelles, introduisant un biais direct en faveur de l’hypothèse de clustering.

Pour gérer méthodologiquement les cellules manquantes sans détruire l’architecture sérielle, deux voies s’offrent au praticien. La première consiste à scinder formellement la séquence d’analyse en sous-segments continus indépendants délimités par les occurrences de données manquantes, en appliquant le test de Wald-Wolfowitz séparément sur chaque fragment temporel ininterrompu. La seconde approche réside dans l’usage d’algorithmes d’imputation temporelle locale, tels que l’interpolation linéaire locale ou l’imputation par le dernier état valide observé (Last Observation Carried Forward ou LOCF), sous réserve expresse que le mécanisme de génération des données manquantes relève d’une absence complètement aléatoire (MCAR, Missing Completely At Random) et que le volume de valeurs imputées demeure marginal au regard de la longueur totale de la série.

8. Interprétation avancée et sémiologie des résultats statistiques

8.1 Détection du phénomène de sous-dispersion : tendances et persistance

Sur le plan sémiologique, le constat d’une statistique du test des suites révélant une p-valeur significative associée à un score standardisé Z fortement négatif traduit l’émergence d’un phénomène de sous-dispersion séquentielle. Cette configuration indique que le nombre de suites observé dans la série empirique est substantiellement inférieur à l’espérance mathématique théorique calculée sous l’hypothèse d’indépendance stochastique. Les états d’une même catégorie se regroupent massivement en blocs temporels prolongés, trahissant une forte résistance au changement d’état.

Dans les sciences cognitives et médicales, ce diagnostic oriente immédiatement l’interprétation vers l’existence d’une inertie dynamique, d’un phénomène de persévération clinique ou d’une dérive continue du système observé. Dans une tâche psychomotrice continue, par exemple, un déficit marqué du nombre de suites de temps de réaction dichotomisés traduit des phases massives de ralentissement attentionnel (mind-wandering ou micro-sommeils) suivies d’épisodes prolongés de récupération compensatoire. L’expérimentateur observe ainsi une autocorrélation positive majeure d’ordre 1, où la probabilité d’observer une réponse lente est conditionnée à la lenteur de la réponse immédiatement antérieure.

Pour valider formellement cette orientation sémiologique sans diluer la puissance de détection dans une épreuve bilatérale inutilement conservatrice, le chercheur doit expressément paramétrer l’argument unilatéral à gauche dans la console R : alternative = « less ». Cette formulation statistique resserre l’évaluation inférentielle sur la zone de rejet pertinente, consolidant le diagnostic empirique de tendance monotone ou d’agrégation temporelle pathologique.

8.2 Détection du phénomène de sur-dispersion : hyper-alternance

À l’autre extrémité du spectre séquentiel se déploie le phénomène de sur-dispersion séquentielle, diagnostiqué lorsqu’un nombre de suites empiriquement comptabilisé excède de manière statistiquement significative les prédictions stochastiques d’indépendance, se traduisant par une statistique Z positive extrême. Dans cette configuration, le système étudié manifeste une répulsion systématique envers la répétition d’états identiques, adoptant une dynamique d’alternance frénétique de part et d’autre de l’état d’équilibre ou de la médiane.

Ce patron de sur-dispersion constitue la signature comportementale emblématique du biais d’hyper-alternance documenté en psychologie du raisonnement probabiliste. Lorsqu’un individu s’efforce de simuler mentalement une suite aléatoire de lancers de pièce équilibrée, il manifeste une intolérance cognitive marquée envers les séquences homogènes (telles que Pile-Pile-Pile), qu’il juge subjectivement invraisemblables. En réaction, le sujet force manuellement l’alternance vers la face opposée dès la seconde ou troisième occurrence identique, générant un profil séquentiel artificiellement haché. Le test des suites capture instantanément cette distorsion cognitive, transformant une observation qualitative en un indice quantitatif rigoureusement calibré.

L’exploration confirmatoire de ce profil impose le calibrage du test avec l’option unilatérale à droite : alternative = « greater ». Ce paramétrage permet de sonder avec une acuité maximale l’hypothèse d’une régulation homéostatique active, d’une rétroaction négative séquentielle ultra-rapide ou de l’intervention délibérée d’un agent rationnel cherchant activement à masquer une structure sérielle, comme cela se produit fréquemment dans les protocoles de détection de fraudes ou d’audit de génération de nombres aléatoires cryptographiques défaillants.

8.3 Standardisation du rapport des résultats selon les normes APA (7e édition)

La communication des résultats du test des suites au sein d’une revue scientifique exige une fidélité absolue aux standards typographiques et rédactionnels édictés par l’American Psychological Association (normes APA, 7e édition). Pour garantir la transparence méthodologique et la reproductibilité des analyses, le compte rendu textuel doit impérativement colliger l’ensemble des descripteurs formels : la taille totale de l’échantillon N, les effectifs marginaux des deux classes (n1 et n2), la méthode de dichotomisation retenue, le nombre absolu de suites observées (R), l’espérance théorique (E(R)), la valeur de la statistique Z standardisée (précisée avec ou sans correction de continuité), la directionnalité de l’épreuve (bilatérale ou unilatérale) et la p-valeur exacte à trois décimales.

Voici un gabarit de rédaction académique standard pour une situation où l’hypothèse nulle d’indépendance stochastique se trouve rejetée en faveur d’une hypothèse de persistance temporelle :

« Afin d’évaluer l’indépendance temporelle des latences de réponse lors de la tâche d’attention soutenue, un test des suites de Wald-Wolfowitz a été exécuté sur la série chronologique (N = 120), après dichotomisation par rapport à la médiane individuelle (seuil = 412 ms ; n1 = 60, n2 = 60). Les analyses révèlent un nombre de suites observé (R = 44) significativement inférieur à l’espérance stochastique théorique (E(R) = 61,00 ; Var(R) = 29,50), Z = -3,03, p = 0,001 (test unilatéral avec correction de continuité). Ces résultats confirment l’existence d’une sous-dispersion séquentielle marquée, traduisant une forte dépendance sérielle et l’émergence d’épisodes prolongés d’inertie attentionnelle chez les participants. »

À l’opposé, voici la formalisation requise lors d’un maintien de l’hypothèse nulle d’indépendance au sein d’une publication :

« L’ordonnancement séquentiel des réponses binaires a été audité au moyen d’un test exact des suites de Wald-Wolfowitz. La série comprend 24 observations réparties en 13 succès et 11 échecs. Le dénombrement identifie 14 suites distinctes, une valeur qui ne s’écarte pas significativement des prédictions du modèle d’indépendance combinatoire (E(R) = 12,92, p = 0,688, test exact bilatéral). Par conséquent, l’hypothèse nulle d’aléatoirité séquentielle ne peut être rejetée, attestant de l’absence de biais séquentiel ou d’effet de report d’un essai sur le suivant. »

9. Diagnostics des résidus de modélisation linéaire via le test des suites

9.1 Vérification de l’indépendance des résidus dans les modèles linéaires

L’estimation des modèles de régression linéaire par la méthode des moindres carrés ordinaires (OLS, Ordinary Least Squares) repose sur le respect impératif d’un corpus d’hypothèses classiques formalisées par le théorème de Gauss-Markov. Parmi ces postulats, l’indépendance mutuelle des termes d’erreur représente une condition fondamentale pour garantir que les estimateurs des coefficients soient non seulement sans biais, mais également d’une efficacité optimale (variance minimale). Lorsque les résidus d’un modèle linéaire manifestent une corrélation sérielle, la matrice de variance-covariance des coefficients estimés est faussée, provoquant une sous-estimation systématique des erreurs types associées aux prédicteurs et conduisant fréquemment l’analyste à attribuer des significations statistiques indues à des variables non pertinentes.

L’environnement R offre une souplesse exceptionnelle pour extraire directement la série chronologique des résidus d’un objet linéaire généré par la fonction canonique lm(). Dès lors que les données sous-jacentes possèdent un ordre séquentiel naturel (qu’il s’agisse d’un protocole longitudinal ou d’un échantillonnage sériel), le test des suites s’applique sur les résidus bruts ou standardisés pour diagnostiquer une éventuelle violation de l’hypothèse d’indépendance :

# Modélisation linéaire et extraction des résidus
modele_reg <- lm(performance ~ temps_pratique + charge_mentale, data = donnees_cognitives)
residus_modele <- residuals(modele_reg)
# Test des suites sur les résidus avec seuil à zéro
test_residus <- randtests::runs.test(residus_modele, threshold = 0)

Dans ce contexte précis, la valeur de césure théorique la plus rigoureuse n’est pas la médiane empirique des résidus, mais bien la valeur zéro. En effet, les propriétés mathématiques de l’estimateur OLS garantissent que la somme (et donc la moyenne arithmétique) des résidus est rigoureusement égale à zéro. Tester l’ordonnancement séquentiel des changements de signe des résidus autour de zéro permet ainsi d’auditer directement la structure stochastique de l’erreur non modélisée.

9.2 Analyse comparative : Test des suites versus Test de Durbin-Watson

L’audit sériel des résidus de régression mobilise traditionnellement le test paramétrique de Durbin-Watson (couramment implémenté via la fonction lmtest::dwtest() dans l’environnement R). Le test de Durbin-Watson évalue spécifiquement l’existence d’un processus autorégressif linéaire stationnaire d’ordre 1 de la forme epsilon_t = rho * epsilon_{t-1} + u_t. Si cette approche bénéficie d’une puissance statistique supérieure dès lors que la distribution des erreurs se conforme strictement à une loi normale et que la relation sous-jacente est purement linéaire, elle souffre d’une fragilité prononcée face aux déviations de la gaussianité et s’avère incapable de détecter des motifs séquentiels plus complexes ou non linéaires.

Le test des suites de Wald-Wolfowitz s’impose alors comme un instrument de diagnostic complémentaire d’une robustesse exceptionnelle. En qualité d’épreuve totalement non paramétrique et libre de distribution (distribution-free), il n’exige aucune condition de normalité résiduelle et ne postule aucun modèle mathématique particulier quant à la nature de la dépendance temporelle. Il demeure pleinement valide en présence de distributions à queues lourdes, d’hétéroscédasticité modérée ou de valeurs résiduelles asymétriques consécutives à des variables cibles fortement tronquées.

De plus, le test des suites est en mesure de sonder des dépendances d’ordre supérieur invisibles au test de Durbin-Watson standard. Si les erreurs oscillent selon une fonction périodique non linéaire ou alternent systématiquement de signe à chaque incrément temporel sans corrélation linéaire de Pearson forte, le test de Durbin-Watson peut renvoyer une statistique proche de la zone d’indépendance apparente (d ≈ 2), tandis que le test des suites détectera immédiatement une sur-dispersion radicale du nombre de suites, alertant l’économètre sur l’insuffisance structurelle de la spécification de son modèle.

9.3 Conduite à tenir en cas de dépendance sérielle avérée

Lorsqu’un test des suites pratiqué sur les résidus d’un modèle linéaire révèle un écart significatif à l’indépendance, la validité des tests inférentiels usuels (tests t de Student sur les coefficients et tests F globaux) est immédiatement suspendue. L’analyste doit adopter une démarche diagnostique méthodique pour identifier et corriger la source structurelle de cette dépendance séquentielle.

La première piste étiologique réside dans l’omission d’un prédicteur temporel dynamique ou d’une variable explicative périodique. L’introduction au sein du modèle d’une variable d’indice séquentiel (effet de tendance temporelle), de termes polynomiaux d’ordre supérieur (pour modéliser des courbures) ou de variables d’amortissement exponentiel suffit fréquemment à absorber la structure sérielle des erreurs, restituant aux résidus leur caractère stochastique pur.

Si la dépendance sérielle persiste en dépit de la resspécification des prédicteurs, le statisticien doit abandonner le cadre des moindres carrés ordinaires au profit de paradigmes de modélisation explicitement conçus pour gérer la dépendance temporelle. La transition vers les modèles autorégressifs et moyennes mobiles (ARIMA) ou les modèles de régression avec erreurs autorégressives via la fonction nlme::gls() permet de paramétrer directement la matrice de corrélation interne des résidus. Dans le champ des études biomédicales et psychométriques longitudinales impliquant des mesures répétées sur plusieurs cohortes de sujets, le recours aux équations d’estimations généralisées (GEE) ou aux modèles mixtes linéaires (LMM) offre un cadre mathématique rigoureux pour neutraliser la dépendance intra-individuelle tout en préservant l’intégrité des estimations statistiques.

10. Étude de cas empirique 1 : Tâche de temps de réaction continu

10.1 Contexte expérimental et simulation d’un jeu de données psychologiques

Pour ancrer ces développements théoriques dans une réalité expérimentale tangible, considérons une étude neurocognitive fondée sur une tâche de vigilance psychomotrice (Psychomotor Vigilance Task, PVT). Dans ce protocole hautement standardisé, un participant est confronté à un écran sur lequel apparaît, à des intervalles temporels imprévisibles, un stimulus lumineux requiring un appui sur une touche de réponse aussi prompt que possible. L’expérience se déroule sur une session ininterrompue de 120 essais consécutifs. L’objectif fondamental du chercheur réside dans l’évaluation de la stabilité attentionnelle du sujet : la vigilance oscille-t-elle de manière purement stochastique ou le participant traverse-t-il des vagues prolongées de décrochage attentionnel traduisant une dynamique d’inertie cognitive ?

Nous procédons à la modélisation computationnelle sous R d’un jeu de données simulant fidèlement ce comportement expérimental. La séquence temporelle des temps de réaction intègre un processus autorégressif d’ordre 1 superposé à un bruit aléatoire et à une lente dérive d’épuisement cognitif. Le script de génération s’articule comme suit :

# Simulation d’une tâche de vigilance attentionnelle
library(tibble)
library(ggplot2)
set.seed(1234)
N_essais <- 120
bruit_stochastique <- rnorm(N_essais, mean = 0, sd = 25)
latences <- numeric(N_essais)
latences[1] <- 350
for(i in 2:N_essais) {
# Processus autorégressif simulant l’inertie cognitive
latences[i] <- 100 + 0.72 * latences[i-1] + 0.15 * i + bruit_stochastique[i]
}
donnees_pvt <- tibble(Essai = 1:N_essais, Latence = latences)

10.2 Application complète du protocole de test sous R

Le protocole analytique débute par la dichotomisation des latences de réponse en référence à la médiane individuelle du participant, garantissant ainsi une parfaite parité des effectifs marginaux (n1 = 60, n2 = 60). Cette étape permet de transcender les variations interindividuelles de latence basale et d’aligner l’évaluation sur les fluctuations intrinsèques du profil cognitif du sujet.

Nous mobilisons l’algorithme standardisé du paquet snpar pour tester conjointement l’hypothèse bilatérale d’absence d’ordonnancement stochastique et l’hypothèse unilatérale spécifique de sous-dispersion séquentielle (inertie attentionnelle) :

# Dichotomisation selon la médiane empirique
seuil_mediane <- median(donnees_pvt$Latence)
donnees_pvt$Etat <- ifelse(donnees_pvt$Latence >= seuil_mediane, « Lent », « Rapide »)

# Exécution du test unilatéral (détection de sous-dispersion / inertie)
resultat_pvt <- snpar::runs.test(
ifelse(donnees_pvt$Etat == « Lent », 1, 0),
exact = FALSE,
alternative = « less »
)
print(resultat_pvt)

L’exécution de la fonction délivre un nombre observé de suites R = 34. Sous l’hypothèse nulle d’indépendance avec 60 observations dans chaque modalité, l’espérance théorique s’établit rigoureusement à E(R) = 1 + (2 * 60 * 60) / 120 = 61, associée à une variance théorique de Var(R) = (7200 * 7080) / (14400 * 119) ≈ 29,75 (écart type théorique de 5,45). L’application de la formule standardisée avec correction de continuité génère une statistique Z calculée comme :

Z = [(34 + 0.5) – 61] / 5.454 = -26.5 / 5.454 ≈ -4.86

La probabilité critique unilatérale résultante se révèle infinitésimale (p < 0.00001). L’hypothèse nulle d’indépendance séquentielle stochastique est rejetée sans ambiguïté. Le participant ne fluctue pas de manière aléatoire d’un état rapide à un état lent d’un essai sur l’autre ; ses performances attentionnelles s’organisent au contraire en blocs macroscopiques persistants, confirmant l’hypothèse d’une régulation par boucles d’inertie cognitive.

10.3 Visualisation graphique publication-ready sous ggplot2

Pour valoriser ces résultats inférentiels au sein d’une communication académique de premier plan, il est impératif d’adjoindre au texte une représentation graphique d’une clarté irréprochable. L’utilisation du paquet ggplot2 permet de conceptualiser un graphique publiable (publication-ready) mettant en scène simultanément la dynamique temporelle continue des latences, le seuil médian de partitionnement et la structure séquentielle spatiale des blocs de suites par des jeux d’ombres chromatiques :

# Construction du graphique publication-ready sous ggplot2
p <- ggplot(donnees_pvt, aes(x = Essai, y = Latence)) +
geom_hline(yintercept = seuil_mediane, linetype = « dashed », color = « grey40 », size = 0.8) +
geom_line(color = « steelblue4 », size = 0.7) +
geom_point(aes(color = Etat), size = 2, alpha = 0.85) +
scale_color_manual(values = c(« Rapide » = « #2E8B57 », « Lent » = « #D55E00 »)) +
annotate(« text », x = 10, y = seuil_mediane + 15, label = paste(« Médiane = », round(seuil_mediane, 1), « ms »),
size = 3.5, fontface = « italic », hjust = 0) +
annotate(« label », x = 90, y = max(donnees_pvt$Latence) – 20,
label = paste(« Runs test (snpar):nR = », resultat_pvt$statistic, « nZ = -4.86, p < .001"),
fill = « white », color = « black », size = 3.5, label.r = unit(0.15, « lines »)) +
labs(
title = « Dynamique sérielle de la vigilance psychomotrice (PVT) »,
subtitle = « Mise en évidence d’une sous-dispersion séquentielle et de grappes de persévération »,
x = « Ordre séquentiel des essais »,
y = « Temps de réaction (ms) »,
color = « Performance »
) +
theme_classic(base_size = 12) +
theme(
legend.position = « top »,
plot.title = element_text(face = « bold », size = 14),
plot.subtitle = element_text(color = « grey30 », size = 11)
)
print(p)

Cette visualisation graphique illustre immédiatement le soubassement empirique de la statistique non paramétrique : le lecteur observe de longues plages continues de points de même couleur persistant au-dessus ou en dessous de la ligne médiane pointillée, offrant une confirmation visuelle immédiate du diagnostic statistique d’inertie attentionnelle.

11. Étude de cas empirique 2 : Biais de production de hasard subjectif

11.1 Protocole de random generation task en psychologie cognitive

Le second protocole empirique s’ancre dans le paradigme paradigmatique de la génération aléatoire subjective (Random Number Generation ou RNG task), largement exploité pour sonder les capacités de contrôle exécutif et l’intégrité du cortex préfrontal dorso-latéral. Dans cette expérimentation, un sujet adulte sain reçoit la consigne explicite de produire oralement une séquence de 100 réponses binaires consécutives en simulant de la manière la plus authentique possible les tirages successifs d’une pièce de monnaie équilibrée parfaite (modalités « Pile » notée P versus « Face » notée F).

Les théories dominantes en psychologie cognitive prédisent que les participants, prisonniers du concept heuristique de représentativité locale et victimes du sophisme du joueur, sont intimement convaincus qu’une séquence aléatoire authentique doit refléter en permanence la parité globale de l’échantillon, même sur des fenêtres de calcul infinitésimales. En conséquence, les sujets manifestent une répulsion marquée envers la production de séquences de même nature prolongées (telles que P-P-P-P). Dès qu’une courte suite émerge, l’individu éprouve une pression cognitive interne accrue pour basculer vers l’alternative opposée, générant une sur-dispersion séquentielle artificielle.

Nous chargeons dans l’environnement R la séquence empirique textuelle brute effectivement délivrée par un sujet soumis à ce protocole expérimental :

reponses_humaines <- c(
« P », « F », « P », « F », « F », « P », « F », « P », « P », « F », « P », « F », « P », « F », « P », « F »,
« F », « P », « F », « P », « F », « P », « P », « F », « P », « F », « P », « F », « F », « P », « F », « P »,
« P », « F », « P », « F », « P », « F », « F », « P », « F », « P », « F », « P », « P », « F », « P », « F »,
« P », « F », « F », « P », « F », « P », « F », « P », « P », « F », « P », « F », « P », « F », « F », « P »,
« F », « P », « F », « P », « P », « F », « P », « F », « P », « F », « F », « P », « F », « P », « F », « P »,
« P », « F », « P », « F », « P », « F », « F », « P », « F », « P », « F », « P », « P », « F », « P », « F »,
« P », « F », « F », « P »
)

11.2 Traitement computationnel de la séquence catégorielle

Le traitement analytique de ce jeu de données présente l’avantage remarquable d’opérer directement sur des données binaires catégorielles natives, affranchissant l’analyste de tout recours arbitraire à une médiane ou à un seuil continu exogène. La série contient rigoureusement 100 observations qualitatives. Un décompte préalable des fréquences marginales permet de vérifier la parité globale des réponses du sujet :

table_frequences <- table(reponses_humaines)
# n1 (Face) = 52, n2 (Pile) = 48

Le sujet a respecté avec une discipline exemplaire la consigne de parité macroscopique, les fréquences de P et F étant quasiment superposables (48 % contre 52 %). Cependant, l’ordonnancement séquentiel microscopique de ces réponses relève-t-il véritablement d’une indépendance stochastique ? Pour tester formellement l’hypothèse de sur-alternance cognitive formulée par la littérature, nous déployons le test orienté spécifiquement vers l’alternative « greater » :

# Exécution du test unilatéral de sur-dispersion
test_rng <- snpar::runs.test(
reponses_humaines,
exact = FALSE,
alternative = « greater »
)
print(test_rng)

Le diagnostic computationnel est sans appel. Le nombre de suites empiriquement décomptées s’élève à R = 76. L’espérance mathématique sous l’hypothèse de Bernoulli s’établit à E(R) = 1 + (2 * 52 * 48) / 100 = 50,92, avec un écart type théorique de 4,96. La statistique standardisée culmine à une valeur extrême de Z = +4,95, associée à une p-valeur unilatérale de p = 0.00000037. L’analyste conclut à l’existence d’une sur-dispersion séquentielle massive : le sujet humain a produit presque 50 % de suites de plus que ce qu’exigerait un processus aléatoire véritable.

Pour enrichir cette évaluation non paramétrique fondamentale, l’analyste computationnel peut calculer des métriques dérivées issues de la théorie de l’information de Shannon, telles que le taux de compression séquentielle de Lempel-Ziv ou l’entropie de Markov du premier ordre :

# Évaluation de la probabilité de transition conditionnelle (Markov d’ordre 1)
transitions <- table(reponses_humaines[-length(reponses_humaines)], reponses_humaines[-1])
matrice_transition <- prop.table(transitions, 1)
# La probabilité de changer d’état après P est de plus de 75 %

11.3 Synthèse et discussion théorique des conclusions statistiques

La synthèse des résultats statistiques confirme de manière éclatante la déviation systématique de la cognition humaine par rapport au modèle d’indépendance de Bernoulli. L’hyper-alternance documentée par la statistique Z = +4,95 met en lumière les contraintes structurales pesant sur la mémoire de travail et les fonctions exécutives. L’individu ne se comporte pas comme un automate stochastique à états indépendants ; il gère activement un modèle mental interne de la séquence passée au sein de son calepin exécutif central.

Chaque tirage simulé est inconsciemment influencé par les deux ou trois événements immédiatement antérieurs. Si le participant observe qu’il vient de prononcer deux fois l’élément « Pile », un sentiment subjectif de distorsion probabiliste émerge, le poussant à inhiber la commande motrice associée à « Pile » pour stimuler délibérément l’alternative « Face ». Ce mécanisme de compensation active constitue l’exacte contrepartie computationnelle du sophisme du joueur : le sujet humain traite une épreuve séquentielle sans mémoire comme si elle obéissait à un tirage exhaustif sans remise.

Ces conclusions possèdent des implications directes pour les modèles formels de la prise de décision économique et financière. Elles démontrent que dans les contextes où l’être humain doit appréhender ou simuler le risque aléatoire (qu’il s’agisse de traders sur les marchés d’actions ou de parieurs sportifs), l’illusion séquentielle conduit inévitablement à des biais d’anticipation systématiques. Le test des suites s’affirme ici comme un outil diagnostique irremplaçable pour quantifier objectivement l’ampleur de ces biais cognitifs au niveau individuel ou de groupe.

12. Limites méthodologiques, puissance statistique et alternatives

12.1 Facteurs modulant la puissance statistique du test des suites

Bien que le test des suites de Wald-Wolfowitz constitue un modèle d’élégance méthodologique par son absence totale de postulats distributionnels, sa puissance statistique brute (la probabilité 1 – bêta de rejeter l’hypothèse nulle d’indépendance lorsqu’elle est effectivement fausse) est assujettie à de fortes contraintes structurales. Le premier déterminant de la puissance réside, de façon universelle, dans la taille de l’échantillon global N. Pour des cohortes inférieures à 30 ou 40 observations, la puissance du test face à des dépendances autorégressives modérées (par exemple un coefficient phi de 0,3 dans un modèle AR(1)) demeure particulièrement faible, exposant le chercheur à un risque élevé d’erreur de deuxième espèce.

Le second facteur critique concerne l’ampleur du déséquilibre des fréquences marginales. Comme explicité dans les fondements mathématiques, l’asymétrie prononcée entre n1 et n2 comprime dramatiquement l’espace des configurations combinatoires accessibles. Lorsque le ratio marginal franchit le seuil de 80/20, la puissance du test s’effondre de manière asymptotique, empêchant la détection de structures sérielles réelles, même au sein d’échantillons quantitativement étendus.

Enfin, comparativement aux tests paramétriques développés pour les séries quantitatives continues (tels que les tests basés sur le coefficient d’autocorrélation linéaire de Pearson), le test des suites subit le contrecoup de la perte d’information consécutive à la dichotomisation obligatoire. Lorsqu’une variable quantitative suit rigoureusement une distribution normale bivariée le long du temps, le test des suites n’atteint qu’une fraction de l’efficacité relative asymptotique (ARE) des épreuves linéaires classiques. Son emploi ne se justifie donc avec une force maximale que lorsque les distributions parente s’écartent violemment de la gaussianité ou que les relations sous-jacentes relèvent de dynamiques purement non linéaires.

12.2 Panorama des tests complémentaires d’aléatoirité et d’indépendance

Face aux limites inhérentes au dénombrement macroscopique des suites, le praticien de la recherche statistique doit savoir intégrer au sein de son arsenal des méthodologies inférentielles complémentaires afin de dresser un tableau d’audit exhaustif de la structure sérielle. Le tableau suivant présente une synthèse comparative des alternatives majeures disponibles dans l’environnement computationnel R :

• Le test du Chi-carré d’indépendance pour transitions markoviennes : Ce protocole structure les données sous forme d’une table de contingence de dimensions 2×2 croisant l’état à l’instant t avec l’état à l’instant t+1. Il évalue spécifiquement si la probabilité de transition d’une catégorie à l’autre dépend de l’état d’origine, apportant une sensibilité ciblée et supérieure aux dynamiques de chaînes de Markov du premier ordre (implémentation aisée via chisq.test(table(x[-length(x)], x[-1]))).
• Le test d’autocorrélation de Ljung-Box : Dédié exclusivement aux séries quantitatives continues, le test de Ljung-Box (accessible via la fonction native Box.test(…, type = « Ljung-Box »)) évalue la significativité globale d’un ensemble de coefficients d’autocorrélation jusqu’à un décalage temporel (lag) maximal spécifié. Il mobilise l’intégralité de l’information métrique continue, offrant une puissance remarquable face aux processus ARMA linéaires.
• Le test des rangs de Bartels : Considéré par la communauté statistique comme l’extension non paramétrique la plus puissante du test de von Neumann, le test de Bartels opère sur les rangs des observations continues plutôt que sur des indicateurs binaire dichotomisés (disponible au sein de la bibliothèque randtests::bartels.rank.test()). En exploitant l’information ordinale relative sans exiger de découpage par seuil, le test de Bartels surpasse très largement le test des suites en matière d’efficacité relative asymptotique pour les variables d’échelles quantitatives ordinales ou continues.

12.3 Recommandations méthodologiques pour une recherche reproductible

Pour parachever l’élaboration d’un protocole méthodologique irréprochable fondé sur le test des suites de Wald-Wolfowitz dans l’écosystème R, la communauté scientifique internationale s’accorde aujourd’hui sur l’observance stricte d’un ensemble de bonnes pratiques de recherche reproductible :

Premièrement, la déclaration préalable (pré-enregistrement) du protocole d’analyse constitue le rempart le plus efficace contre les dérives exploratoires opportunistes. Le chercheur doit consigner, en amont de toute collecte de données sur des registres ouverts tels que l’Open Science Framework (OSF), la nature exacte du test retenu (snpar, randtests), la directionnalité de l’hypothèse (bilatérale versus unilatérale), ainsi que la règle de dichotomisation formelle retenue (médiane empirique versus seuil théorique exogène fixe).

Deuxièmement, l’inférence quantitative ne doit jamais opérer en vase clos. Elle doit systématiquement s’articuler avec des diagnostics visuels exploratoires complets (graphiques chronologiques détaillés avec seuil médian, visualisations ggplot2 et corrélogrammes empiriques ACF). L’inspection visuelle conjointe prémunit l’analyste contre les biais d’interprétation consécutifs à des artéfacts d’asymétrie ou à des périodicités masquées échappant au dénombrement global des suites.

Troisièmement, le script de traitement R complet, rigoureusement documenté, commenté et encapsulé avec la traçabilité des dépendances de paquets (via des gestionnaires d’environnements tels que renv), doit impérativement être mis à disposition de la communauté académique au sein de dépôts institutionnels publics ou sur GitHub. C’est à ce prix d’exigence méthodologique et de transparence computationnelle que le test des suites déploiera toute sa valeur heuristique pour garantir la robustesse des connaissances scientifiques contemporaines.

Références

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Bartels, R. (1982). The rank version of von Neumann’s ratio test for randomness. Journal of the American Statistical Association, 77(377), 40–46. https://doi.org/10.1080/01621459.1982.10477764

Csorgo, S., & Faraway, J. J. (1996). The exact and asymptotic distributions of Wald-Wolfowitz runs. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological), 58(1), 221–234. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1996.tb02078.x

Durbin, J., & Watson, G. S. (1950). Testing for serial correlation in least squares regression: I. Biometrika, 37(3/4), 409–428. https://doi.org/10.2307/2332388

Kahneman, D., & Tversky, A. (1972). Subjective probability: A judgment of representativeness. Cognitive Psychology, 3(3), 430–454. https://doi.org/10.1016/0010-0285(72)90016-3

R Core Team. (2023). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

Siegel, S., & Castellan, N. J. (1988). Nonparametric statistics for the behavioral sciences (2nd ed.). McGraw-Hill.

Trapletti, A., & Hornik, K. (2023). tseries: Time series analysis and computational finance (R package version 0.10-54). https://CRAN.R-project.org/package=tseries

Wald, A., & Wolfowitz, J. (1940). On a test whether two samples are from the same population. The Annals of Mathematical Statistics, 11(2), 147–162. https://doi.org/10.1214/aoms/1177731909

Wickham, H. (2016). ggplot2: Elegant graphics for data analysis. Springer-Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-319-24277-4