QUARTILE.EXC vs. QUARTILE.INC dans Excel : quelle est la différence ?

Dans le vaste paysage de l’analyse exploratoire des données et du traitement quantitatif sous tableur, le calcul des quantiles constitue une opération à la fois élémentaire et hautement sophistiquée. Utilisés quotidiennement par des analystes financiers, des bio-statisticiens, des ingénieurs en qualité et des chercheurs en sciences comportementales, les quartiles permettent de résumer la structure d’une distribution sans postuler la normalité sous-jacente de la population observée. Pourtant, sous l’apparente simplicité d’une partition en quatre sous-ensembles équiprobables, l’environnement Microsoft Excel abrite une dualité algorithmique qui suscite régulièrement des interrogations méthodologiques majeures : l’existence simultanée des fonctions QUARTILE.INC et QUARTILE.EXC.

L’introduction d’Excel 2010 a marqué une rupture décisive dans l’architecture des bibliothèques de fonctions statistiques du logiciel de Microsoft. Jusqu’alors, les praticiens recouraient de manière universelle à l’unique fonction QUARTILE, un outil hérité des premières versions du tableur dont les fondements calculatoires reposaient sur des conventions d’interpolation spécifiques. La scission opérée entre les variantes inclusive (.INC) et exclusive (.EXC) n’est pas un simple remaniement cosmétique ou une déclinaison stylistique, mais bien l’expression mathématique de deux approches concurrentes de la théorie de l’estimation sur données finies. Cette distinction renvoie à des débats historiques sur la modélisation des probabilités empiriques cumulées et soulève des enjeux cruciaux quant à l’interprétation des résultats analytiques.

Comprendre la divergence fonctionnelle entre QUARTILE.INC et QUARTILE.EXC exige une immersion approfondie dans la mécanique des statistiques d’ordre, l’étude des règles d’interpolation linéaire et l’analyse de l’impact des discontinuités d’échantillonnage. Cet article se propose d’explorer de façon exhaustive les fondements mathématiques, les implications algorithmiques et les répercussions empiriques de ces deux fonctions. À travers une analyse comparative rigoureuse, enrichie d’une étude de cas psychométrique et d’un examen des représentations graphiques associées, nous mettrons en lumière les critères scientifiques qui doivent guider le choix du statisticien face à sa matrice de données.

1. Introduction aux mesures de dispersion et aux quartiles sous Excel

1.1 Fondements de l’analyse exploratoire des données

L’analyse exploratoire des données, telle que conceptualisée par le statisticien américain John Tukey au début des années 1970, repose sur le principe fondamental selon lequel l’analyste doit d’abord écouter ce que les données révèlent avant de leur imposer un cadre probabiliste rigide ou paramétrique. Dans cette perspective, les statistiques d’ordre, qui s’obtiennent par le tri et l’ordonnancement croissant des observations d’un échantillon fini, jouent un rôle de premier plan. Contrairement aux moments arithmétiques que sont la moyenne et la variance, les statistiques d’ordre possèdent des propriétés d’invariance d’échelle et de résistance particulièrement remarquables face aux asymétries distributionnelles et aux valeurs aberrantes.

Les métriques paramétriques classiques présentent en effet une fragilité intrinsèque dès lors que la distribution sous-jacente s’écarte du modèle gaussien théorique. La moyenne arithmétique, par sa sensibilité aiguë aux scores extrêmes, peut conférer une vision trompeuse de la tendance centrale d’un ensemble de mesures, tandis que l’écart-type amplifie quadratiquement les écarts marginaux. Les quantiles, et plus spécifiquement les quartiles, offrent une synthèse non paramétrique robuste en segmentant la distribution ordonnée en tranches proportionnelles d’effectif. Cette caractéristique confère aux quartiles une stabilité conceptuelle indispensable lors du traitement de variables continues non distribuées normalement, telles que les revenus économiques, les temps de réaction en neurosciences ou les concentrations de polluants environnementaux.

L’histoire de l’implémentation des algorithmes de calcul des quantiles au sein des tableurs numériques révèle une tension perpétuelle entre pragmatisme computationnel et rigueur méthodologique. Lors du développement des premières versions de Microsoft Excel, les ingénieurs ont dû concevoir des routines capables de renvoyer un résultat déterministe quel que soit le volume d’observations injecté dans la feuille de calcul. Cependant, l’absence initiale d’un consensus universel parmi les théoriciens de la statistique a conduit à des divergences notables entre les logiciels propriétaires et les bibliothèques scientifiques libres. Dans les publications académiques à fort impact, ces divergences peuvent induire des variations substantielles dans les seuils critiques de décision, compromettant la reproductibilité des inférences scientifiques.

La standardisation des résultats constitue de ce fait un enjeu méthodologique central. Deux chercheurs exploitant un même jeu de données empiriques sous des logiciels distincts peuvent parvenir à des estimations discordantes du premier ou du troisième quartile si la convention d’interpolation sous-jacente n’est pas formellement explicitée. L’analyse des quantiles sous Excel impose ainsi une vigilance constante quant à la méthode d’affectation des rangs relatifs et aux hypothèses sous-tendant la généralisation des observations finies vers la population parente.

1.2 Présentation des trois fonctions de quartiles dans le tableur

Pour répondre à ces impératifs de rigueur et d’harmonisation avec les standards de la recherche computationnelle, Microsoft a profondément remanié sa bibliothèque statistique lors de la mise sur le marché d’Excel 2010. Avant cette version charnière, l’unique fonction disponible pour segmenter une série en quatre segments était la commande générique QUARTILE. Cette dernière appliquait un algorithme d’interpolation linéaire continue intégrant sans réserve les valeurs extrêmes de l’échantillon, sans que l’utilisateur n’ait la possibilité d’adapter le calcul aux spécificités inférentielles de son étude.

Avec le déploiement d’Excel 2010, l’éditeur a introduit un diptyque fonctionnel composé de QUARTILE.INC (pour *inclusive*) et de QUARTILE.EXC (pour *exclusive*). Cette transition visait un double objectif : clarifier l’ancrage théorique du calcul effectué et s’aligner sur les taxonomies statistiques internationales, en particulier les travaux de normalisation recensés par les instances de standardisation et les comités de rédaction des revues scientifiques de premier plan. La mention explicite du suffixe permet désormais au praticien d’identifier immédiatement si les centiles empiriques extrêmes (0 % et 100 %) sont inclus ou exclus du domaine de définition de la variable transformée.

La fonction historique QUARTILE n’a pas été supprimée pour autant du noyau logiciel ; elle a été reléguée au rang de fonction de compatibilité ascendante. Cette conservation garantit que les classeurs corporatifs et académiques édités au cours des décennies précédentes conservent une stricte cohérence interne et ne génèrent pas d’erreurs de calcul lors de leur ouverture dans les versions modernes d’Excel. Néanmoins, l’existence conjointe de ces trois fonctions impose désormais une distinction préliminaire rigoureuse : QUARTILE et QUARTILE.INC procèdent d’une logique algorithmique strictement identique, tandis que QUARTILE.EXC matérialise une approche épistémologique différente du positionnement relatif des rangs.

2. Définitions formelles et concepts mathématiques des quartiles

2.1 Décomposition en quatre intervalles équiprobables

D’un point de vue probabiliste formel, les quantiles représentent les valeurs seuils qui divisent la fonction de répartition continue d’une variable aléatoire en segments d’égales probabilités. Pour une variable aléatoire réelle $X$ dotée d’une fonction de répartition $F(x) = P(X le x)$, le quantile d’ordre $p$ (avec $p in ]0, 1[$) est défini comme l’infimum des valeurs de $x$ pour lesquelles la probabilité cumulée est supérieure ou égale à $p$ :

$$Q(p) = \inf { x in \mathbb{R} mid F(x) ge p }$$

Dans ce cadre généraliste, les quartiles correspondent au découpage de l’espace des réalisations en quatre intervalles équiprobables d’amplitude $0{,}25$. Le premier quartile, couramment désigné par la notation $Q_1$, s’identifie au 25^e centile empirique. Il constitue la valeur sous laquelle se situe exactement un quart (25 %) de la masse de probabilité de la distribution. En analyse exploratoire, $Q_1$ matérialise le seuil inférieur de performance ou de concentration, isolant le quart des observations les plus modestes de la série ordonnée.

Le second quartile, noté $Q_2$, correspond au 50^e centile et coïncide rigoureusement avec la médiane géométrique de l’échantillon. Il sépare la population ordonnée en deux sous-groupes d’effectifs identiques, agissant comme le pivot fondamental de la symétrie locale. Enfin, le troisième quartile, ou $Q_3$, équivaut au 75^e centile, démarquant le seuil au-dessous duquel reposent les trois quarts (75 %) des observations, ou de façon symétrique, le seuil au-dessus duquel s’isole le quart supérieur des valeurs maximales.

De la détermination conjointe de ces bornes découle l’indicateur synthétique de variabilité non paramétrique le plus largement employé : l’écart interquartile (usuellement abrégé en IQR, pour *Interquartile Range*). Défini par la relation linéaire fondamentale :

$$\text{IQR} = Q_3 – Q_1$$

cet écart mesure l’étendue occupée par les 50 % centraux de la distribution. L’IQR présente l’avantage insigne de neutraliser intégralement l’influence des valeurs extrêmes ou aberrantes situées dans les queues de distribution, offrant ainsi un étalon de dispersion d’une fiabilité remarquable pour comparer des échantillons hétéroscédastiques.

2.2 La problématique de la discontinuité des rangs discrets

Si la définition théorique des quantiles ne soulève aucune difficulté sur une variable aléatoire continue possédant une fonction de densité strictement croissante, la transposition empirique à une série finie de $N$ observations discrètes constitue un défi mathématique non trivial. Lorsque des données sont recueillies expérimentalement, elles forment un ensemble discret de réalisations ordonnées, noté :

$$x_{(1)} le x_{(2)} le x_{(3)} le dots le x_{(N)}$$

Dans une telle série ordonnée, les rangs sont des entiers naturels discrets appartenant à l’intervalle $[1, N]$. Or, lorsqu’on cherche à déterminer le rang d’ordre $p$ (par exemple pour $p = 0{,}25$ ou $p = 0{,}75$), le produit du centile par la taille de l’échantillon ou par un facteur linéaire de celle-ci produit presque systématiquement un rang fractionnaire non entier. Pour obtenir une valeur continue représentative, le statisticien est contraint de recourir à une procédure d’interpolation entre les observations discrètes adjacentes entourant ce rang théorique.

Dans un article fondateur publié en 1996 au sein de la revue The American Statistician, les statisticiens Rob J. Hyndman et Yanan Fan ont dressé un état des lieux critique de cette problématique. Les auteurs ont répertorié et analysé neuf définitions mathématiques distinctes de quantiles utilisées de manière fragmentée à travers les progiciels statistiques tels que SAS, SPSS, BMDP, S-PLUS, R et les tableurs grand public. Ces neuf définitions se scindent en deux grandes familles : les méthodes discrètes à saut de marche (Types 1 à 3) et les méthodes d’interpolation linéaire continue par morceaux (Types 4 à 9).

La sensibilité des valeurs calculées à ces conventions de calcul s’avère particulièrement prononcée sur les échantillons de taille modeste. Selon que l’on postule que la plus petite observation observée $x_{(1)}$ correspond à la probabilité cumulée $0$, à la probabilité $\frac{1}{N}$, ou à une position médiane attendue de premier rang dans un processus d’échantillonnage, la valeur attribuée au premier quartile subit des variations sensibles. Ce constat met en lumière les implications épistémologiques du choix d’un estimateur : cherche-t-on à synthétiser les seules limites de l’échantillon fini disponible, ou souhaite-t-on inférer sans biais les paramètres de la loi continue génératrice dont cet échantillon n’est qu’une projection fragmentaire ?

3. La fonction QUARTILE.INC : Algorithme et principes d’inclusion

3.1 Fondement mathématique et formulation du rang

La fonction QUARTILE.INC incarne la doctrine de l’inclusion exhaustive des données disponibles. Elle repose sur le postulat méthodologique selon lequel la première observation de l’échantillon ordonné, $x_{(1)}$, correspond rigoureusement au centile zéro ($p = 0$), tandis que la dernière observation, $x_{(N)}$, correspond sans ambiguïté au centile cent ($p = 1$). Dans ce modèle, l’ensemble de la dispersion empirique est intégralement contenu à l’intérieur des bornes formées par le minimum et le maximum de la série.

Pour déterminer la position théorique du rang réel associé à une probabilité cumulée $p in [0, 1]$, l’algorithme de QUARTILE.INC applique l’équation de projection suivante :

$$R_{\text{inc}}(p) = 1 + p(N – 1)$$

Cette formulation distribue les $(N – 1)$ intervalles élémentaires séparant les $N$ observations ordonnées de manière parfaitement linéaire le long du continuum $[0, 1]$. Lorsque $p = 0{,}25$ pour le premier quartile, le rang devient $R_{\text{inc}}(0{,}25) = 1 + 0{,}25(N – 1)$. Lorsque ce calcul débouche sur une fraction décimale, le rang se décompose en sa partie entière, notée $k = lfloor R rfloor$, et sa partie fractionnaire, notée $f = R – lfloor R rfloor$, où $f in [0, 1[$.

L’interpolation linéaire s’effectue alors selon la combinaison convexe des deux valeurs ordonnées encadrantes :

$$Q_{\text{inc}}(p) = (1 – f) \cdot x_{(k)} + f \cdot x_{(k+1)} = x_{(k)} + f \cdot (x_{(k+1)} – x_{(k)})$$

Cette approche correspond exactement au **Type 7** de la classification exhaustive de Hyndman et Fan. Ce Type 7 s’est imposé comme le standard par défaut dans de nombreux environnements informatiques, y compris le langage R (au sein de la fonction native quantile()) et la bibliothèque Python NumPy (via la fonction percentile par défaut). La justification théorique de cette approche repose sur le fait qu’elle procure une fonction de répartition empirique continue, invariante par transformation linéaire affine, reliant les points d’interpolation sans rupture de pente entre les extrêmes observés.

3.2 Syntaxe opérationnelle et paramètres d’entrée

Dans l’écosystème fonctionnel d’Excel, la syntaxe de QUARTILE.INC répond à une logique matricielle classique et s’énonce selon la formulation normalisée :

=QUARTILE.INC(matrice; quart)

Le premier argument, matrice, désigne la plage de cellules continues ou discontinues contenant la collection des valeurs numériques soumises à l’évaluation. Le second argument, quart, accepte les nombres entiers compris dans l’intervalle fermé $[0, 4]$. Chaque valeur d’argument code pour un point remarquable spécifique de la distribution ordonnée :

• 0 : Renvoie la valeur minimale absolue observée dans la matrice ($x_{(1)}$).
• 1 : Calcule le premier quartile ($Q_1$), correspondant au 25^e centile empirique inclusif.
• 2 : Détermine la valeur médiane ($Q_2$), correspondant au 50^e centile empirique.
• 3 : Calcule le troisième quartile ($Q_3$), correspondant au 75^e centile empirique inclusif.
• 4 : Renvoie la valeur maximale absolue observée dans la matrice ($x_{(N)}$).

Le comportement du moteur de calcul d’Excel face aux données bruitées s’avère particulièrement prévisible. Les cellules contenant du texte brut, des espaces insécables, des valeurs logiques booléennes (VRAI ou FAUX) ou demeurant vides sont rigoureusement ignorées lors de la compilation du tableau d’observations. En revanche, la présence de valeurs nulles (zéros numériques) est traitée comme une grandeur quantitative légitime participant pleinement à la fixation de la taille d’échantillon $N$.

Si l’argument quart est fourni sous la forme d’un nombre décimal (par exemple $1{,}8$), le moteur d’Excel procède à une troncature immédiate à sa partie entière sans arrondir à la valeur la plus proche. Si l’argument est inférieur à 0 ou supérieur à 4, le tableur interrompt l’évaluation et retourne systématiquement le code d’erreur #NOMBRE!. De même, si la plage de données référencée ne comporte aucune valeur numérique exploitable, l’erreur #NUM! est émise, signalant l’impossibilité algorithmique de construire l’espace des rangs.

3.3 Comportement sur la médiane médiane des sous-ensembles

L’un des traits les plus distinctifs de la philosophie sous-jacente à QUARTILE.INC réside dans sa manière d’appréhender le pivotement autour de la médiane lors de la scission de l’échantillon. Dans l’approche inclusive historique, souvent rattachée aux conventions initiales de John Tukey concernant la méthode des « charnières » (*hinges*), la valeur médiane de la série complète n’est pas expulsée lorsque l’analyste décompose le jeu de données pour déterminer $Q_1$ et $Q_3$.

Sur une série de données à effectif impair ordonnée comptant $N = 2m + 1$ éléments, la médiane centrale correspond strictement à l’observation $x_{(m+1)}$. Dans le schéma de dérivation inclusive, cette observation pivot est conservée à la fois dans le demi-échantillon inférieur (allant de $x_{(1)}$ à $x_{(m+1)}$) et dans le demi-échantillon supérieur (allant de $x_{(m+1)}$ à $x_{(N)}$). Cette duplication conceptuelle de la médiane a pour conséquence mécanique de « resserrer » les sous-ensembles vers le centre de gravité de la série.

Sur le plan mathématique, cette inclusion de la médiane globale dans les deux sous-ensembles atténue modérément l’amplitude de l’écart interquartile. En intégrant le point central dans chaque segment, la variabilité interne des demi-séries est amoindrie, ce qui conduit à une estimation de $Q_1$ légèrement plus élevée et à une estimation de $Q_3$ légèrement plus basse que celles produites par des démarches fondées sur la stricte exclusion. Pour les données discrètes issues d’échantillonnages restreints, cette propriété confère aux résultats une consistance remarquable avec les fonctions de répartition empiriques classiques, réduisant la dispersion estimée et stabilisant le calcul face aux fluctuations des queues de distribution.

4. La fonction QUARTILE.EXC : Algorithme et principes d’exclusion

4.1 Fondement mathématique et distribution exclusive des rangs

À l’opposé de la démarche inclusive, la fonction QUARTILE.EXC matérialise une perspective résolument inférentielle et continue. Cette approche part du constat que tout échantillon fini prélevé au sein d’une population continue infinie ne capture jamais les valeurs extrêmes absolues de cette dernière. Par conséquent, assigner arbitrairement les probabilités cumulées $p = 0$ au minimum de l’échantillon et $p = 1$ à son maximum constitue un biais conceptuel : il est hautement improbable que la plus petite valeur d’un échantillon restreint représente la limite inférieure théorique de la variable dans la population mère.

L’algorithme de QUARTILE.EXC segmente l’axe probabiliste de manière à exclure les probabilités nulles et unitaires strictes. Il postule que les $N$ observations ordonnées divisent la distribution de la population parente en $(N + 1)$ tranches équiprobables d’amplitude $\frac{1}{N+1}$. Dans cette géométrie statistique, le rang attendu pour la $k$-ième statistique d’ordre $x_{(k)}$ correspond à la probabilité cumulée :

$$p_k = \frac{k}{N + 1}$$

Pour déterminer le rang réel $R_{\text{exc}}(p)$ associé à un centile théorique $p$, la formule de positionnement s’inverse directement pour donner :

$$R_{\text{exc}}(p) = p(N + 1)$$

Cette expression régit le comportement de la fonction. Pour le premier quartile ($p = 0{,}25$), le rang projeté devient $R_{\text{exc}}(0{,}25) = 0{,}25(N + 1)$, tandis que pour le troisième quartile ($p = 0{,}75$), il est établi à $R_{\text{exc}}(0{,}75) = 0{,}75(N + 1)$. Lorsque ce rang n’est pas un entier naturel, une interpolation linéaire identique à celle décrite précédemment est appliquée entre les éléments discrets d’ordres contigus $lfloor R rfloor$ et $lfloor R rfloor + 1$.

Dans la nomenclature universelle de Hyndman et Fan (1996), cette formulation correspond sans équivoque au **Type 6**. Cette convention de calcul est celle adoptée par défaut dans des progiciels d’analyse inférentielle tels que IBM SPSS Statistics ou Minitab. L’estimateur de Type 6 jouit de propriétés mathématiques appréciées dans le cadre de l’estimation non biaisée des quantiles sous hypothèse de distribution uniforme continue, assurant que l’espérance de la probabilité cumulée en chaque point d’ordre $k$ égale fidèlement $\frac{k}{N+1}$.

4.2 Syntaxe, contraintes d’arguments et restrictions

L’application de QUARTILE.EXC obéit formellement à la signature syntaxique suivante :

=QUARTILE.EXC(matrice; quart)

Toutefois, les restrictions entourant les paramètres d’entrée sont nettement plus sévères que celles régissant la version inclusive. L’argument quart n’accepte ici qu’un ensemble strictement restreint de valeurs entières : $1$, $2$ ou $3$. L’introduction des valeurs $0$ ou $4$, qui sont parfaitement valides sous QUARTILE.INC, entraîne irrémédiablement le renvoi du message d’erreur d’exécution #NOMBRE!.

Cette restriction fonctionnelle n’est pas une omission de programmation de la part des concepteurs d’Excel, mais la traduction logique rigoureuse de la formule de rang exclusive. Si l’on cherchait à calculer le quartile 0 ($p = 0$), l’application de la règle donnerait un rang $R = 0 \times (N + 1) = 0$. Or, le premier élément physique stocké dans la série ordonnée occupe le rang 1. Le rang 0 est donc situé en dehors des limites de l’échantillon, rendant toute interpolation impossible sans procéder à une extrapolation arbitraire au-delà des données observées. De manière symétrique, le quartile 4 ($p = 1$) commanderait l’évaluation au rang $R = N + 1$, position qui dépasse de facto l’indice de la dernière observation disponible $x_{(N)}$.

Au-delà de l’interdiction des bornes extrêmes, QUARTILE.EXC impose une exigence stricte quant à la taille minimale de l’échantillon fourni. Pour que le premier quartile ($p = 0{,}25$) puisse être interpolé, il est impératif que le rang calculé soit supérieur ou égal à 1. La condition mathématique s’énonce :

$$R_{\text{exc}}(0{,}25) ge 1 iff 0{,}25(N + 1) ge 1 iff N + 1 ge 4 iff N ge 3$$

Toutefois, pour que le troisième quartile puisse être calculé sans dépasser la taille de l’échantillon, la condition supérieure impose que :

$$R_{\text{exc}}(0{,}75) le N iff 0{,}75(N + 1) le N iff 0{,}75 le 0{,}25N iff N ge 3$$

En réalité, lorsque $N = 3$, $R_{\text{exc}}(0{,}25) = 1$ et $R_{\text{exc}}(0{,}75) = 3$, ce qui permet une lecture directe sur les bornes sans interpolation. Mais dès que la taille de l’échantillon descend en deçà de 3 (c’est-à-dire pour $N = 1$ ou $N = 2$), la fonction QUARTILE.EXC ne dispose plus de suffisamment de points pour encadrer les quartiles et renvoie instantanément l’erreur #NOMBRE!, soulignant l’incompatibilité fondamentale de cette formule avec les séries ultra-courtes.

4.3 Traitement de la médiane lors de la scission

Sur le plan de l’architecture distributionnelle, la fonction QUARTILE.EXC s’aligne fidèlement sur la logique de Tukey lorsqu’elle est appliquée avec exclusion stricte de la médiane globale. Si l’échantillon ordonné comporte un effectif impair $N = 2m + 1$, la médiane centrale $x_{(m+1)}$ constitue une frontière étanche qui est complètement retranchée des deux sous-ensembles servant à la détermination des quartiles périphériques.

Le sous-échantillon inférieur est ainsi circonscrit aux rangs stricts allant de $x_{(1)}$ à $x_{(m)}$, tandis que le sous-échantillon supérieur ne mobilise que les observations allant de $x_{(m+2)}$ à $x_{(2m+1)}$. Aucun transfert d’information n’opère entre les deux moitiés par l’entremise du pivot central. Les observations constitutives de chaque demi-échantillon sont donc entièrement cantonnées dans leurs domaines respectifs.

Cette éviction de la valeur médiane a un effet géométrique direct : elle repousse les rangs relatifs des quartiles vers l’extérieur de la distribution. En éloignant le barycentre local de chaque moitié par rapport au centre global, QUARTILE.EXC débouche quasi systématiquement sur une estimation de $Q_1$ inférieure et une estimation de $Q_3$ supérieure à celles produites par QUARTILE.INC. Ce phénomène accentue l’amplitude mesurée de l’écart interquartile ($\text{IQR}_{\text{exc}} ge \text{IQR}_{\text{inc}}$), traduisant une vision plus large de la variabilité potentielle de la population d’origine.

5. La fonction QUARTILE historique : Rétrocompatibilité et équivalence

5.1 Origines dans les versions antérieures d’Excel

La genèse de la fonction QUARTILE originelle remonte aux premières architectures du tableur de Microsoft, à une époque où la préoccupation majeure des ingénieurs logiciels résidait dans l’accessibilité ergonomique et la simplicité de calcul sur des configurations matérielles limitées. L’introduction précoce de cette commande générique visait à doter les gestionnaires d’entreprises et les chercheurs d’un outil direct permettant de scinder un ensemble de scores en quatre classes sans nécessiter de programmation matricielle complexe.

Durant plus de deux décennies, de la sortie d’Excel 2.0 jusqu’à la version 2007, cette fonction unique a constitué le passage obligé de tout utilisateur souhaitant analyser des quantiles sous l’environnement Office. Or, au fil des versions, la communauté scientifique internationale a souligné de manière récurrente l’ambiguïté terminologique entourant cette désignation non qualifiée. Le simple vocable QUARTILE ne laissait en rien deviner la règle d’interpolation retenue, induisant des erreurs d’interprétation chez des praticiens familiers d’autres progiciels statistiques appliquant des conventions différentes.

Pour prévenir les risques de rupture dans les protocoles de calcul industriels, financiers et médicaux déjà déployés, la politique de gestion du cycle de vie logiciel de Microsoft a dicté le maintien strict de l’ancienne fonction en mode de compatibilité. Le recours aux fonctions dépréciées ou historiques demeure toutefois déconseillé dans les nouveaux projets de recherche, car il perpétue un flou méthodologique néfaste pour la reproductibilité scientifique.

5.2 Démonstration de l’identité absolue avec QUARTILE.INC

Sur le plan purement algorithmique, une interrogation persiste fréquemment chez les analystes : la fonction historique QUARTILE présente-t-elle la moindre divergence de calcul avec la fonction contemporaine QUARTILE.INC ? La réponse mathématique et informatique est un non catégorique : il existe une identité computationnelle absolue entre ces deux entités logiques.

Pour s’en convaincre formellement, il suffit d’analyser le code binaire sous-jacent et d’observer les sorties numériques produites sur n’importe quel jeu de données réel ou simulé. Prenons une série quelconque $X$ d’effectif $N$. Pour tout quartile $q in {0, 1, 2, 3, 4}$, les deux fonctions mobilisent exactement l’algorithme d’interpolation linéaire fondé sur le rang :

$$R(q) = 1 + \frac{q}{4}(N – 1)$$

Le traitement des valeurs d’entrée, la gestion des chaînes textuelles, le rejet des codes d’erreur et les règles de troncature de l’argument décimal sont rigoureusement indiscernables. Une comparaison dynamique menée au sein d’un classeur Excel à l’aide d’un test d’égalité logique strict :

=SI(QUARTILE(plage; k) = QUARTILE.INC(plage; k); VRAI; FAUX)

renverra invariablement la valeur booléenne VRAI sur l’ensemble du domaine de définition, quelle que soit la précision machine mise en jeu (conforme à la norme IEEE 754 sur les nombres à virgule flottante en double précision).

La fonction QUARTILE n’est donc rien d’autre qu’un alias historique de QUARTILE.INC conservé sous une étiquette distincte. Les recommandations institutionnelles de Microsoft et les normes de publication contemporaines incitent unanimement à bannir l’usage de QUARTILE au profit exclusif de QUARTILE.INC ou de QUARTILE.EXC, garantissant ainsi que l’intention méthodologique de l’auteur soit explicite dès la lecture du code de la feuille de calcul.

6. Comparaison mathématique détaillée des algorithmes d’interpolation

6.1 Formules analytiques des rangs fractionnaires

L’analyse comparée approfondie de QUARTILE.INC et QUARTILE.EXC nécessite de confronter directement leurs équations génératrices de rang pour une probabilité cumulée $p in ]0, 1[$. En posant la variable continue $p$, nous obtenons les deux fonctions affines de rang suivantes :

$$R_{\text{inc}}(p) = 1 + p(N – 1) = pN + (1 – p)$$

$$R_{\text{exc}}(p) = p(N + 1) = pN + p$$

Pour mesurer la dérive structurelle entre les deux méthodes, nous pouvons établir l’expression de la différence algébrique de rang, notée $\Delta R(p)$ :

$$\Delta R(p) = R_{\text{exc}}(p) – R_{\text{inc}}(p) = [pN + p] – [pN + 1 – p] = 2p – 1$$

Cette relation linéaire extrêmement pure met en lumière un résultat mathématique fondamental : la divergence de rang entre la méthode exclusive et la méthode inclusive est totalement indépendante de la taille de l’échantillon $N$. Elle ne dépend exclusivement que de la probabilité cumulée ciblée $p$. Cette propriété permet de caractériser le comportement relatif des quartiles :

• Pour le premier quartile ($p = 0{,}25$) : $\Delta R(0{,}25) = 2(0{,}25) – 1 = -0{,}5$. Le rang exclusif est donc invariablement décalé d’un demi-rang vers la gauche (valeurs inférieures) par rapport au rang inclusif : $R_{\text{exc}} = R_{\text{inc}} – 0{,}5$.
• Pour la médiane ($p = 0{,}50$) : $\Delta R(0{,}50) = 2(0{,}50) – 1 = 0$. Les deux équations convergent exactement vers le même rang théorique : $R = \frac{N+1}{2}$. Les deux fonctions fournissent toujours une estimation strictement identique de la médiane, sous réserve que $N ge 3$.
• Pour le troisième quartile ($p = 0{,}75$) : $\Delta R(0{,}75) = 2(0{,}75) – 1 = +0{,}5$. Le rang exclusif est systématiquement décalé d’un demi-rang vers la droite (valeurs supérieures) par rapport au rang inclusif : $R_{\text{exc}} = R_{\text{inc}} + 0{,}5$.

Sur le plan du comportement asymptotique, lorsque la taille de l’échantillon grandit et tend vers l’infini ($N to \infty$), le rapport relatif des rangs tend vers l’unité :

$$\lim_{N to \infty} \frac{R_{\text{exc}}(p)}{R_{\text{inc}}(p)} = \lim_{N to \infty} \frac{p(N + 1)}{1 + p(N – 1)} = 1$$

Ce résultat théorique démontre que l’impact du choix de la méthode s’amenuise au fur et à mesure que la puissance statistique de l’échantillon s’accroît. En revanche, pour des échantillons restreints ou modérés, le décalage invariant d’un demi-rang produit des écarts d’interpolation substantiels sur les valeurs interpolées.

6.2 Exemple théorique sur une distribution continue idéale

Afin de visualiser la dynamique d’estimation sans le biais parasite des fluctuations d’échantillonnage, considérons un échantillon théorique de taille $N = 7$ extrait d’une distribution continue standard, dont les valeurs ordonnées correspondent exactement aux quantiles théoriques d’une loi uniforme sur l’intervalle $[0, 8]$. Les valeurs de notre série discrète idéale sont données par $x_{(k)} = k$ pour $k in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$. Nous avons donc la suite ordonnée simple :

$$X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$$

Appliquons les deux méthodologies d’évaluation pour déterminer les quartiles :

Pour la fonction QUARTILE.INC :

• $R_{\text{inc}}(0{,}25) = 1 + 0{,}25(7 – 1) = 1 + 1{,}5 = 2{,}5$. La valeur de $Q_1$ s’obtient par l’interpolation : $x_{(2)} + 0{,}5(x_{(3)} – x_{(2)}) = 2 + 0{,}5(3 – 2) = 2{,}5$.
• $R_{\text{inc}}(0{,}50) = 1 + 0{,}50(7 – 1) = 1 + 3{,}0 = 4{,}0$. La médiane $Q_2$ correspond directement à la valeur entière $x_{(4)} = 4{,}0$.
• $R_{\text{inc}}(0{,}75) = 1 + 0{,}75(7 – 1) = 1 + 4{,}5 = 5{,}5$. La valeur de $Q_3$ est calculée par : $x_{(5)} + 0{,}5(x_{(6)} – x_{(5)}) = 5 + 0{,}5(6 – 5) = 5{,}5$.
• L’écart interquartile résultant s’élève à : $\text{IQR}_{\text{inc}} = 5{,}5 – 2{,}5 = 3{,}0$.

Pour la fonction QUARTILE.EXC :

• $R_{\text{exc}}(0{,}25) = 0{,}25(7 + 1) = 0{,}25 \times 8 = 2{,}0$. La valeur de $Q_1$ tombe exactement sur l’entier $x_{(2)} = 2{,}0$.
• $R_{\text{exc}}(0{,}50) = 0{,}50(7 + 1) = 0{,}50 \times 8 = 4{,}0$. La médiane $Q_2$ équivaut à $x_{(4)} = 4{,}0$.
• $R_{\text{exc}}(0{,}75) = 0{,}75(7 + 1) = 0{,}75 \times 8 = 6{,}0$. La valeur de $Q_3$ coïncide directement avec $x_{(6)} = 6{,}0$.
• L’écart interquartile correspondant s’élève à : $\text{IQR}_{\text{exc}} = 6{,}0 – 2{,}0 = 4{,}0$.

Cet exemple théorique épuré met en relief une divergence majeure : pour cette même série ordonnée de 7 observations, l’écart interquartile estimé par la méthode exclusive ($\text{IQR} = 4{,}0$) surpasse de $33{,}3 %$ celui issu de la méthode inclusive ($\text{IQR} = 3{,}0$). La variance d’échantillonnage et le biais d’estimation de la dispersion de la population dépendent donc intimement du choix structurel de l’opérateur.

7. Étude de cas pas à pas sur une série de scores psychométriques

7.1 Présentation du jeu de données et ordonnancement

Pour ancrer cette démonstration dans la pratique clinique et psychométrique, examinons une étude standardisée portant sur l’évaluation de l’anxiété-trait auprès d’un groupe expérimental de $N = 15$ participants. Les sujets ont été évalués au moyen d’un questionnaire standardisé fournissant une note globale échelonnée sur une échelle de score continu. Les données brutes recueillies à l’issue de l’administration du test sont les suivantes :

$${28, 42, 19, 37, 55, 48, 22, 31, 45, 60, 33, 50, 26, 40, 35}$$

La première phase incontournable de tout traitement par statistiques d’ordre consiste à soumettre cette collection empirique à un ordonnancement croissant rigoureux. Après tri numérique, nous obtenons la série ordonnée des statistiques d’ordre $x_{(1)}$ à $x_{(15)}$ :

• $x_{(1)} = 19$
• $x_{(2)} = 22$
• $x_{(3)} = 26$
• $x_{(4)} = 28$
• $x_{(5)} = 31$
• $x_{(6)} = 33$
• $x_{(7)} = 35$
• $x_{(8)} = 37$ (Médiane observée)
• $x_{(9)} = 40$
• $x_{(10)} = 42$
• $x_{(11)} = 45$
• $x_{(12)} = 48$
• $x_{(13)} = 50$
• $x_{(14)} = 55$
• $x_{(15)} = 60$

La taille de notre échantillon ($N = 15$) remplit sans équivoque les prérequis de calcul pour les deux fonctions envisagées, permettant d’étudier en détail la mécanique d’interpolation de chacune d’elles.

7.2 Application manuelle et computationnelle de QUARTILE.INC

Procédons dans un premier temps à la résolution analytique manuelle de la méthode inclusive pour déterminer le premier quartile $Q_1$, le second quartile $Q_2$ et le troisième quartile $Q_3$.

Calcul du premier quartile ($Q_1$) :

Application de la formule du rang :

$$R_{\text{inc}}(0{,}25) = 1 + 0{,}25(15 – 1) = 1 + 0{,}25(14) = 1 + 3{,}5 = 4{,}5$$

Le rang théorique obtenu est $4{,}5$. Il impose une interpolation linéaire à mi-chemin entre la 4^e observation ($x_{(4)} = 28$) et la 5^e observation ($x_{(5)} = 31$). La formule d’interpolation produit :

$$Q_1 = x_{(4)} + 0{,}5(x_{(5)} – x_{(4)}) = 28 + 0{,}5(31 – 28) = 28 + 1{,}5 = 29{,}5$$

Calcul du second quartile ($Q_2$ – Médiane) :

Application de la formule du rang :

$$R_{\text{inc}}(0{,}50) = 1 + 0{,}50(15 – 1) = 1 + 7{,}0 = 8{,}0$$

Le rang étant un entier strict, la médiane s’identifie immédiatement à la 8^e observation :

$$Q_2 = x_{(8)} = 37$$

Calcul du troisième quartile ($Q_3$) :

Application de la formule du rang :

$$R_{\text{inc}}(0{,}75) = 1 + 0{,}75(15 – 1) = 1 + 0{,}75(14) = 1 + 10{,}5 = 11{,}5$$

Le rang fractionnaire $11{,}5$ commande l’interpolation entre la 11^e valeur ($x_{(11)} = 45$) et la 12^e valeur ($x_{(12)} = 48$) :

$$Q_3 = x_{(11)} + 0{,}5(x_{(12)} – x_{(11)}) = 45 + 0{,}5(48 – 45) = 45 + 1{,}5 = 46{,}5$$

Dans Microsoft Excel, si l’on assigne cette série ordonnée aux cellules A1:A15, les formules d’appel =QUARTILE.INC(A1:A15; 1) et =QUARTILE.INC(A1:A15; 3) renvoient avec une exactitude parfaite les valeurs calculées : 29,5 et 46,5. L’écart interquartile s’établit dès lors à $\text{IQR}_{\text{inc}} = 46{,}5 – 29{,}5 = 17{,}0$.

7.3 Application manuelle et computationnelle de QUARTILE.EXC

Examinons désormais le traitement de cette même série psychométrique par l’algorithme exclusif de QUARTILE.EXC.

Calcul du premier quartile ($Q_1$) :

Application de la formule exclusive de positionnement de rang :

$$R_{\text{exc}}(0{,}25) = 0{,}25(15 + 1) = 0{,}25(16) = 4{,}0$$

Le résultat du calcul de rang fournit directement un entier naturel sans partie fractionnaire. Aucune interpolation linéaire n’est requise : la valeur correspond fidèlement à la 4^e observation de la série ordonnée :

$$Q_1 = x_{(4)} = 28{,}0$$

Calcul du second quartile ($Q_2$ – Médiane) :

Application de la formule du rang :

$$R_{\text{exc}}(0{,}50) = 0{,}50(15 + 1) = 0{,}50(16) = 8{,}0$$

Sans surprise, le rang concorde parfaitement avec la 8^e observation :

$$Q_2 = x_{(8)} = 37{,}0$$

Calcul du troisième quartile ($Q_3$) :

Application de la formule du rang :

$$R_{\text{exc}}(0{,}75) = 0{,}75(15 + 1) = 0{,}75(16) = 12{,}0$$

Ici encore, le rang tombe exactement sur l’entier 12, ce qui désigne directement la 12^e observation :

$$Q_3 = x_{(12)} = 48{,}0$$

Lors de l’évaluation dans la feuille de calcul via les instructions =QUARTILE.EXC(A1:A15; 1) et =QUARTILE.EXC(A1:A15; 3), le moteur d’Excel renvoie respectivement les valeurs 28,0 et 48,0. L’écart interquartile qui en dérive s’établit à $\text{IQR}_{\text{exc}} = 48{,}0 – 28{,}0 = 20{,}0$.

7.4 Comparaison critique des écarts obtenus

La confrontation directe des résultats numériques met en exergue des décalages fondamentaux, synthétisés dans le tableau synoptique ci-après :

• Premier quartile ($Q_1$) : 29,5 (INC) contre 28,0 (EXC), soit un écart absolu de 1,5 point.
• Deuxième quartile ($Q_2$) : 37,0 (INC) contre 37,0 (EXC), identité stricte de la médiane.
• Troisième quartile ($Q_3$) : 46,5 (INC) contre 48,0 (EXC), soit un écart absolu de 1,5 point.
• Écart interquartile (IQR) : 17,0 (INC) contre 20,0 (EXC), matérialisant une augmentation de dispersion de 17,6 % pour la méthode exclusive.

Ces divergences ont des implications cliniques et diagnostiques directes. Supposons qu’un protocole d’intervention psychothérapeutique définisse l’anxiété sévère par un positionnement au-delà du troisième quartile ($Q_3$). Si le praticien emploie la fonction QUARTILE.INC, le seuil de bascule clinique est fixé à $46{,}5$ ; les sujets présentant les scores $48, 50, 55$ et $60$ (soit 4 individus, représentant $26{,}7 %$ de l’échantillon) seront intégrés dans le groupe d’intervention prioritaire.

En revanche, si la grille de dépistage est établie à l’aide de la fonction QUARTILE.EXC, le seuil de criticité s’élève à $48{,}0$. Le patient ayant obtenu la note exacte de $48$ n’excède plus le seuil d’inclusion sévère, limitant le groupe d’intervention aux sujets ayant des scores de $50, 55$ et $60$ (soit 3 individus, représentant $20{,}0 %$ de l’effectif). Cet écart illustre comment un simple choix d’implémentation logicielle peut modifier l’étiquetage clinique d’un patient et l’attribution des ressources thérapeutiques.

8. Gestion des valeurs limites, tailles critiques d’échantillons et erreurs

8.1 La problématique des très petits échantillons (N < 4)

L’analyse des distributions de petite taille révèle avec acuité les limites algorithmiques respectives des deux variantes de quartiles. La fonction QUARTILE.EXC présente une vulnérabilité mathématique inhérente à sa construction : elle s’avère totalement incapable d’évaluer les quartiles dès lors que l’échantillon comporte moins de quatre observations ($N < 4$).

Pour comprendre les causes de cette défaillance, examinons le cas limite d’une série comprenant $N = 3$ valeurs ($X = {10, 20, 30}$). Dans cette configuration :

$$R_{\text{exc}}(0{,}25) = 0{,}25 \times (3 + 1) = 1{,}0 implies Q_1 = 10$$

$$R_{\text{exc}}(0{,}75) = 0{,}75 \times (3 + 1) = 3{,}0 implies Q_3 = 30$$

Bien qu’Excel parvienne à calculer ces points singuliers pour $N = 3$, il attribue au premier quartile le minimum absolu et au troisième quartile le maximum absolu, ce qui dénature le principe d’exclusion théorique. En revanche, dès que la taille de l’échantillon descend à $N = 2$, l’équation de rang exclusive donne :

$$R_{\text{exc}}(0{,}25) = 0{,}25 \times (2 + 1) = 0{,}75 < 1$$

L’indice requis se trouve en deçà du premier rang disponible ($k = 1$). Ne disposant d’aucune valeur inférieure pour interpoler, le moteur de calcul d’Excel refuse d’extrapoler dans le vide et renvoie l’erreur #NOMBRE!. Il en va rigoureusement de même pour $N = 1$.

À l’inverse, la fonction QUARTILE.INC fait preuve d’une résilience calculatoire totale. Même sur un échantillon de taille minimale $N = 2$ ($X = {10, 20}$), la formule inclusive applique sans broncher :

$$R_{\text{inc}}(0{,}25) = 1 + 0{,}25(2 – 1) = 1{,}25 implies Q_1 = 10 + 0{,}25(20 – 10) = 12{,}5$$

Elle parvient même à renvoyer une valeur lorsque $N = 1$, attribuant la valeur unique à tous les quartiles demandés ($Q_1 = Q_2 = Q_3 = x_{(1)}$). Cette robustesse numérique apparente ne doit toutefois pas occulter le manque de pertinence statistique d’une division en quartiles sur des effectifs aussi restreints.

8.2 Traitement des valeurs manquantes, doublons et zéros

Dans le flux de traitement des données empiriques, la présence d’imperfections de saisie exige une compréhension rigoureuse des mécanismes d’épuration internes d’Excel. Face aux valeurs non quantitatives, les deux fonctions adoptent une politique d’exclusion silencieuse : les chaînes de texte, qu’elles résultent d’une saisie directe ou de l’évaluation d’une formule (telle qu’une chaîne vide ""), ainsi que les cellules vides et les booléens sont systématiquement éliminés du tableau de calcul sans générer de message d’alerte.

La taille effective de l’échantillon $N$ est automatiquement recalculée par le moteur en ne dénombrant que les cellules détenant des réels. Attention toutefois : si un message d’erreur natif d’Excel (tel que #N/A, #VALEUR! ou #DIV/0!) figure au sein de la plage sélectionnée, la propagation d’erreur opère instantanément, et les deux fonctions retournent cette même erreur.

La présence de valeurs redondantes (doublons ou ex-æquo) constitue une autre particularité fréquente. Contrairement à certains tests non paramétriques basés sur les rangs moyens (comme le test de Wilcoxon-Mann-Whitney) qui requièrent des corrections pour ex-æquo, l’algorithme d’interpolation des quartiles traite les doublons de façon séquentielle standard. Si plusieurs observations partagent la même valeur numérique, elles occupent simplement des rangs adjacents successifs dans le vecteur ordonné ($x_{(k)} = x_{(k+1)}$). Dans ce cas, la différence $(x_{(k+1)} – x_{(k)})$ s’annule, et l’interpolation linéaire renvoie la valeur du palier sans introduire de discontinuité numérique.

Enfin, la présence de valeurs numériques nulles (le chiffre $0$) doit faire l’objet d’une vigilance méthodologique. Un zéro n’est jamais assimilé à une absence de donnée : il constitue un point d’observation plein et entier qui abaisse les rangs des valeurs positives subséquentes. Dans les études où le zéro matérialise une non-réponse ou une mesure manquante mal encodée, il est indispensable de procéder à un assainissement préalable par filtrage matriciel avant de lancer le calcul des quartiles.

9. Impact sur la détection des valeurs aberrantes et les boîtes à moustaches

9.1 La règle des clôtures de Tukey (Tukey’s Fences)

L’une des utilisations les plus répandues des quartiles en science des données et en contrôle de qualité réside dans l’automatisation du filtrage des valeurs aberrantes (*outliers*) au moyen de la règle des clôtures de Tukey. Cette méthode non paramétrique délimite l’intervalle d’admissibilité des observations à l’aide des bornes suivantes :

$$\text{Clôture Inférieure} = Q_1 – 1{,}5 \times \text{IQR}$$

$$\text{Clôture Supérieure} = Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$$

Toute observation s’aventurant en deçà de la clôture inférieure ou au-delà de la clôture supérieure est formellement catégorisée comme suspecte ou atypique. Dans les cas de contrôle plus stricts, des clôtures externes (définies avec un multiplicateur de $3{,}0 \times \text{IQR}$) servent à isoler les anomalies majeures.

Le choix entre QUARTILE.INC et QUARTILE.EXC a un impact direct sur la sévérité de ce filtre statistique. Comme nous l’avons démontré, QUARTILE.EXC produit structurellement un écart interquartile ($\text{IQR}$) plus étendu que celui généré par QUARTILE.INC, tout en décalant $Q_1$ vers le bas et $Q_3$ vers le haut. Par conséquent, les clôtures calculées à partir de QUARTILE.EXC s’écartent plus largement du centre de gravité des données :

$$\text{Clôture Inférieure}_{\text{exc}} le \text{Clôture Inférieure}_{\text{inc}}$$

$$\text{Clôture Supérieure}_{\text{exc}} ge \text{Clôture Supérieure}_{\text{inc}}$$

L’utilisation de la fonction inclusive QUARTILE.INC engendre des clôtures plus serrées autour de la distribution centrale. Cette méthode présente donc une sensibilité accrue à la détection des anomalies, augmentant le risque de faux positifs (valeurs valides signalées comme suspectes). Inversement, la variante exclusive QUARTILE.EXC dilate l’intervalle d’acceptation, ce qui peut masquer des valeurs réellement atypiques (faux négatifs) mais réduit le rejet injustifié d’observations extrêmes issues de populations à queues lourdes.

9.2 Rendu graphique dans les diagrammes de quartiles d’Excel

La disparité conceptuelle entre ces deux algorithmes se manifeste visuellement lors de la conception des boîtes à moustaches (*box-and-whisker plots*). Depuis sa version 2016, Microsoft Excel intègre un type de graphique natif dédié à cette représentation synthétique. Lorsqu’un utilisateur génère une boîte à moustaches, le moteur graphique applique par défaut des paramètres internes qu’il est indispensable de maîtriser.

Dans les options de mise en forme des séries de données d’un graphique de boîte à moustaches sous Excel, le volet de configuration propose une bascule déterminante sous l’intitulé « Calcul du quartile ». L’utilisateur est explicitement invité à choisir entre deux options mutuellement exclusives :

• Méthode inclusive : La boîte centrale s’appuie strictement sur l’algorithme de QUARTILE.INC (Type 7 de Hyndman et Fan). Le corps de la boîte délimite les bornes $29{,}5$ et $46{,}5$ sur notre jeu de test psychométrique.
• Méthode exclusive : La boîte reporte visuellement les estimations issues de QUARTILE.EXC (Type 6). Le corps de la boîte s’étend de $28{,}0$ à $48{,}0$.

Ce choix transforme la morphologie du graphique :

• La hauteur du rectangle central (représentant visuellement l’IQR) s’élargit nettement sous la modalité exclusive.
• La position relative de la barre médiane interne semble se décentrer différemment selon la convention adoptée.
• La longueur des moustaches (qui s’étirent jusqu’à la dernière observation non aberrante) varie en fonction des clôtures de Tukey calculées par le logiciel.
• Des points isolés figurant comme des anomalies sous l’option inclusive peuvent réintégrer l’extrémité des moustaches sous l’option exclusive.

Dans un rapport de recherche ou une présentation de direction, cette plasticité visuelle peut induire des biais d’interprétation chez les lecteurs non avertis. La rigueur impose d’expliciter systématiquement, dans la légende du graphique, la convention de calcul appliquée au diagramme.

10. Applications psychométriques et analyses comportementales

10.1 Standardisation d’échelles et étalonnage de tests

Dans le domaine de la psychométrie et de la mesure de la personnalité, l’étalonnage d’un instrument d’évaluation (comme le MMPI, le NEO-PI ou l’Inventaire de Dépression de Beck) consiste à transformer des scores bruts en notes normées basées sur le rang centile. Cette standardisation vise à positionner un sujet par rapport à une population de référence clairement circonscrite.

L’utilisation de QUARTILE.INC ou de QUARTILE.EXC influe directement sur les profils cliniques individuels. Les échelles normées recourent fréquemment à un découpage en classes ordonnées : faible (inférieur à $Q_1$), moyen-inférieur (entre $Q_1$ et $Q_2$), moyen-supérieur (entre $Q_2$ et $Q_3$) et élevé (supérieur à $Q_3$). L’application de la méthode inclusive, en réduisant la distance entre $Q_1$ et $Q_3$, a tendance à compresser la zone considérée comme normale ou moyenne. Cette restriction élargit mécaniquement les quadrants extrêmes, augmentant le taux de diagnostics catégorisés comme atypiques.

La fonction QUARTILE.EXC, en revanche, réserve les qualifications extrêmes aux scores plus prononcés, instaurant une zone de normalité plus étendue. Les psychométriciens doivent donc veiller à ce que l’algorithme choisi pour étalonner une échelle corresponde scrupuleusement à celui préconisé par le manuel de standardisation du test, afin de ne pas fausser les diagnostics psychologiques.

10.2 Analyses de temps de réaction et variables asymétriques

En neuropsychologie cognitive et en psychologie expérimentale, les temps de réaction chronométriques (TR) collectés lors de paradigmes d’attention sélective ou de catégorisation lexicale constituent l’archétype des distributions fortement asymétriques à étalement positif (distributions log-normales ou de type Ex-Gaussienne). Dans ce contexte, la moyenne arithmétique s’avère un indice trompeur, fréquemment pollué par des décrochages attentionnels ou des erreurs d’anticipation motrice.

L’usage des quartiles permet d’isoler efficacement la performance centrale des participants sans éliminer artificiellement de données. Toutefois, l’étude des micro-variations de latence comportementale exige une grande constance dans le traitement des queues de distribution :

• Lorsque l’on cherche à segmenter des participants en groupes de contraste selon la méthode des fractions extrêmes (en isolant le quart supérieur des sujets les plus rapides et le quart inférieur des sujets les plus lents), le recours à QUARTILE.INC conduit à des seuils de démarcation plus conservateurs. Cette propriété permet de conserver des sous-groupes d’effectifs plus stables pour les analyses d’imagerie cérébrale subséquentes.
• À l’inverse, l’emploi de QUARTILE.EXC pour définir ces seuils produit des sous-groupes aux caractéristiques comportementales plus contrastées, en rejetant davantage de profils ambigus situés autour des frontières de quartiles.

Ce niveau de rigueur dans l’application des formules participe directement à la maîtrise du bruit expérimental et à l’optimisation de la validité interne des recherches comportementales.

11. Critères méthodologiques pour choisir entre INC et EXC

11.1 Nature de la population et cadre inférentiel

Le choix entre QUARTILE.INC et QUARTILE.EXC ne doit pas être guidé par des préférences empiriques arbitraires, mais découler d’une réflexion sur le statut épistémologique du jeu de données et la nature de la population étudiée.

La règle fondamentale s’articule autour de l’alternative suivante :

• La population est finie et entièrement observée : Si le jeu de données sous tableur rassemble la totalité des éléments de l’univers considéré (par exemple, les notes scolaires des 28 élèves d’une classe fermée, les temps réalisés par les 18 pilotes d’un grand prix automobile ou les chiffres d’affaires des 12 filiales d’une entreprise), le recours à QUARTILE.INC s’impose naturellement. Dans cette situation, les valeurs minimale et maximale collectées sont les bornes absolues et réelles de la population, sans aucune omission possible. Affecter à ces bornes les probabilités $0$ et $1$ constitue la démarche la plus rigoureuse, car il n’existe aucune valeur inconnue en deçà ou au-delà des mesures enregistrées.
• L’échantillon est un fragment d’une population continue infinie : Si les données recueillies ne représentent qu’un modeste échantillon tiré d’une population parente continue (comme le prélèvement de la glycémie à jeun chez 50 patients d’un hôpital pour estimer les paramètres métaboliques nationaux), la logique de QUARTILE.EXC se révèle conceptuellement supérieure. Elle intègre le fait que le minimum et le maximum de cet échantillon ne reflètent pas les frontières réelles de la biologie humaine, évitant ainsi le biais de bornage propre à la méthode inclusive.

Un autre facteur de décision réside dans l’interopérabilité des outils informatiques d’une équipe de recherche. L’analyste travaillant conjointement avec le tableur et des scripts R doit avoir conscience que la fonction de base quantile(x) dans R correspond par défaut au Type 7 (soit QUARTILE.INC). Pour reproduire sous R le comportement exact de QUARTILE.EXC, il convient d’expliciter le paramètre type = 6 (quantile(x, type = 6)). De leur côté, les utilisateurs habituels d’IBM SPSS Statistics constateront que les menus de statistiques descriptives appliquent de façon standard la convention Type 6, concordant directement avec la syntaxe exclusive d’Excel. La conformité avec les directives des revues affiliées à l’American Psychological Association (APA) exige d’indiquer explicitement l’environnement logiciel et le type d’estimateur de quantile employé dans la section méthodologique des manuscrits soumis.

11.2 Prise en compte de la taille de l’échantillon d’étude

Le second critère de choix repose sur le volume d’observations utilisable dans la feuille de calcul. Comme l’a montré notre analyse des rangs fractionnaires, la différence de rang entre les deux algorithmes s’élève invariablement à un demi-rang ($\Delta R = 0{,}5$), quelle que soit la valeur de $N$.

Sur de très grands jeux de données rassemblant des centaines ou des milliers d’enregistrements ($N > 500$), l’impact de ce demi-rang devient quasi négligeable. Par exemple, pour $N = 1000$ :

$$R_{\text{inc}}(0{,}25) = 1 + 0{,}25(999) = 250{,}75$$

$$R_{\text{exc}}(0{,}25) = 0{,}25(1001) = 250{,}25$$

La proximité extrême de ces deux rangs garantit que les valeurs interpolées concordent généralement jusqu’à la deuxième ou troisième décimale. Le choix de la formule n’induit alors aucune conséquence pratique sur l’interprétation des résultats.

En revanche, dès que l’échantillon comprend moins d’une cinquantaine d’individus ($N < 50$), et plus encore s’il en compte moins de vingt ($N < 20$), la divergence de calcul devient sensible. Dans ce contexte de faible effectif, la stratégie la plus rigoureuse consiste à mener une analyse de sensibilité :

• Évaluer systématiquement la distribution à l’aide des deux fonctions QUARTILE.INC et QUARTILE.EXC.
• Consigner explicitement les deux estimations obtenues au sein des tableaux récapitulatifs de l’étude.
• Vérifier si les conclusions qualitatives ou les décisions diagnostiques demeurent stables en passant d’un estimateur à l’autre.

Cette transparence dans le traitement des incertitudes statistiques caractérise une démarche scientifique rigoureuse face aux contraintes d’échantillonnage.

12. Synthèse pratique, automatisation et recommandations pour la recherche

12.1 Arbre décisionnel pour le statisticien et le chercheur

Afin de guider méthodiquement l’analyste dans le choix de l’algorithme de quartile le plus adapté sous Microsoft Excel, nous avons synthétisé les étapes du raisonnement sous la forme d’un protocole séquentiel clair :

• Étape 1 : Audit de la taille de l’échantillon ($N$)
  • Si $N < 3$ : L’évaluation par QUARTILE.EXC est mathématiquement impossible (génération de l’erreur #NOMBRE!). L’analyste doit impérativement recourir à QUARTILE.INC ou différer l’analyse en attendant d’étoffer l’échantillon.
  • Si $N ge 3$ : Les deux fonctions sont algorithmiquement opérationnelles ; passer à l’étape suivante.
• Étape 2 : Définition de la population cible et de l’objectif d’étude
  • Si l’étude porte sur une population finie, fermée et exhaustivement mesurée (inventaire complet, résultats d’un groupe d’étude fermé, revue institutionnelle intégrale) : Sélectionner impérativement QUARTILE.INC.
  • Si l’étude s’inscrit dans un cadre d’inférence statistique visant à extrapoler les caractéristiques d’une population parente continue infinie à partir d’un échantillon expérimental : Privilégier méthodologiquement QUARTILE.EXC.
• Étape 3 : Exigence d’interopérabilité logicielle
  • Si les calculs d’Excel doivent être recoupés avec les commandes par défaut de scripts R ou de programmes Python NumPy : Sélectionner QUARTILE.INC (Type 7).
  • Si la chaîne analytique globale exploite principalement IBM SPSS Statistics ou Minitab avec leurs paramètres standards : Préférer QUARTILE.EXC (Type 6).
• Étape 4 : Traitement des représentations graphiques
  • Veiller à synchroniser la formule de calcul mobilisée dans la feuille de travail avec l’option retenue dans la configuration de la boîte à moustaches native d’Excel.

12.2 Formules dynamiques et automatisation sous Excel moderne

L’introduction récente dans le moteur de calcul d’Excel des tableaux dynamiques et de nouvelles fonctions avancées — telles que LET, LAMBDA, FILTRE et TRIER — offre des opportunités inédites pour automatiser l’analyse des quartiles tout en sécurisant la qualité des données sous-jacentes.

Il est désormais aisé de concevoir une formule dynamique tout-en-un calculant les clôtures de Tukey et extrayant directement les valeurs aberrantes d’une série sans nécessiter de colonnes intermédiaires de calcul. Par exemple, la formule moderne suivante permet de filtrer automatiquement les scores aberrants selon l’algorithme exclusif, tout en ignorant automatiquement les cellules vides ou textuelles :

=LET(
    donnees; FILTRE(A2:A100; ESTNUM(A2:A100));
    q1; QUARTILE.EXC(donnees; 1);
    q3; QUARTILE.EXC(donnees; 3);
    iqr; q3 - q1;
    borne_inf; q1 - 1,5 * iqr;
    borne_sup; q3 + 1,5 * iqr;
    FILTRE(donnees; (donnees < borne_inf) + (donnees > borne_sup); "Aucune valeur aberrante")
)

Cette syntaxe encapsule l’ensemble du raisonnement mathématique : elle assainit la plage d’origine en n’en retenant que les entrées numériques, évalue les quartiles exclusifs de la distribution épurée, dérive l’écart interquartile ($\text{IQR}$), calcule les seuils de clôture de Tukey, et renvoie sous forme de matrice dynamique l’ensemble des observations jugées anormales.

Pour les équipes de recherche exigeant un contrôle méthodologique plus poussé, il devient également envisageable d’implémenter, via des fonctions personnalisées LAMBDA enregistrées dans le Gestionnaire de noms d’Excel, les neuf variantes d’estimateurs recensées par Hyndman et Fan. Cette approche offre une flexibilité totale et permet de s’affranchir du cloisonnement strict entre les seuls types 6 (QUARTILE.EXC) et 7 (QUARTILE.INC).

La bonne maîtrise de ces algorithmes de calcul constitue le fondement d’une pratique rigoureuse des statistiques sous tableur. En comprenant les mécanismes intimes qui sous-tendent les fonctions QUARTILE.INC et QUARTILE.EXC, l’analyste se prémunit contre les pièges de l’automatisation logicielle et assure la transparence, la robustesse et la pleine reproductibilité de ses résultats empiriques.

Références

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• Microsoft Corporation. (s. d.). Fonction QUARTILE.INC. Support Microsoft. Consulté le 15 octobre 2023 à l’adresse https://support.microsoft.com/fr-fr/office/quartile-inc-fonction-quartile-inc-1bbacc80-5075-42f1-a818-1d07ade42963
• Microsoft Corporation. (s. d.). Fonction QUARTILE.EXC. Support Microsoft. Consulté le 15 octobre 2023 à l’adresse https://support.microsoft.com/fr-fr/office/quartile-exc-fonction-quartile-exc-5a355b7a-840b-4ac0-8726-ba3880519237
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• Wilcox, R. R. (2017). Introduction to robust estimation and hypothesis testing (4th ed.). Academic Press. https://doi.org/10.1016/C2015-0-02293-6