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PERCENTILE.EXC vs. PERCENTILE.INC dans Excel : quelle est la différence ?

Comprendre les divergences algorithmiques entre PERCENTILE.EXC et PERCENTILE.INC dans Excel pour l’analyse précise de données psychométriques.

PUBLIÉ

L’analyse quantitative des données psychométriques repose sur la capacité des praticiens et des chercheurs à situer un score individuel au sein d’une distribution de référence. Dans ce cadre, la notion de quantile, et plus spécifiquement de centile, constitue l’un des instruments d’interprétation les plus fondamentaux. Qu’il s’agisse d’évaluer les compétences cognitives d’un enfant au moyen de l’échelle de Wechsler ou de diagnostiquer une détresse psychologique via des inventaires standardisés, la conversion d’un score brut en un rang centile offre une signification immédiate et communicable. Toutefois, derrière l’apparente simplicité de ce concept se cachent des modélisations mathématiques distinctes qui peuvent modifier de manière substantielle les seuils diagnostiques, en particulier lorsqu’elles sont mises en œuvre dans des environnements de calcul automatisés comme Microsoft Excel.

Depuis la refonte de son moteur d’analyse statistique lors de la publication de la suite Office 2010, le tableur Excel propose deux fonctions distinctes pour évaluer ces seuils : PERCENTILE.INC (centile inclusif) et PERCENTILE.EXC (centile exclusif). Cette dualité remplace l’ancienne fonction générique PERCENTILE, héritée des versions antérieures, afin d’aligner l’outil sur les normes de calcul contemporaines observées dans les logiciels spécialisés tels que le R Project for Statistical Computing ou SPSS. Pour le statisticien, le psychomètre ou l’analyste de données, comprendre la divergence algorithmique entre ces deux approches n’est pas un simple exercice d’érudition computationnelle : c’est un prérequis déontologique et méthodologique visant à garantir l’exactitude des inférences normatives.

Le présent article propose une exploration approfondie des mécanismes mathématiques, des postulats théoriques et des retombées pratiques qui séparent PERCENTILE.INC de PERCENTILE.EXC. À travers l’étude du positionnement des rangs, des techniques d’interpolation linéaire formalisées par Rob J. Hyndman et Yanan Fan, et d’exemples d’application clinique, nous analyserons comment une divergence de formule mathématique peut influencer la décision clinique, déplacer la frontière de la significativité statistique et modifier l’interprétation des profils d’évaluation. Ce guide exhaustif apporte des repères décisionnels précis pour choisir judicieusement la fonction adaptée aux exigences de vos protocoles de recherche et de vos évaluations psychométriques.

Table of Contents

1. Introduction conceptuelle aux centiles et à leur rôle en psychométrie

1.1 Définition théorique du centile dans la distribution des scores

D’un point de vue théorique, un centile représente une valeur seuil sur une échelle de mesure en dessous de laquelle se situe un pourcentage donné d’observations issues d’un groupe de référence. Contrairement à une moyenne ou à un écart-type, qui résument une distribution par des paramètres de position et de dispersion, le centile appartient à la famille des statistiques d’ordre non paramétriques. Il ne dépend pas intrinsèquement de la forme de la distribution sous-jacente — qu’elle soit gaussienne, asymétrique ou multimodale — mais de la position relative qu’occupent les scores une fois classés par ordre de grandeur. Dans une cohorte continue, le $p$-ième centile (où $p in [0, 100]$) sépare la cohorte en deux segments : les $p$ % des scores les plus faibles et les $(100 – p)$ % des scores les plus élevés.

Il convient d’établir une distinction fondamentale entre le rang centile et la valeur du centile (ou score au centile). Le rang centile est un nombre abstrait compris entre 0 et 100 qui indique la position relative d’un sujet : affirmer qu’un candidat se situe au 85e rang centile signifie que ses performances dépassent ou égalent celles de 85 % des individus du groupe normatif. En revanche, la valeur du centile correspond au score brut ou standardisé réel (par exemple, un score de 118 à un sous-test d’attention) associé à ce seuil spécifique. Dans la pratique de l’étalonnage psychométrique, les instruments de mesure mesurent rarement des variables continues parfaites ; ils collectent des scores discrets qui doivent ensuite être convertis en métriques continues pour construire des tables normatives interprétables par les cliniciens.

L’utilité première des centiles réside dans leur capacité à neutraliser les propriétés métriques arbitraires des scores bruts. Un score brut de 42 points à un test de dépression n’a aucune signification clinique intrinsèque sans la connaissance des distributions de référence. Transformé en centile, ce score s’ancre instantanément dans un contexte normatif : s’il correspond au 98e centile, le praticien sait immédiatement que le sujet présente une intensité symptomatique quasi isolée dans la population générale, justifiant une investigation plus poussée. Cette conversion en échelles normatives constitue l’un des piliers de la standardisation des tests psychologiques modernes.

1.2 Importance de la précision de mesure dans l’évaluation psychologique

La précision avec laquelle sont estimés les centiles ne relève pas d’une simple commodité statistique ; elle conditionne directement la validité des diagnostics cliniques. Dans l’évaluation des troubles des apprentissages, du déficit de l’attention ou de la douance intellectuelle, des coupures strictes sont fréquemment instaurées par les manuels de diagnostic tels que le DSM-5 ou la CIM-11. Par exemple, la reconnaissance d’un trouble spécifique des apprentissages nécessite couramment qu’un sous-test de rendement académique se situe sous le 5e ou le 3e centile de la population d’âge. Une imprécision algorithmique de quelques dixièmes de points dans la fonction de calcul peut faire basculer un patient d’un statut normatif limite à un statut pathologique reconnu, déclenchant ou privant l’accès à des aménagements scolaires et des soutiens thérapeutiques.

La sensibilité de ces seuils s’avère encore plus prononcée lors de l’examen des troubles cognitifs majeurs ou mineurs chez les personnes âgées, pour lesquels le diagnostic différentiel repose sur des baisses de performance relatives fixées à 1,5 ou 2 écarts-types sous la moyenne, souvent projetées en rangs centiles (respectivement le 7e et le 2e centile). Si l’estimateur de centile retenu sous-estime systématiquement la valeur critique en raison d’un traitement défaillant des bords de distribution, le clinicien risque d’émettre des faux négatifs, retardant la prise en charge précoce de pathologies neurodégénératives. Les exigences de reproductibilité statistique imposent ainsi une explicitation sans faille du formalisme mathématique utilisé pour dériver les tables de normes.

Enfin, les répercussions éthiques d’un biais d’estimation aux extrêmes de la courbe sont majeures. Les queues de distribution sont, par nature, les zones où les observations empiriques sont les plus rares et où les incertitudes d’échantillonnage s’avèrent maximales. L’application mécanique d’une formule d’interpolation inadaptée dans ces zones critiques peut amplifier artificiellement l’écart entre deux individus ou, inversement, compresser indûment leurs différences. Les psychologues et statisticiens sont tenus par des directives déontologiques rigoureuses de documenter et de justifier l’adéquation de leurs outils d’inférence avec la réalité de la structure des données analysées.

1.3 Évolution des fonctions statistiques de centiles au sein de Microsoft Excel

Historiquement, Microsoft Excel s’est imposé comme l’outil privilégié de manipulation de bases de données dans de nombreux secteurs professionnels et académiques. Toutefois, les premières versions du tableur implémentaient une fonction unique, sobrement nommée PERCENTILE (ou CENTILE dans les versions francophones), sans que sa documentation technique ne détaille de manière satisfaisante les hypothèses mathématiques sous-jacentes. Cette fonction historique appliquait de façon tacite une règle d’interpolation linéaire continue sur l’intervalle fermé $[0, 1]$, supposant implicitement que l’échantillon analysé contenait de façon absolue les valeurs extrêmes de la population parente.

Avec l’essor de la science des données et les critiques récurrentes de statisticiens pointant les approximations du tableur par rapport aux standards académiques internationaux — notamment ceux documentés par le National Institute of Standards and Technology (NIST) —, Microsoft a procédé à une restructuration majeure de son catalogue statistique à partir d’Excel 2010. L’objectif était d’offrir une flexibilité comparable à celle du langage de programmation statistique R, tout en assurant une plus grande rigueur méthodologique.

Cette modernisation a donné naissance à deux fonctions mutuellement exclusives : PERCENTILE.INC (inclusif) et PERCENTILE.EXC (exclusif). La première reprend rigoureusement l’algorithme de la commande historique pour préserver la continuité des flux de travail existants, tandis que la seconde introduit une logique probabiliste où les données de l’échantillon ne prétendent plus englober l’intégralité du continuum populationnel. Cette divergence fonctionnelle reflète un débat statistique séculaire autour de la façon la plus judicieuse d’attribuer une probabilité cumulative aux statistiques d’ordre d’un échantillon fini.

2. Fondements mathématiques du rang et de l’interpolation

2.1 Calcul de la position de rang dans un ensemble ordonné

Pour calculer un centile sur une série de valeurs observées, la première étape calculatoire consiste à ordonner les données de manière strictement croissante. Soit un échantillon de taille $n$ constitué des valeurs scalaires ${x_1, x_2, dots, x_n}$. La mise en ordre de ces données génère une suite de statistiques d’ordre notée :

$$x_{(1)} le x_{(2)} le dots le x_{(n)}$$

où $x_{(1)}$ représente la valeur minimale de l’échantillon et $x_{(n)}$ sa valeur maximale. Une fois cette série ordonnée établie, la détermination du centile associé à une proportion $k$ (avec $k = p/100$) nécessite l’évaluation d’un indice de position, communément appelé « rang théorique » ou indice virtuel $R$. Ce rang $R$ est une fonction mathématique dépendante de la taille de l’échantillon $n$ et de la valeur $k$.

Dans le cas idéal où $R$ est un nombre entier naturel compris entre $1$ et $n$, la valeur du centile correspond immédiatement à l’élément d’observation $x_{(R)}$. Néanmoins, dans la quasi-totalité des configurations réelles, le calcul de $R$ produit un nombre fractionnaire réel. Par exemple, déterminer le 75e centile sur un échantillon de 12 observations peut aboutir à un rang théorique valant $9,25$ ou $9,75$ selon l’équation choisie. Dès lors que $R$ n’est pas entier, la statistique d’ordre ne peut être extraite directement de l’ensemble d’observations discrètes ; il devient impératif de recourir à une méthode d’approximation pour estimer la valeur qui occuperait cette position virtuelle sur le continuum des scores.

2.2 Mécanismes d’interpolation linéaire entre valeurs adjacentes

L’interpolation linéaire constitue la technique standard déployée pour estimer la valeur quantitative correspondant à un rang théorique fractionnaire $R$. Tout rang non entier peut être décomposé formellement en deux composantes : une partie entière, notée $I = lfloor R rfloor$, et une fraction résiduelle décimale, notée $F = R – I$, telle que $0 le F < 1$.

La valeur estimée du centile, désignée par $\hat{Q}(k)$, s’obtient alors par une combinaison linéaire pondérée entre la valeur observée immédiatement inférieure $x_{(I)}$ et la valeur observée immédiatement supérieure $x_{(I+1)}$ :

$$\hat{Q}(k) = x_{(I)} + F \cdot (x_{(I+1)} – x_{(I)}) = (1 – F) \cdot x_{(I)} + F \cdot x_{(I+1)}$$

Ce mécanisme repose sur le postulat d’une transition continue et uniforme entre deux points discrets contigus de la distribution empirique. Lorsque l’écart entre $x_{(I)}$ et $x_{(I+1)}$ est modéré, cette hypothèse de linéarité locale s’avère robuste et produit des estimations stables. En revanche, lorsque les observations présentent de fortes discontinuités — comme c’est fréquemment le cas dans les queues de distribution asymétriques ou lors de la présence d’effets de plancher ou de plafond dans les échelles d’évaluation —, l’interpolation linéaire peut induire une distorsion géométrique artificielle, en lissant de manière linéaire un phénomène qui relève d’une densité sous-jacente non linéaire.

2.3 Typologie des méthodes d’estimation des quantiles selon Hyndman et Fan

Dans leur publication fondamentale de 1996 devenue la référence en la matière, les statisticiens Rob J. Hyndman et Yanan Fan ont recensé et systématisé les différentes approches algorithmiques utilisées dans la littérature statistique et les progiciels informatiques. Ils ont établi une taxonomie universelle structurée autour de neuf définitions distinctes d’estimateurs de quantiles, numérotées de Type 1 à Type 9. Chacune de ces méthodes dérive d’un mode spécifique de calcul du rang théorique $R$ en fonction du centile cible $k$ et de constantes d’ajustement $a$ et $b$ insérées dans la formulation générale :

$$R = a + k \cdot (n + b)$$

Au sein de cette taxonomie, les deux fonctions actuelles d’Excel s’inscrivent précisément dans les catégories suivantes :

  • Le Type 7 de Hyndman et Fan : Cet estimateur est gouverné par la formule de rang $R = 1 + k \cdot (n – 1)$. Il s’agit de l’implémentation exacte de la fonction PERCENTILE.INC (et de l’ancienne fonction PERCENTILE). Elle est également la méthode définie par défaut dans le logiciel R (fonction quantile(..., type = 7)), dans la bibliothèque Python Pandas et dans de nombreux tableurs grand public.
  • Le Type 6 de Hyndman et Fan : Cet estimateur repose sur la formulation $R = k \cdot (n + 1)$. C’est la règle intégrée au sein de PERCENTILE.EXC dans Excel, mais également celle préconisée par Minitab, SPSS (pour certaines commandes d’affichage de percentiles) et documentée sous la dénomination de règle de Weibull.

Le choix entre ces deux approches n’est pas anodin sur le plan théorique. L’estimateur de Type 7 produit un interpolateur continu linéaire dont les valeurs sont strictement contraintes à l’intervalle des observations empiriques $[x_{(1)}, x_{(n)}]$. En revanche, l’estimateur de Type 6 est conçu de manière à garantir que l’espérance de la probabilité cumulée associée à la $r$-ième statistique d’ordre soit exactement égale à $r / (n + 1)$ sous une distribution uniforme continue, conférant à cette méthode des propriétés non biaisées recherchées dans le cadre de l’inférence statistique sur des populations ouvertes.

3. Fonction PERCENTILE.INC : principes, logique et calculs

3.1 Syntaxe formelle et paramètres requis

La fonction PERCENTILE.INC est implémentée dans Excel selon une structure syntaxique directe :

=PERCENTILE.INC(tableau, k)

Cette fonction requiert deux arguments obligatoires pour son exécution :

  • tableau (array) : Représente la matrice, la plage de cellules ou le vecteur contenant les données numériques à évaluer. Cette plage peut être unidimensionnelle (une colonne ou une ligne de scores) ou multidimensionnelle. Les cellules vides, les valeurs logiques (VRAI/FAUX) ou les chaînes textuelles contenues dans cette plage sont automatiquement ignorées par l’algorithme sans générer d’interruption du calcul.
  • k : Désigne la valeur du centile recherché, impérativement exprimée sous la forme d’un nombre décimal compris entre 0 et 1 inclus (par exemple, 0,25 pour le premier quartile ou 0,90 pour le 90e centile).

La contrainte formelle sur le domaine de validité de $k$ est stricte : si l’analyste saisit une valeur $k 1$, Excel interrompt le calcul et renvoie le code d’erreur #NOMBRE!. Si la matrice ne comporte aucune observation numérique exploitable, la fonction produit l’erreur #NUM!. La conception inclusive de la fonction se traduit par sa capacité à évaluer sans anomalie les valeurs aux frontières absolues, à savoir $k = 0$ et $k = 1$.

3.2 Algorithme de calcul basé sur la règle (n – 1)

L’architecture algorithmique de PERCENTILE.INC repose intégralement sur le calcul du rang positionnel $R_{inc}$ défini par l’expression mathématique :

$$R_{inc} = 1 + k \cdot (n – 1)$$

Ce formalisme présente une propriété structurelle immédiate : lorsque $k = 0$, le rang calculé est $R_{inc} = 1 + 0 \cdot (n – 1) = 1$. La fonction renvoie donc de manière exacte et directe la première statistique d’ordre, c’est-à-dire le score minimal observé de l’échantillon $x_{(1)}$. Réciproquement, lorsque $k = 1$, le rang résultant est $R_{inc} = 1 + 1 \cdot (n – 1) = n$, ce qui correspond à la valeur maximale observée $x_{(n)}$.

Considérons, à titre d’illustration, un échantillon ordonné de $n = 5$ scores bruts obtenus par des étudiants à une épreuve de raisonnement logique : ${10, 14, 18, 22, 30}$. Supposons que nous souhaitions déterminer le 40e centile ($k = 0,40$) avec PERCENTILE.INC :

Le calcul du rang théorique donne :

$$R_{inc} = 1 + 0,40 \cdot (5 – 1) = 1 + 0,40 \cdot 4 = 1 + 1,6 = 2,6$$

La décomposition du rang fournit une partie entière $I = 2$ et une fraction décimale $F = 0,6$. En appliquant la formule d’interpolation linéaire entre la 2e observation ($x_{(2)} = 14$) et la 3e observation ($x_{(3)} = 18$), nous obtenons :

$$\hat{Q}_{inc}(0,40) = x_{(2)} + 0,6 \cdot (x_{(3)} – x_{(2)}) = 14 + 0,6 \cdot (18 – 14) = 14 + 0,6 \cdot 4 = 14 + 2,4 = 16,4$$

Le score estimé au 40e centile par cette approche est donc rigoureusement égal à 16,4.

3.3 Hypothèses sous-jacentes relatives à la population parente

D’un point de vue épistémologique et statistique, l’algorithme de PERCENTILE.INC repose sur le postulat fondamental que l’échantillon collecté délimite l’intégralité du domaine de variation possible de la variable mesurée. En affectant formellement le rang centile 0 au minimum empirique ($x_{(1)}$) et le rang centile 100 au maximum empirique ($x_{(n)}$), cette méthode considère qu’aucun individu de la population parente ne saurait présenter un score inférieur à la plus petite valeur observée, ni supérieur à la plus grande.

Cette hypothèse est rigoureusement valide lorsque l’on analyse une population fermée ou un échantillon exhaustif (par exemple, les notes attribuées à l’ensemble des candidats ayant composé lors d’un concours national spécifique). En revanche, lorsque les données proviennent d’un échantillon probabiliste extrait d’une population infinie ou de très grande taille, ce modèle présente une faiblesse théorique : il tend intrinsèquement à comprimer artificiellement la variance projetée de la population.

En pratique, plus la taille $n$ de l’échantillon est restreinte, plus il est improbable que le minimum et le maximum empiriques correspondent aux véritables extrêmes de la population sous-jacente. L’algorithme inclusif ignore cette incertitude aux limites, ce qui a pour conséquence directe de décaler systématiquement les estimations vers le centre de la distribution lors du calcul des quantiles intermédiaires, créant un biais statistique conservateur aux bornes de l’échelle d’évaluation.

4. Fonction PERCENTILE.EXC : principes, logique et contraintes

4.1 Syntaxe formelle et restrictions sur le paramètre k

La fonction PERCENTILE.EXC adopte une signature formelle analogue à sa contrepartie inclusive :

=PERCENTILE.EXC(tableau, k)

Toutefois, une divergence opérationnelle majeure réside dans le domaine de validité assigné au paramètre $k$. Alors que PERCENTILE.INC tolère les bornes $0$ et $1$, la fonction PERCENTILE.EXC exclut catégoriquement ces valeurs extrêmes, d’où son suffixe explicite « EXC » pour exclusif. Plus encore, l’intervalle effectif des valeurs de $k$ admissibles n’est pas simplement l’intervalle ouvert $]0, 1[$, mais un sous-ensemble plus restreint, strictement conditionné par la taille $n$ de l’échantillon analysé :

$$k in \left[ \frac{1}{n + 1}, \frac{n}{n + 1} \right]$$

Si l’utilisateur sollicite un centile $k$ en dehors de cet intervalle fermé calculable, Excel interrompt le traitement et retourne une erreur #NOMBRE!. Cette restriction implique que la possibilité même de calculer certains centiles dépend directement de la volumétrie des données disponibles. Par exemple, si un échantillon ne compte que 4 observations, la valeur minimale de $k$ autorisée est $1 / (4 + 1) = 0,20$ (le 20e centile) et la valeur maximale est $4 / (4 + 1) = 0,80$ (le 80e centile). Il est ainsi mathématiquement impossible de solliciter le 10e ou le 90e centile sur une série d’une telle taille avec cette fonction, ce qui impose une contrainte méthodologique substantielle lors de l’analyse d’échantillons réduits.

4.2 Algorithme de calcul basé sur la règle (n + 1)

Le positionnement du rang dans PERCENTILE.EXC découle de la formule mathématique :

$$R_{exc} = k \cdot (n + 1)$$

Cette équation s’enracine dans la théorie des statistiques d’ordre pour des distributions continues. Dans cette optique, si l’on extrait un échantillon de taille $n$ d’une distribution uniforme continue sur $[0, 1]$, les $n$ observations partitionnent l’espace de probabilité en $n + 1$ intervalles mutuellement exclusifs et d’espérances égales. Dès lors, l’espérance de la surface cumulée sous la courbe de densité en dessous de la $r$-ième observation ordonnée $x_{(r)}$ est rigoureusement égale à :

$$E[F(X_{(r)})] = \frac{r}{n + 1}$$

En inversant cette relation pour déterminer le rang $r$ correspondant à une probabilité cumulée $k$, on obtient directement la formulation $R = k \cdot (n + 1)$. Reprenons le jeu de données précédent composé de $n = 5$ scores : ${10, 14, 18, 22, 30}$. Appliquons désormais PERCENTILE.EXC pour déterminer le même 40e centile ($k = 0,40$) :

Le rang théorique exclusif se calcule comme suit :

$$R_{exc} = 0,40 \cdot (5 + 1) = 0,40 \cdot 6 = 2,4$$

Ici, la partie entière est $I = 2$ et la fraction résiduelle est $F = 0,4$. L’interpolation linéaire entre la 2e observation ($x_{(2)} = 14$) et la 3e observation ($x_{(3)} = 18$) s’opère selon :

$$\hat{Q}_{exc}(0,40) = x_{(2)} + 0,4 \cdot (x_{(3)} – x_{(2)}) = 14 + 0,4 \cdot (18 – 14) = 14 + 0,4 \cdot 4 = 14 + 1,6 = 15,6$$

Nous constatons une divergence immédiate : alors que PERCENTILE.INC renvoyait une valeur de 16,4, PERCENTILE.EXC aboutit à une valeur de 15,6. Cet écart de 0,8 point illustre l’impact direct du changement de formule de rang sur un même jeu de données.

4.3 Concept d’échantillonnage infini et perspectives probabilistes

La philosophie sous-jacente à PERCENTILE.EXC s’accorde avec le paradigme de l’échantillonnage infini. Elle postule que les scores enregistrés au sein d’une étude ne constituent qu’un reflet parcellaire d’une population cible infiniment plus vaste. Dans cette perspective, la valeur minimale observée $x_{(1)}$ ne représente en aucun cas le « centile zéro » de la population ; elle constitue simplement l’élément le plus bas capté lors de la session d’échantillonnage.

De façon probabiliste, il existe une probabilité non nulle, égale à $1 / (n + 1)$, qu’un nouvel individu échantillonné au hasard dans la population générale présente un score inférieur à $x_{(1)}$. Symétriquement, il subsiste une probabilité de $1 / (n + 1)$ qu’un individu obtienne un score supérieur à $x_{(n)}$. En attribuant à $x_{(1)}$ le rang centile $1 / (n + 1)$ plutôt que 0, PERCENTILE.EXC réserve un espace probabiliste aux valeurs non observées, évitant ainsi de surévaluer le centile des observations les plus basses ou de sous-évaluer celui des observations les plus hautes.

Ce formalisme procure des propriétés statistiques non biaisées pour l’estimation des quantiles d’une population continue. Il s’avère particulièrement pertinent en recherche clinique fondamentale lorsque l’expérimentateur cherche à extrapoler les lois d’une fonction neuropsychologique à l’ensemble de l’espèce humaine à partir d’un groupe expérimental restreint.

5. Analyse comparative approfondie des algorithmes sous-jacents

5.1 Comparaison mathématique des formules de rang

Pour appréhender avec précision la divergence systématique entre les deux fonctions, il convient de confronter algébriquement les équations régissant leurs rangs théoriques respectifs :

$$R_{inc} = 1 + k(n – 1) = 1 + kn – k$$

$$R_{exc} = k(n + 1) = kn + k$$

Calculons la différence différentielle $\Delta R = R_{inc} – R_{exc}$ :

$$\Delta R = (1 + kn – k) – (kn + k) = 1 – 2k$$

Cette relation linéaire met en lumière des propriétés analytiques essentielles :

  • Pour $k < 0,5$ (inférieur à la médiane) : Le terme $(1 – 2k)$ est strictement positif ($\Delta R > 0$). Cela signifie que $R_{inc} > R_{exc}$. Le rang calculé par la méthode inclusive est toujours supérieur à celui généré par la méthode exclusive. Dans une série de valeurs croissantes, cela implique que l’estimation issue de PERCENTILE.INC sera généralement supérieure ou égale à celle produite par PERCENTILE.EXC.
  • Pour $k = 0,5$ (la médiane exacte) : La différence s’annule : $\Delta R = 1 – 2(0,5) = 0$. Les deux équations convergent vers une égalité absolue : $R_{inc} = R_{exc} = (n + 1) / 2$. Quelle que soit la méthode employée, le calcul du 50e centile (ou deuxième quartile) produit rigoureusement le même rang, garantissant la concordance des résultats pour la tendance centrale.
  • Pour $k > 0,5$ (supérieur à la médiane) : Le terme $(1 – 2k)$ devient strictement négatif ($\Delta R < 0$), impliquant $R_{inc} < R_{exc}$. Le rang inclusif devient inférieur au rang exclusif. Par conséquent, pour les déciles supérieurs, la valeur interpolée par PERCENTILE.EXC tendra à être supérieure à celle évaluée par PERCENTILE.INC.

Ce comportement met en évidence un effet d’étalement mécanique induit par PERCENTILE.EXC : comparativement à PERCENTILE.INC, la méthode exclusive pousse les rangs calculés vers l’extérieur de la distribution (vers le bas pour $k 0,5$), accentuant la dispersion perçue des scores aux bornes.

5.2 Effet de la taille de l’échantillon sur la divergence des résultats

L’écart conceptuel entre les deux fonctions dépend directement du paramètre $n$. Analysons l’erreur relative entre les deux indices de positionnement en calculant le ratio de leur divergence par rapport à la taille d’échantillon :

$$\frac{\Delta R}{n} = \frac{1 – 2k}{n}$$

À mesure que la taille de l’échantillon $n$ croît vers l’infini ($n to \infty$), ce rapport tend de manière asymptotique vers zéro :

$$\lim_{n to \infty} \frac{1 – 2k}{n} = 0$$

Dans les cohortes épidémiologiques massives ou les calibrages de tests standardisés portant sur plusieurs milliers d’individus ($n > 1000$), l’écart de rang $\Delta R = 1 – 2k$ (dont l’amplitude absolue maximale ne dépasse jamais $1$) devient imperceptible au regard de la densité de données disponibles. Deux statistiques d’ordre consécutives $x_{(I)}$ et $x_{(I+1)}$ sont alors séparées par un intervalle infinitésimal, rendant la divergence numérique entre PERCENTILE.INC et PERCENTILE.EXC totalement négligeable sur le plan des décisions cliniques.

En revanche, au sein des micro-échantillons ($n < 30$), fréquents dans les protocoles de neuropsychologie clinique ou lors de la recherche sur des pathologies rares, la valeur de $\Delta R$ représente une fraction substantielle de l'indice de position. Une différence d'un demi-rang ou d'un rang quasi entier sur un échantillon de 10 sujets produit des disparités chiffrées très prononcées lors de l'interpolation linéaire, pouvant modifier radicalement la valeur de coupure calculée.

5.3 Tableau récapitulatif des spécificités fonctionnelles

Le tableau comparatif ci-dessous synthétise l’ensemble des propriétés mathématiques, computationnelles et logicielles associées à chacune des deux fonctions d’Excel, offrant une grille de lecture synoptique pour guider les analyses statistiques :

Caractéristique PERCENTILE.INC PERCENTILE.EXC
Formule de position ($R$) $R = 1 + k \cdot (n – 1)$ $R = k \cdot (n + 1)$
Classification Hyndman & Fan Type 7 Type 6
Domaine de validité de $k$ $0 le k le 1$ $1/(n+1) le k le n/(n+1)$
Évaluation de $k = 0$ et $k = 1$ Valide ($x_{(1)}$ et $x_{(n)}$) Erreur #NOMBRE!
Comportement à $k = 0,5$ (Médiane) Identique ($R = (n+1)/2$) Identique ($R = (n+1)/2$)
Comportement pour $k < 0,5$ Rang supérieur ($R_{inc} > R_{exc}$) Rang inférieur ($R_{exc} < R_{inc}$)
Comportement pour $k > 0,5$ Rang inférieur ($R_{inc} < R_{exc}$) Rang supérieur ($R_{exc} > R_{inc}$)
Équivalence R quantile(x, probs = k, type = 7) quantile(x, probs = k, type = 6)
Équivalence Python (NumPy) percentile(x, q, method='weibull') non supporté par défaut (utilise Type 7 par défaut : linear) percentile(x, q, method='weibull')
Équivalence SPSS Par défaut dans la commande FREQUENCIES Optionnel selon les sous-commandes d’estimation
Postulat populationnel Population bornée / Échantillon fermé Échantillonnage continu / Population infinie

6. Gestion des valeurs limites et comportement aux extrêmes

6.1 Comportement analytique aux bornes k = 0 et k = 1

L’analyse des frontières de distribution constitue le révélateur le plus net des divergences conceptuelles entre les deux fonctions. Dans PERCENTILE.INC, l’injection directe des valeurs limites ne pose aucun obstacle arithmétique :

  • Pour $k = 0$ : $R = 1 + 0 \cdot (n – 1) = 1 implies \hat{Q}(0) = x_{(1)}$ (le minimum absolu).
  • Pour $k = 1$ : $R = 1 + 1 \cdot (n – 1) = n implies \hat{Q}(1) = x_{(n)}$ (le maximum absolu).

Cette propriété garantit une continuité fonctionnelle intuitive : la fonction couvre sans rupture l’ensemble de l’étendue empirique des observations. Elle satisfait le praticien désireux d’obtenir une description exhaustive de sa base de données sans redouter d’échec d’évaluation lors de l’exécution de boucles de traitement automatisées allant de 0 à 100 %.

À l’opposé, PERCENTILE.EXC se heurte à une impossibilité théorique lorsqu’elle est confrontée à ces mêmes bornes. Si l’on tentait d’évaluer la fonction pour $k = 0$, la formule de rang produirait $R = 0 \cdot (n + 1) = 0$. Or, l’indice de position $0$ n’a aucune contrepartie observationnelle dans une série ordonnée dont les indices sont conventionnellement ancrés à partir de $1$. De manière symétrique, pour $k = 1$, le calcul aboutirait à $R = 1 \cdot (n + 1) = n + 1$, une position qui excède strictement le nombre total d’observations $n$.

Pour évaluer un rang $0$ ou $n + 1$, Excel devrait procéder à une extrapolation linéaire au-delà des valeurs observées, une opération qu’il s’interdit d’effectuer en raison du risque de produire des scores dénués de validité psychométrique (comme des scores négatifs à un test où le plancher théorique est zéro). Face à cette impossibilité géométrique, l’outil interrompt le calcul et renvoie une erreur de type #NOMBRE!.

6.2 Les seuils de troncature effectifs de PERCENTILE.EXC

La restriction imposée par PERCENTILE.EXC s’étend bien au-delà des valeurs isolées 0 et 1. Il existe une véritable zone de silence computationnel aux deux extrémités de la distribution, directement délimitée par la taille $n$ de l’échantillon. Les seuils de troncature effectifs sont formellement définis par :

$$k_{\min} = \frac{1}{n + 1} \quad \text{et} \quad k_{\max} = \frac{n}{n + 1}$$

Pour un échantillon donné, tout centile $k$ strictement inférieur à $k_{\min}$ ou strictement supérieur à $k_{\max}$ relève de l’incalculable. Examinons l’étendue de cette zone inaccessible en fonction de différentes tailles d’échantillons classiquement rencontrées en psychométrie :

  • Pour $n = 9$ : $k_{\min} = 1 / 10 = 0,10$ (10e centile) et $k_{\max} = 9 / 10 = 0,90$ (90e centile). Il est donc impossible de calculer les déciles extrêmes (comme le 5e ou le 95e centile).
  • Pour $n = 19$ : $k_{\min} = 1 / 20 = 0,05$ (5e centile) et $k_{\max} = 19 / 20 = 0,95$ (95e centile). Les seuils diagnostiques sévères (1er ou 2e centile) demeurent inaccessibles.
  • Pour $n = 99$ : $k_{\min} = 1 / 100 = 0,01$ (1er centile) et $k_{\max} = 99 / 100 = 0,99$ (99e centile). L’ensemble des centiles entiers devient enfin calculable.

Cette particularité mathématique impose une règle méthodologique impérative : on ne peut jamais employer la fonction PERCENTILE.EXC pour rechercher des événements rares ou des coupures cliniques sévères sans disposer au préalable d’une volumétrie d’échantillon suffisante pour que $k_{\min}$ soit inférieur ou égal au seuil pathologique investigué.

6.3 Conséquences sur l’identification des profils atypiques ou extrêmes

Ces mécanismes d’interpolation aux bornes influencent directement le dépistage des profils neuropsychologiques atypiques, tels que le Haut Potentiel Intellectuel (HPI) ou les déficits cognitifs profonds. Dans le cadre de l’identification du HPI, la définition standard requiert généralement un Quotient Intellectuel Total (QIT) supérieur ou égal à 130, ce qui équivaut approximativement au 98e centile ($k = 0,98$) de la courbe de Gauss théorique.

Si un praticien applique la fonction PERCENTILE.EXC sur une cohorte locale de validation comprenant seulement 30 participants, la limite supérieure admissible est :

$$k_{\max} = \frac{30}{30 + 1} = \frac{30}{31} \approx 0,9677 \quad (96,77\text{e centile})$$

La tentative de calcul du 98e centile génère instantanément une erreur #NOMBRE!. Si le clinicien tente alors de pallier cette limitation en basculant sur la fonction PERCENTILE.INC, le rang calculé sera :

$$R_{inc} = 1 + 0,98 \cdot (30 – 1) = 1 + 0,98 \cdot 29 = 1 + 28,42 = 29,42$$

La valeur du seuil d’admission résultera d’une interpolation linéaire entre l’avant-dernière ($x_{(29)}$) et la dernière observation ($x_{(30)}$). Si l’échantillon comporte un sujet exceptionnel dont le score culmine à 145 alors que le reste du groupe plafonne à 125, l’interpolation à 29,42 attribuera un poids massif à ce score extrême, tirant le seuil normatif artificiellement vers le haut et augmentant le risque d’évincer d’autres candidats méritants. La gestion algorithmique des frontières n’est donc pas une abstraction : elle conditionne la sélectivité réelle des instruments de mesure.

7. Étude de cas pratique sur une cohorte d’évaluation psychométrique

7.1 Présentation du jeu de données expérimentales

Afin d’examiner concrètement les divergences opérationnelles entre les deux fonctions, analysons un protocole d’étalonnage expérimental standard. Soit un groupe restreint de $n = 15$ participants adultes soumis à une échelle d’évaluation de l’anxiété clinique (score brut variant de 0 à 60 points). Les scores bruts obtenus, préalablement triés par ordre croissant, se structurent comme suit :

Indice ($i$) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Score ($x_{(i)}$) 12 15 18 20 23 25 28 30 34 37 41 45 48 52 56

L’objectif de cette étude psychométrique consiste à établir les seuils d’étalonnage normatif pour les niveaux d’alerte clinique correspondant aux centiles suivants : $10\text{e}$ ($k = 0,10$), $20\text{e}$ ($k = 0,20$), $50\text{e}$ (médiane, $k = 0,50$), $80\text{e}$ ($k = 0,80$) et $90\text{e}$ ($k = 0,90$). Nous allons calculer pas à pas les résultats produits par PERCENTILE.INC et PERCENTILE.EXC.

7.2 Application pas à pas de PERCENTILE.INC et PERCENTILE.EXC

Procédons au calcul méthodique des rangs et des valeurs interpolées associées pour chacune des deux règles algorithmiques :

1. Calcul pour le 10e centile ($k = 0,10$) :

  • PERCENTILE.INC :

    Rang : $R_{inc} = 1 + 0,10 \cdot (15 – 1) = 1 + 1,4 = 2,4$.

    Interpolation entre $x_{(2)} = 15$ et $x_{(3)} = 18$ :

    $\hat{Q}_{inc}(0,10) = 15 + 0,4 \cdot (18 – 15) = 15 + 1,2 = \mathbf{16,2}$.
  • PERCENTILE.EXC :

    Vérification de validité : $k_{\min} = 1 / 16 = 0,0625$. Comme $0,10 ge 0,0625$, le calcul est possible.

    Rang : $R_{exc} = 0,10 \cdot (15 + 1) = 1,6$.

    Interpolation entre $x_{(1)} = 12$ et $x_{(2)} = 15$ :

    $\hat{Q}_{exc}(0,10) = 12 + 0,6 \cdot (15 – 12) = 12 + 1,8 = \mathbf{13,8}$.

2. Calcul pour le 20e centile ($k = 0,20$) :

  • PERCENTILE.INC :

    Rang : $R_{inc} = 1 + 0,20 \cdot 14 = 3,8$.

    Interpolation entre $x_{(3)} = 18$ et $x_{(4)} = 20$ :

    $\hat{Q}_{inc}(0,20) = 18 + 0,8 \cdot (20 – 18) = 18 + 1,6 = \mathbf{19,6}$.
  • PERCENTILE.EXC :

    Rang : $R_{exc} = 0,20 \cdot 16 = 3,2$.

    Interpolation entre $x_{(3)} = 18$ et $x_{(4)} = 20$ :

    $\hat{Q}_{exc}(0,20) = 18 + 0,2 \cdot (20 – 18) = 18 + 0,4 = \mathbf{18,4}$.

3. Calcul pour la Médiane ($k = 0,50$) :

  • PERCENTILE.INC :

    Rang : $R_{inc} = 1 + 0,50 \cdot 14 = 8,0 implies \hat{Q}_{inc}(0,50) = x_{(8)} = \mathbf{30,0}$.
  • PERCENTILE.EXC :

    Rang : $R_{exc} = 0,50 \cdot 16 = 8,0 implies \hat{Q}_{exc}(0,50) = x_{(8)} = \mathbf{30,0}$.

4. Calcul pour le 80e centile ($k = 0,80$) :

  • PERCENTILE.INC :

    Rang : $R_{inc} = 1 + 0,80 \cdot 14 = 12,2$.

    Interpolation entre $x_{(12)} = 45$ et $x_{(13)} = 48$ :

    $\hat{Q}_{inc}(0,80) = 45 + 0,2 \cdot (48 – 45) = 45 + 0,6 = \mathbf{45,6}$.
  • PERCENTILE.EXC :

    Rang : $R_{exc} = 0,80 \cdot 16 = 12,8$.

    Interpolation entre $x_{(12)} = 45$ et $x_{(13)} = 48$ :

    $\hat{Q}_{exc}(0,80) = 45 + 0,8 \cdot (48 – 45) = 45 + 2,4 = \mathbf{47,4}$.

5. Calcul pour le 90e centile ($k = 0,90$) :

  • PERCENTILE.INC :

    Rang : $R_{inc} = 1 + 0,90 \cdot 14 = 13,6$.

    Interpolation entre $x_{(13)} = 48$ et $x_{(14)} = 52$ :

    $\hat{Q}_{inc}(0,90) = 48 + 0,6 \cdot (52 – 48) = 48 + 2,4 = \mathbf{50,4}$.
  • PERCENTILE.EXC :

    Vérification de validité : $k_{\max} = 15 / 16 = 0,9375$. Comme $0,90 le 0,9375$, le calcul est possible.

    Rang : $R_{exc} = 0,90 \cdot 16 = 14,4$.

    Interpolation entre $x_{(14)} = 52$ et $x_{(15)} = 56$ :

    $\hat{Q}_{exc}(0,90) = 52 + 0,4 \cdot (56 – 52) = 52 + 1,6 = \mathbf{53,6}$.

7.3 Interprétation des divergences de score en contexte diagnostique

L’analyse des écarts met en lumière une discordance systématique. Au 10e centile, la méthode exclusive positionne le seuil à $13,8$ contre $16,2$ pour la méthode inclusive, soit un décalage de $2,4$ points bruts. Au 90e centile, la méthode exclusive place la coupure à $53,6$ contre $50,4$ pour la méthode inclusive, générant un écart de $3,2$ points bruts.

Considérons maintenant les répercussions diagnostiques de cet écart. Imaginons qu’un score brut égal ou supérieur au 90e centile d’anxiété déclenche automatiquement l’admission d’un patient dans un programme de soins psychiatriques intensifs. Si l’établissement base sa table normative sur PERCENTILE.INC, le critère d’entrée est fixé à $50,4$ ; un patient ayant obtenu un score brut de $52$ sera catégorisé comme pathologique et pris en charge. En revanche, si la table est calculée avec PERCENTILE.EXC, le seuil d’éligibilité s’élève à $53,6$ ; ce même patient avec un score de $52$ sera considéré comme sous le seuil critique et se verra refuser l’accès au protocole.

Cet écart d’étiquetage illustre la manière dont un choix purement computationnel peut induire une divergence clinique tangible. Aucun des deux calculs n’est arithmétiquement erroné : ils incarnent simplement des postures épistémologiques distinctes vis-à-vis du statut de l’échantillon. L’absence de mention explicite de la méthode retenue dans un rapport psychologique constitue ainsi un manquement méthodologique majeur.

8. Rétrocompatibilité : analyse de la fonction historique PERCENTILE

8.1 Origine et statut de la fonction héritée PERCENTILE

La fonction PERCENTILE appartient au noyau originel de fonctions statistiques déployées lors des premières versions de Microsoft Excel dans les années 1990. Conçue initialement pour concurrencer Lotus 1-2-3, son implémentation visait la rapidité d’exécution sur des ordinateurs dotés de capacités matérielles restreintes. Sa documentation initiale ne fournissait que peu de précisions sur le traitement mathématique des quantiles, renvoyant l’utilisateur à l’idée générique d’une partition en centièmes.

Depuis la mise sur le marché d’Excel 2010, Microsoft a officiellement relégué la fonction PERCENTILE au rang des fonctions de compatibilité (fonctions héritées). Dans le catalogue des fonctions, elle est signalée par un triangle jaune d’avertissement, indiquant aux concepteurs de modèles financiers ou statistiques qu’elle est conservée dans l’unique but d’assurer la rétrocompatibilité ascendante avec les classeurs conçus sous Excel 2007 ou des versions antérieures.

Bien que Microsoft garantisse le maintien de cette commande pour préserver le fonctionnement des millions de classeurs hérités en circulation dans le monde, la firme de Redmond préconise formellement d’abandonner son usage dans toute nouvelle conception logicielle. Le maintien de fonctions statistiques historiques ambiguës présente en effet le risque d’induire des erreurs d’interprétation pour les nouveaux utilisateurs confrontés à une terminologie non harmonisée avec les standards internationaux.

8.2 Démonstration de l’identité absolue avec PERCENTILE.INC

Il importe de clarifier une équivalence arithmétique fondamentale : d’un point de vue algorithmique, la fonction PERCENTILE historique est rigoureusement et strictement identique à la fonction moderne PERCENTILE.INC. Le moteur d’évaluation d’Excel applique le même code binaire pour exécuter ces deux fonctions :

=PERCENTILE(donnees, k) === =PERCENTILE.INC(donnees, k)

Toutes deux mettent en œuvre l’estimateur de Type 7 de Hyndman et Fan fondé sur le rang $R = 1 + k \cdot (n – 1)$, appliquent une interpolation linéaire strictement pondérée par la partie fractionnaire de cet indice, et tolèrent l’intervalle complet $k in [0, 1]$. Des campagnes de tests automatisés sur des millions de séries pseudo-aléatoires de tailles et de distributions variées confirment l’absence du moindre écart de calcul entre ces deux fonctions, au bit près de la mantisse en virgule flottante double précision (norme IEEE 754).

Cette stricte identité implique qu’une organisation qui migre ses classeurs historiques vers la syntaxe PERCENTILE.INC n’introduit aucun risque de régression numérique sur ses séries de données antérieures. Les résultats publiés dans des étalonnages passés demeurent inchangés lors de l’adoption de la nouvelle dénomination.

8.3 Bonnes pratiques de migration dans les audits de classeurs statistiques

Dans le cadre de processus d’assurance qualité statistique ou d’audits méthodologiques, le remplacement des fonctions héritées constitue une exigence de conformité. L’emploi non documenté de la fonction PERCENTILE laisse planer une ambiguïté sur la nature inclusive ou exclusive de l’opération menée. Pour orchestrer une transition maîtrisée, il est recommandé de suivre plusieurs étapes :

  • Recensement automatisé : Utiliser l’outil de recherche avancée d’Excel ou des scripts d’audit (Power Query, VBA) pour identifier toutes les formules contenant la sous-chaîne PERCENTILE( en excluant les syntaxes contenant des points.
  • Remplacement syntaxique direct : Remplacer globalement les occurrences par PERCENTILE.INC(, cette substitution ne modifiant en rien les résultats numériques générés.
  • Validation par recoupement : Vérifier par une soustraction différentielle que la nouvelle formule produit une variation nulle ($x_{nouveau} – x_{ancien} = 0$) sur l’ensemble des matrices du classeur.
  • Documentation méthodologique : Insérer dans les annexes statistiques du rapport ou dans les métadonnées du modèle une déclaration attestant que le traitement repose formellement sur l’estimateur de Type 7 (PERCENTILE.INC), garantissant une transparence méthodologique totale pour les auditeurs externes.

9. Résolution des erreurs courantes et diagnostics dans Excel

9.1 Traitement de l’erreur #NOMBRE! (NUM!)

L’erreur #NOMBRE! constitue le message d’anomalie le plus fréquemment rencontré lors de la manipulation des fonctions de quantiles sous Excel. Elle signale systématiquement une incohérence mathématique portant sur le domaine de définition de l’argument $k$.

Dans le cadre de PERCENTILE.INC, cette erreur n’apparaît que si $k 1$. La correction est alors immédiate : il s’agit de ramener la saisie dans l’intervalle valide $[0, 1]$. En revanche, avec PERCENTILE.EXC, l’apparition de l’erreur est plus insidieuse, car elle dépend de la taille de l’échantillon $n$. Comme analysé précédemment, l’erreur #NOMBRE! se déclenche automatiquement si :

$$k \frac{n}{n + 1}$$

Pour prévenir l’interruption des calculs dans les tableaux de bord automatisés recevant des flux dynamiques de données, il convient de sécuriser l’évaluation de $k$ à l’aide de formules conditionnelles. Par exemple, pour forcer $k$ à demeurer dans l’intervalle admissible de PERCENTILE.EXC sans générer de blocage, on peut encapsuler le paramètre dans une structure logique :

=PERCENTILE.EXC(PlageScores, MEDIANE(1/(NB(PlageScores)+1), k, NB(PlageScores)/(NB(PlageScores)+1)))

Cette formulation contraint la valeur de $k$ injectée dans la fonction à s’ajuster automatiquement aux limites admissibles définies par la taille de la plage, empêchant l’apparition de l’erreur #NOMBRE!.

9.2 Traitement de l’erreur #VALEUR! (VALUE!) et #DIV/0!

L’erreur #VALEUR! se manifeste dès lors qu’Excel est incapable d’interpréter l’un des paramètres comme une grandeur numérique. Elle survient typiquement lorsque :

  • L’argument $k$ pointe vers une cellule contenant du texte (par exemple, la chaîne « 90e » saisie au lieu du scalaire 0,90) ou un séparateur décimal erroné lié aux paramètres régionaux (l’utilisation d’un point au lieu d’une virgule dans un environnement francophone).
  • L’ensemble de données est pollué par des caractères invisibles ou des espaces insécables issus d’extractions de bases de données hospitalières ou universitaires.

L’erreur #DIV/0! survient quant à elle lorsque la plage de données désignée ne contient aucune valeur numérique exploitable. Si la plage référencée ne contient que des chaînes de caractères, des cellules vides ou des valeurs logiques, le dénominateur de taille d’échantillon $n$ s’établit à zéro dans le moteur interne, conduisant à une division par zéro.

Pour immuniser les feuilles de calcul contre ces anomalies, la combinaison des fonctions SIERREUR et ESTNUM s’avère indispensable :

=SIERREUR(PERCENTILE.INC(FILTRE(Plage, ESTNUM(Plage)), 0,75), "Données insuffisantes")

Cette syntaxe dynamique extrait d’abord exclusivement les composantes purement numériques de la série avant d’appliquer l’algorithme, protégeant ainsi l’intégrité globale du classeur d’analyse.

9.3 Impact des données manquantes et des valeurs ex æquo

La gestion des données manquantes constitue une source fréquente de biais d’interprétation. Par défaut, Excel ignore les cellules intégralement vides. Cependant, si une valeur manquante a été codée sous la forme d’un zéro explicite ($0$) — une convention malheureusement courante dans certaines bases de données psychométriques —, Excel l’incorporera dans le calcul comme un véritable score plancher. Cette inclusion intempestive gonfle artificiellement la taille apparente $n$ de l’échantillon, abaisse le niveau des centiles inférieurs et déforme l’ensemble de la série ordonnée.

Concernant les valeurs ex æquo (scores identiques partagés par plusieurs sujets), les deux algorithmes d’Excel les traitent de façon purement mécanique au sein de la série ordonnée. Supposons une série comportant des ex æquo : ${10, 15, 15, 15, 20}$. Les rangs d’ordre respectifs sont $1, 2, 3, 4, 5$. Si l’interpolation linéaire atterrit entre deux indices partageant la même valeur (par exemple entre le 2e et le 3e rang, tous deux valant $15$), l’interpolation produit :

$$\hat{Q} = 15 + F \cdot (15 – 15) = 15 + 0 = 15$$

L’interpolation s’aplatit temporairement, reflétant la concentration empirique de sujets sur ce niveau d’accomplissement. Toutefois, cette gestion discrète ignore la théorie sous-jacente des variables latentes continues développée en psychométrie, où deux scores bruts identiques ne traduisent pas nécessairement un niveau d’aptitude rigoureusement indistinguable.

10. Applications aux échelles psychométriques et tests standardisés

10.1 Étalonnage des scores sur les échelles de Likert

Les questionnaires de personnalité et les inventaires cliniques d’attitude (comme les échelles de Likert en 4, 5 ou 7 points) génèrent des données de nature fondamentalement ordinale. Bien que les options de réponse soient encodées par des chiffres (de 1 = « Pas du tout d’accord » à 5 = « Tout à fait d’accord »), la distance psychologique séparant un score de 1 et un score de 2 n’est pas nécessairement équivalente à celle séparant un score de 4 et un score de 5.

L’application d’algorithmes d’interpolation continue tels que PERCENTILE.INC ou PERCENTILE.EXC à des scores ordinaires discrets soulève d’importantes questions de validité méthodologique. En calculant, par exemple, un centile à $3,42$ sur une échelle discrète, l’analyste crée un artefact de granularité mathématique continue qui n’a aucune réalité mesurable dans le protocole de passation original. Pour les échelles courtes, il est fréquemment plus rigoureux d’utiliser des statistiques d’ordre à rangs entiers (ou l’estimateur de Type 1 de Hyndman et Fan, correspondant au centile empirique discontinu sans interpolation).

Toutefois, lorsque les réponses à plusieurs items de Likert sont sommées pour former un score composite global (comme un score de névrosisme sur 50 points), la distribution globale commence à se comporter comme une variable quasi-continue en vertu du théorème central limite. Dans cette configuration, l’application de PERCENTILE.INC pour définir les seuils de déciles et de quartiles de personnalité redevient légitime et largement admise dans la pratique étalonnée des éditeurs de tests.

10.2 Normalisation des scores de quotients intellectuels et tests neuropsychologiques

Les batteries d’évaluation neuropsychologique et cognitive (à l’instar du WISC-V, de la WAIS-IV ou de la NEPSY-II) recourent à un processus de normalisation en plusieurs étapes. Les scores bruts sont d’abord transformés en rangs centiles au sein de strates d’âge précises, puis ces centiles sont projetés sur une distribution gaussienne théorique centrée sur une moyenne de $100$ avec un écart-type de $15$ pour les scores de QI (ou une moyenne de $10$ et un écart-type de $3$ pour les notes sous-test standard).

L’arbitrage entre PERCENTILE.INC et PERCENTILE.EXC prend ici une dimension structurante. La fonction PERCENTILE.INC est traditionnellement privilégiée par les concepteurs de tests lors de l’établissement des tables empiriques directes figurant dans les manuels de passation. Elle garantit qu’un sujet obtenant le score brut maximal observable dans l’échantillon d’étalonnage se voit effectivement attribuer le 100e centile empirique ($k = 1$), reflétant son rang au sommet de la cohorte observée.

Néanmoins, lorsqu’il s’agit de convertir ces centiles en scores gaussiens standardisés par le biais de la fonction inverse de la loi normale (LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE dans Excel), l’attribution stricte d’un centile égal à $0$ ou $1$ pose un problème computationnel immédiat : la fonction de répartition inverse d’une loi normale tend vers $-\infty$ pour $p = 0$ et vers $+\infty$ pour $p = 1$. L’approche inclusive impose donc une correction artificielle supplémentaire pour borner les extrémités (par exemple en assignant arbitrairement $0,001$ et $0,999$). À cet égard, PERCENTILE.EXC évite cette rupture asymptotique en n’atteignant jamais $0$ ou $1$, fournissant une passerelle computationnelle plus fluide vers les transformations en notes $Z$, notes $T$ ou quotients standardisés.

10.3 Sensibilité aux biais statistiques dans les études à petits effectifs

Dans la recherche expérimentale en psychologie clinique, les protocoles portent souvent sur des échantillons restreints en raison de la rareté de certaines affections (par exemple, des patients présentant des lésions cérébrales focales spécifiques ou des syndromes génétiques orphelins). Au sein de ces cohortes où $n$ est souvent compris entre 8 et 15 sujets, le choix algorithmique du centile exerce une influence majeure sur les conclusions de l’étude.

L’application non critique de PERCENTILE.INC sur de très petits effectifs génère un biais systématique de surévaluation des seuils bas et de sous-évaluation des seuils hauts par rapport aux valeurs réelles de la population parente continue. À l’inverse, l’usage de PERCENTILE.EXC peut introduire une instabilité d’échantillonnage considérable dès que les valeurs extrêmes fluctuent, sans compter l’impossibilité d’évaluer les seuils les plus sévères.

Face à ces distorsions, il est méthodologiquement recommandé d’adopter des démarches de triangulation statistique. Le praticien ne doit pas s’appuyer exclusivement sur une estimation linéaire ponctuelle de centiles dans Excel, mais la croiser avec des tests d’hypothèse non paramétriques (comme le test de Mann-Whitney ou le test des rangs signés de Wilcoxon) ou recourir à des procédures de rééchantillonnage de type bootstrap afin de dériver des intervalles de confiance à 95 % autour des seuils de centiles calculés.

11. Critères décisionnels pour le choix entre PERCENTILE.EXC et PERCENTILE.INC

11.1 Arbre de décision méthodologique selon l’objectif de recherche

Pour déterminer de façon rationnelle et reproductible quelle fonction sélectionner dans une analyse de données sous Excel, il est opportun de suivre un protocole décisionnel formalisé reposant sur le statut de l’ensemble des données et la finalité de l’étude :

  1. Quelle est la nature du jeu de données analysé ?
    • S’agit-il d’une population fermée ou exhaustive ? (Exemple : ensemble des élèves d’une promotion universitaire, résultats définitifs de l’ensemble des candidats d’un concours, données de paie des employés d’une organisation).

      → Option impérative : PERCENTILE.INC. L’échantillon est la population. Les extrêmes réels sont connus et délimités par le minimum et le maximum observés.
    • S’agit-il d’un échantillon probabiliste extrait d’une population continue plus large ?

      → Poursuivre vers l’interrogation suivante.
  2. Quel est l’objectif premier du traitement statistique ?
    • Objectif purement descriptif ou reporting standardisé : Vous cherchez à résumer la distribution observée pour un compte rendu accessible au public ou aux participants.

      → Privilégier : PERCENTILE.INC. Sa logique est universellement comprise, n’échoue jamais aux bornes et coïncide avec les attentes conventionnelles d’un public non statisticien.
    • Objectif inférentiel ou modélisation probabiliste : Vous souhaitez estimer les paramètres non biaisés d’une fonction de répartition continue théorique sous-jacente.

      → Privilégier : PERCENTILE.EXC (à condition que la taille d’échantillon le permette).

11.2 Conformité avec les logiciels statistiques spécialisés

Un critère déterminant réside dans l’interopérabilité des chaînes de traitement de données entre les tableurs de bureau et les plateformes spécialisées d’analyse statistique :

  • Alignement avec le logiciel R : Par défaut, la fonction fondamentale quantile(x, probs) du logiciel R applique l’estimateur type = 7. Pour reproduire au centième près sous R les résultats d’un classeur Excel, il est donc nécessaire d’utiliser PERCENTILE.INC. Si l’on souhaite répliquer les calculs de PERCENTILE.EXC sous R, l’utilisateur doit explicitement spécifier l’argument type = 6 : quantile(x, probs, type = 6).
  • Alignement avec IBM SPSS Statistics : SPSS implémente par défaut dans ses procédures descriptives de base (telles que la commande FREQUENCIES) un algorithme rigoureusement équivalent au Type 7 de Hyndman et Fan, donc conforme à PERCENTILE.INC. En revanche, certaines procédures de modélisation plus avancées ou d’ajustement de courbes de survie s’appuient sur l’estimateur de Type 6 (Weibull), correspondant à PERCENTILE.EXC.
  • Alignement avec Python (bibliothèques Pandas et SciPy) : Dans la bibliothèque Pandas, la méthode standard Series.quantile() utilise par défaut une interpolation linéaire analogue au Type 7. Là encore, c’est PERCENTILE.INC qui assure la parfaite continuité computationnelle.

L’harmonisation trans-logicielle exige donc une vigilance constante : déclarer simplement avoir calculé des « centiles » sans préciser le paramètre de type expose les équipes de recherche à des discordances de résultats lors du transfert des bases de données d’un environnement à un autre.

11.3 Recommandations selon la taille de l’échantillon disponible

La volumétrie des données constitue une contrainte technique incontournable qui doit dicter ou proscrire l’utilisation de certaines formules. Voici les préconisations opérationnelles en fonction de la taille $n$ de la cohorte étudiée :

  • Pour les micro-échantillons ($n < 20$) : L’utilisation de PERCENTILE.EXC est fortement déconseillée, voire techniquement impossible pour les seuils cliniques standards (1er, 5e, 95e, 99e centiles). L’intervalle admissible de $k$ y est trop restreint et l’exclusion des queues prive l’évaluateur des seuils critiques. PERCENTILE.INC s’impose par défaut, idéalement assorti d’une mention précisant le caractère exploratoire des valeurs interpolées.
  • Pour les échantillons moyens ($20 le n le 100$) : Les deux fonctions sont techniquement opérationnelles pour les quartiles et la plupart des déciles. Si l’évaluation poursuit une finalité diagnostique d’inférence populationnelle, PERCENTILE.EXC est scientifiquement recevable, mais l’analyste doit vérifier au préalable que la valeur minimale $1 / (n + 1)$ demeure inférieure au seuil de significativité retenu (ex. $p < 0,05$).
  • Pour les grandes cohortes ($n > 500$) : La divergence empirique entre les deux formules devenant infinitésimale (moins de $0,002$ rang d’écart), le choix entre PERCENTILE.INC et PERCENTILE.EXC n’exerce plus d’impact clinique substantiel. L’usage de PERCENTILE.INC demeure toutefois préférable pour des raisons d’homogénéité fonctionnelle et de compatibilité avec les systèmes d’information tiers.

12. Guide technique et bonnes pratiques d’implémentation sous Excel

12.1 Automatisation des calculs avec les tableaux dynamiques structurés

Pour garantir la robustesse des calculs statistiques et éviter les erreurs humaines liées à l’ajustement manuel des coordonnées de plages (comme A2:A150), il est fortement recommandé de structurer les bases de données sous la forme de Tableaux Structurés Excel (raccourci clavier Ctrl + L ou Ctrl + T). L’utilisation de références structurées offre des formules dynamiques hautement lisibles et s’adaptant instantanément à l’intégration de nouvelles observations.

Imaginons un tableau structuré baptisé CohorteNormative disposant d’une colonne de scores cognitifs nommée ScoreBrut. L’évaluation du 25e centile s’écrit avec élégance :

=PERCENTILE.INC(CohorteNormative[ScoreBrut], 0,25)

En combinant cette approche avec le nouveau moteur de calcul matriciel dynamique d’Excel (disponible sous Microsoft 365), il devient aisé de construire une matrice de centiles conditionnelle sans avoir recours à des macros ou à du code VBA. Supposons que l’on souhaite calculer le 90e centile des scores uniquement pour le sous-groupe des sujets âgés de plus de 60 ans :

=PERCENTILE.INC(FILTRE(CohorteNormative[ScoreBrut], CohorteNormative[Age] >= 60), 0,90)

La formule FILTRE extrait dynamiquement le vecteur d’observations satisfaisant au critère clinique avant de le soumettre à la fonction de centile, assurant une mise à jour automatisée dès lors que les données démographiques sous-jacentes sont enrichies.

12.2 Visualisation graphique avancée des profils de centiles

L’interprétation des seuils de centiles ne saurait être complète sans une représentation visuelle claire et intuitive pour les praticiens ou les patients. Plusieurs solutions graphiques peuvent être déployées sous Excel pour matérialiser ces concepts :

  • Boîtes à moustaches (Boxplots) : Excel intègre nativement le graphique en boîte à moustaches. Il importe de souligner que le tracé standard de la boîte délimite le premier quartile (25e centile), la médiane (50e centile) et le troisième quartile (75e centile). Les options du graphique permettent de sélectionner la méthode d’inclusion ou d’exclusion des quartiles, qui correspond exactement à la logique de PERCENTILE.INC ou PERCENTILE.EXC. L’analyste doit veiller à aligner l’option du graphique sur la formule retenue dans ses tables de données.
  • Diagrammes de dispersion avec seuils normatifs : La construction d’un nuage de points reliant le score individuel des sujets à leur âge peut être enrichie de lignes de tendance horizontales matérialisant les coupures critiques au 10e, 50e et 90e centiles. Ces lignes peuvent être facilement générées en insérant des séries calculées dynamiquement par les fonctions d’interpolation.
  • Mise en forme conditionnelle : Dans un tableau de synthèse clinique, l’application d’une règle de mise en forme conditionnelle basée sur une formule permet de colorer automatiquement les cellules dont le score brut se situe sous un centile critique pathologique, par exemple :

    =$B2 <= PERCENTILE.INC(CohorteNormative[ScoreBrut], 0,05)

    Cette signalisation visuelle attire immédiatement l’attention du clinicien sur les déficits potentiels lors du bilan neuropsychologique.

12.3 Check-list méthodologique pour les rapports d’évaluation psychologique

Afin de garantir une rigueur scientifique optimale et de satisfaire aux standards de publication académique les plus exigeants, tout rapport statistique, mémoire de recherche ou bilan psychométrique impliquant le calcul de centiles sous Excel devrait être validé au regard de la grille de contrôle suivante :

  1. Transparence de l’algorithme : L’annexe méthodologique mentionne-t-elle explicitement le type d’estimateur retenu (ex. « Estimation des rangs centiles réalisée sous Microsoft Excel au moyen de la fonction PERCENTILE.INC, correspondant à l’estimateur Type 7 de Hyndman & Fan ») ?
  2. Cohérence avec la taille d’échantillon : Si la fonction PERCENTILE.EXC a été sélectionnée, a-t-on vérifié que le centile le plus extrême sollicité respecte rigoureusement la condition $k ge 1 / (n + 1)$ et $k le n / (n + 1)$ sans générer d’erreur de troncature masquée ?
  3. Contrôle des valeurs manquantes et aberrantes : Les cellules contenant des scores nuls ($0$) correspondent-elles à des performances effectives mesurées ou à des omissions d’enregistrement devant être traitées comme des cellules vides ?
  4. Audit des fonctions héritées : Le classeur statistique est-il totalement exempt de l’ancienne fonction dépréciée PERCENTILE, garantissant l’absence d’ambiguïté pour les futurs utilisateurs du modèle ?
  5. Concordance graphique : Si des graphiques en boîtes à moustaches accompagnent le rapport, leurs paramètres de calcul des quartiles (inclusif vs exclusif) sont-ils en stricte conformité avec les formules implémentées dans les feuilles de calcul analytiques ?

En observant scrupuleusement ces principes méthodologiques, le psychologue, le chercheur ou l’analyste de données s’assure que ses interprétations quantitatives reposent sur un socle mathématique robuste, documenté et reproductible, garantissant une utilisation rigoureuse des données psychométriques.

Références

Citer cet article

memjavad (2026, septembre 6). PERCENTILE.EXC vs. PERCENTILE.INC dans Excel : quelle est la différence ?. Base de données de psychologie en français. https://fr.arabpsychology.com/statistics/percentile-exc-vs-percentile-inc-excel-difference/
memjavad. “PERCENTILE.EXC vs. PERCENTILE.INC dans Excel : quelle est la différence ?.” Base de données de psychologie en français, 6 septembre 2026, https://fr.arabpsychology.com/statistics/percentile-exc-vs-percentile-inc-excel-difference/.
memjavad. “PERCENTILE.EXC vs. PERCENTILE.INC dans Excel : quelle est la différence ?.” Base de données de psychologie en français. septembre 6, 2026. https://fr.arabpsychology.com/statistics/percentile-exc-vs-percentile-inc-excel-difference/.