Comment obtenir les valeurs prédites et les résidus dans Stata

L’analyse empirique en sciences sociales, en économétrie et en psychométrie repose fondamentalement sur la modélisation statistique des relations entre variables. Lorsque les chercheurs mobilisent l’économétrie appliquée ou la modélisation par régression, l’ajustement initial d’une équation linéaire ne représente que la première étape d’un processus itératif de découverte scientifique. L’examen minutieux des valeurs prédites (valeurs ajustées) et des résidus constitue le cœur battant du diagnostic post-estimation, garantissant que les inférences tirées à partir des données observées ne soient pas le produit d’artefacts computationnels, d’hypothèses violées ou de spécifications fonctionnelles déficientes.

Le logiciel d’analyse statistique Stata s’est imposé comme une référence internationale incontournable au sein de la communauté académique, notamment grâce à son architecture logicielle unifiée et à sa commande post-estimation polyvalente predict. Cette dernière permet de faire le pont entre la théorie mathématique des moindres carrés et la pratique appliquée, en extrayant de manière dynamique les estimations ponctuelles, les erreurs types de prévision, ainsi que diverses variantes de résidus bruts, standardisés et studentisés indispensables à la validation empirique.

Le présent guide a pour vocation de fournir une exploration encyclopédique, méthodique et rigoureuse des procédures permettant d’extraire, d’analyser et d’exploiter les valeurs prédites et les résidus sous Stata. À travers l’articulation de fondements théoriques stricts, d’implémentations syntaxiques détaillées et de diagnostics d’influence avancés, ce document offre aux chercheurs et praticiens une feuille de route complète pour élever leurs standards méthodologiques et garantir la reproductibilité intégrale de leurs travaux scientifiques.

1. Introduction aux valeurs prédites et aux résidus dans la modélisation sous Stata

1.1 Rôle des prédictions et des résidus dans l’évaluation empirique

Dans toute démarche d’inférence quantitative, la validation des hypothèses théoriques repose sur la confrontation entre un modèle conceptuel et la réalité empirique. Le modèle statistique opère une simplification délibérée de processus comportementaux ou socio-économiques complexes. Dès lors, l’évaluation de la qualité de l’ajustement ne se limite pas à la simple contemplation d’un coefficient de détermination global ou de tests de significativité des paramètres individuels. Elle exige une décomposition analytique rigoureuse de chaque observation afin de discerner ce qui relève de la composante structurelle expliquée par le modèle et ce qui relève de l’hétérogénéité résiduelle inexpliquée.

Il existe une distinction théorique fondamentale et irréductible entre la valeur observée empiriquement, la valeur attendue (ou prédite) conditionnellement aux prédicteurs, et le terme d’erreur stochastique inobservable. La variable dépendante observée pour une unité donnée contient à la fois le signal systématique gouverné par la loi statistique sous-jacente et le bruit aléatoire propre à l’échantillonnage ou aux imperfections de mesure. La valeur prédite représente l’espérance mathématique conditionnelle de ce signal estimée par le modèle, tandis que le résidu empirique constitue l’écart concret mesuré au niveau de l’échantillon entre cette prévision déterministe et le fait observé. Ce résidu opère comme un estimateur d’échantillon de la perturbation stochastique théorique de la population.

L’utilité méthodologique des résidus s’avère centrale dans la détection des biais de spécification. Une erreur systématique dans le choix de la forme fonctionnelle, telle que l’omission de termes quadratiques ou l’omission pure et simple de variables explicatives majeures, se reflète inévitablement dans la structure des résidus. Lorsque ces derniers cessent de se comporter comme un bruit blanc purement aléatoire, ils alertent le chercheur sur la présence d’une distorsion de modélisation susceptible de biaiser l’estimation des coefficients de régression et d’invalider les tests d’hypothèse paramétriques usuels.

Dans le domaine des sciences comportementales, de la psychologie différentielle et de l’économie expérimentale, l’analyse des résidus présente une pertinence additionnelle majeure. Loin de représenter un simple déchet statistique sans valeur substantive, le résidu isole l’écart individuel par rapport à la norme comportementale attendue pour un profil sociodémographique ou psychologique donné. Étudier les résidus permet ainsi de caractériser des sujets exceptionnels, d’identifier des dynamiques atypiques et de formuler de nouvelles conjectures théoriques fondées sur l’inadéquation locale du modèle universel face à des sous-populations spécifiques.

1.2 Présentation de l’environnement analytique de Stata

L’environnement informatique de Stata se distingue par une architecture modulaire particulièrement efficiente, articulée autour de la distinction entre les commandes d’estimation et les routines de post-estimation. Lorsqu’une commande d’estimation telle que la régression linéaire est exécutée, Stata ne se contente pas d’afficher un tableau de coefficients synthétique dans la fenêtre de résultats. Il conserve en mémoire vive l’intégralité de l’espace d’estimation, incluant le vecteur des paramètres estimés, la matrice de variance-covariance des coefficients, les degrés de liberté, ainsi qu’une série de scalaires descriptifs.

Ce mécanisme d’enregistrement temporaire repose sur les classes d’objets d’estimation (souvent désignées sous la nomenclature e()). Ces structures de données internes demeurent actives et accessibles en mémoire jusqu’à ce qu’une nouvelle procédure d’estimation vienne écraser le contexte précédent. Cette mémoire persistante constitue le socle sur lequel opèrent les commandes de post-estimation, garantissant que l’utilisateur peut interroger le modèle sous de multiples angles sans devoir réestimer inutilement l’équation mathématique sous-jacente, optimisant ainsi substantiellement le temps de calcul lors de l’exploitation de volumineuses bases de données.

Au cœur de cette panoplie d’outils de post-estimation figure la commande centrale predict. Cette instruction unifiée permet de dériver une multitude de grandeurs statistiques dérivées du modèle actif, allant des simples valeurs ajustées aux résidus bruts, en passant par les erreurs types d’estimation, les projections de levier et les indices d’influence les plus sophistiqués. La syntaxe canonique de cette commande associe la désignation d’un nouveau nom de variable à une gamme étendue d’options analytiques spécialisées qui paramètrent le calcul matriciel sous-jacent avec une précision mathématique rigoureuse.

Enfin, la robustesse de toute démarche analytique moderne repose sur le principe de reproductibilité intégrale via la programmation par fichiers de commandes structurés (do-files). Dans le cadre de Stata, la rédaction de scripts séquentiels permet de consigner l’intégralité du cycle de vie de la recherche, depuis le nettoyage préalable des données jusqu’à l’extraction systématique des métriques de diagnostic. Cette traçabilité scriptée évite les écueils des manipulations interactives opaques et assure que les prédictions et résidus calculés puissent être répliqués à l’identique par des auditeurs indépendants ou des pairs évaluateurs au sein du processus de publication scientifique.

2. Fondements théoriques de l’estimation par moindres carrés ordinaires (MCO)

2.1 Formulation mathématique de l’équation de régression

Pour appréhender la nature exacte des valeurs prédites et des résidus, il est indispensable de formaliser l’architecture matricielle de la régression linéaire classique par les moindres carrés ordinaires. Soit un échantillon de n observations pour lesquelles on observe une variable dépendante continue rassemblée dans un vecteur colonne y de dimension (n × 1), et un ensemble de k variables explicatives mesurées pour chaque individu, regroupées dans une matrice de conception X de dimension (n × p), où p = k + 1 lorsque le modèle incorpore un terme constant unitaire.

L’équation vectorielle du modèle linéaire dans la population s’énonce comme suit :

y = Xβ + ε

Dans cette formulation, β représente le vecteur des paramètres inconnus de dimension (p × 1) que l’on cherche à estimer, et ε désigne le vecteur inobservable des perturbations stochastiques aléatoires. Cette équation décompose ainsi la réponse observée en deux entités distinctes : une composante déterministe linéaire conditionnelle Xβ gouvernée par l’information contenue dans les régresseurs, et une composante d’erreur aléatoire ε captant l’imprécision inhérente à tout phénomène réel.

L’estimateur des moindres carrés ordinaires, noté b ou β̂, est obtenu en résolvant un problème d’optimisation classique consistant à minimiser la somme des carrés des écarts entre les observations empiriques et les projections linéaires du modèle. Algébriquement, cette minimisation s’écrit :

Minimiser S(β) = (y – Xβ)'(y – Xβ)

En annulant les dérivées premières par rapport au vecteur β, on obtient le système d’équations normales (X‘X)β̂ = X‘y. Sous l’hypothèse de plein rang de la matrice X (absence de colinéarité exacte entre les prédicteurs), la solution matricielle fermée de l’estimateur MCO s’établit de manière unique par :

β̂ = (X‘X)^-1X‘y

À partir de cet estimateur de paramètres, la valeur prédite (couramment désignée sous le symbole y chapeau ou ŷ) est formellement définie comme l’ajustement déterministe produit par le modèle estimé :

ŷ = Xβ̂ = X(X‘X)^-1X‘y = Hy

La matrice H = X(X‘X)^-1X‘, traditionnellement nommée « matrice chapeau » (hat matrix) ou matrice de projection orthogonale, projette orthogonalement l’espace des données observées y sur le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de X. Corrélativement, le résidu d’échantillon, noté e, est l’écart arithmétique direct entre le vecteur des valeurs observées et le vecteur des projections linéaires calculées :

e = y – ŷ = (I – H)y

Il est fondamental de souligner que le résidu empirique e n’est pas identique à l’erreur structurelle théorique ε. Tandis que ε constitue une entité conceptuelle purement théorique et inaccessible dans la population mère, le résidu e représente son analogue empirique calculé au sein de l’échantillon restreint, conditionnellement aux fluctuations d’échantillonnage propres à β̂.

2.2 Hypothèses fondamentales de Gauss-Markov et comportement des résidus

L’estimation par les moindres carrés ordinaires tire sa légitimité inférentielle du célèbre théorème de Gauss-Markov, qui stipule que sous un ensemble d’hypothèses précises, l’estimateur MCO est le meilleur estimateur linéaire non biaisé (BLUE – Best Linear Unbiased Estimator). La conformité des résidus d’échantillon à des propriétés structurales spécifiques permet de vérifier la plausibilité empirique de ces hypothèses théoriques cruciales.

La première hypothèse cardinale stipule la stricte exogénéité des prédicteurs, ce qui se traduit mathématiquement par une espérance conditionnelle nulle des perturbations stochastiques : E(ε|X) = 0. Au niveau de l’échantillon, les propriétés géométriques de la projection orthogonale MCO impliquent mécaniquement que X‘e = 0. Les résidus d’échantillon sont ainsi, par construction algébrique, parfaitement orthogonaux à l’ensemble des régresseurs incorporés dans le modèle, ce qui garantit également que la corrélation empirique entre ŷ et e est strictement nulle dès lors qu’un terme constant est spécifié.

La deuxième condition primordiale concerne la structure de variance-covariance des perturbations, résumée sous l’hypothèse d’homoscédasticité et d’absence d’autocorrélation : Var(ε|X) = σ²I_n. L’homoscédasticité impose que la variance des termes d’erreur demeure rigoureusement constante (σ²) quel que soit le niveau ou la combinaison des variables indépendantes. Parallèlement, l’absence de corrélation sérielle postule que la covariance entre deux perturbations associées à des unités statistiques distinctes est nulle (Cov(ε_i, ε_j) = 0 pour tout i ≠ j).

Lorsque ces postulats sont respectés, la variance des résidus d’échantillon e s’exprime selon la formule matricielle Var(e|X) = σ²(I – H). Cette relation met en lumière un phénomène statistique capital : même si les véritables perturbations ε sont parfaitement homoscédastiques, les résidus ordinaires d’échantillon e présentent intrinsèquement des variances inégales dépendant de la diagonale de la matrice de projection H. Ce constat théorique motivera ultérieurement l’élaboration de transformations correctrices telles que la standardisation et la studentisation.

Les implications de la violation de ces hypothèses fondamentales sont dévastatrices pour la validité scientifique des conclusions. En présence d’hétéroscédasticité ou d’autocorrélation, bien que l’estimateur β̂ conserve sa propriété de non-biais sous réserve d’exogénéité, il perd son efficacité statistique minimale. Plus grave encore, la matrice de variance-covariance estimée conventionnelle devient systématiquement faussée, ce qui entraîne des erreurs types biaisées, des valeurs p invalides et des intervalles de confiance trompeurs, exposant l’analyste au risque élevé de commettre des erreurs d’inférence de type I ou de type II.

3. Préparation des données et exploration initiale sous Stata

3.1 Importation et vérification de la structure du jeu de données

L’apprentissage rigoureux des routines de post-estimation sous Stata s’effectue idéalement à partir d’un environnement de données contrôlé et universellement accessible. À cette fin, nous mobilisons le jeu de données classique auto.dta, intégré nativement dans le répertoire système de Stata. Ce fichier compile des caractéristiques mécaniques, tarifaires et géométriques de 74 modèles automobiles commercialisés à la fin des années 1970. Pour initialiser l’espace de travail avec un état totalement vierge, il convient d’exécuter la commande de chargement préliminaire :

sysuse auto, clear

Dès l’importation effectuée, l’évaluation préliminaire de la structure du classeur s’avère indispensable pour appréhender les types d’encodage et les métadonnées des variables. La commande describe permet de synthétiser le nombre total d’observations, le volume des variables et leurs formats de stockage respectifs (entiers, réels à virgule flottante, chaînes de caractères). L’intégrité numérique des variables continues d’intérêt, telles que le prix d’achat (price), la consommation de carburant exprimée en miles par gallon (mpg) et la cylindrée du moteur (displacement), doit être formellement attestée afin de prévenir toute incompatibilité de calcul lors de l’exécution des procédures de régression.

Une fois la structure validée, l’exploration de la dispersion statistique s’opère au moyen de la commande summarize. Cette étape met en relief la présence éventuelle de valeurs manquantes (missing values) qui risqueraient d’induire une attrition d’échantillon silencieuse par listwise deletion lors de l’ajustement du modèle. L’identification des minimums, maximums, moyennes empiriques et écarts-types permet également de repérer des incohérences de codification ou des valeurs aberrantes brutes nécessitant un traitement préalable.

L’optimisation des formats de stockage via des instructions telles que compress garantit une gestion efficiente de l’espace mémoire, particulièrement utile lorsque l’on manipule des bases comportant plusieurs millions d’enregistrements. De surcroît, veiller à ce que les variables quantitatives ne soient pas stockées sous forme de chaînes textuelles constitue une précaution élémentaire mais vitale, Stata refusant d’inclure des vecteurs alphanumériques dans ses algorithmes d’optimisation matricielle.

3.2 Vérification des conditions préalables d’application de la régression

L’exécution aveugle d’une régression linéaire multiple sans vérification préalable des hypothèses d’ajustement constitue une faute méthodologique majeure. La première condition à inspecter réside dans la linéarité bivariée des relations entre les prédicteurs candidats et la variable dépendante. L’analyse visuelle préliminaire au moyen de graphiques de dispersion bidimensionnels (scatter price mpg ou scatter price displacement) permet de vérifier si la relation fonctionnelle globale s’apparente à une droite ou si elle manifeste des courbures prononcées suggérant une dynamique polynomiale ou exponentielle.

La deuxième condition essentielle concerne l’examen de la multicolinéarité préliminaire entre les prédicteurs exogènes. Lorsque deux variables explicatives présentent une corrélation linéaire excessivement élevée, la matrice X‘X approche de la singularité, rendant son inversion instable et gonflant démesurément la variance des coefficients estimés. L’examen attentif de la matrice de corrélation de Pearson, générée par la commande :

correlate price mpg displacement weight

permet de déceler immédiatement les liaisons inter-prédicteurs potentiellement problématiques. Des coefficients de corrélation bivariée excédant le seuil prudentiel de 0,80 indiquent généralement une redondance informationnelle sévère qui compliquera l’isolation des effets marginaux individuels et perturbera indirectement l’estimation stable des résidus.

Il convient également d’examiner la forme distributionnelle de la variable de réponse. Lorsque celle-ci présente une asymétrie positive très prononcée, comme c’est fréquemment le cas pour des données financières, salariales ou de tarification d’actifs, la linéarisation par application d’une fonction logarithmique népérienne préalable peut s’avérer pertinente pour restaurer l’homoscédasticité et la normalité résiduelle ultérieure. L’évaluation de l’asymétrie (skewness) permet d’arbitrer rationnellement l’opportunité d’une telle transformation.

Enfin, il est hautement recommandé de sauvegarder l’état initial des données nettoyées ou de figer un point de contrôle environnemental avant d’engager les étapes d’estimation. L’utilisation de commandes telles que snapshot save ou l’enregistrement d’un fichier temporaire assure que l’utilisateur peut réinitialiser son environnement sans altération accidentelle des séries historiques brutes au cours des multiples manipulations génératrices de variables post-estimation.

4. Ajustement du modèle de régression linéaire avec la commande regress

4.1 Exécution de la régression linéaire multiple

L’estimation des coefficients de régression par les moindres carrés ordinaires s’effectue sous Stata à l’aide de la commande fondamentale regress (pouvant être abrégée en reg). La syntaxe universelle de cette commande place impérativement la variable dépendante en première position immédiatement après le mot-clé, suivie séquentiellement par la liste ordonnée des variables indépendantes ou covariables explicatives.

Dans le cadre de notre démonstration méthodologique sur les données automobiles, nous formulons un modèle empirique visant à expliquer le niveau de prix (price) en fonction de l’efficience énergétique du véhicule (mpg) et du volume de cylindrée de son moteur (displacement). L’instruction complète s’exécute ainsi :

regress price mpg displacement

Cette spécification structurelle postule que le prix moyen attendu d’une automobile est une fonction linéaire combinée de son rendement énergétique et de sa puissance de cylindrée, à laquelle s’adjoint une perturbation stochastique individuelle inobservable.

Dans les situations où l’on suspecte a priori une violation de l’hypothèse d’homoscédasticité des erreurs, Stata offre une flexibilité immédiate par l’adjonction d’options robustes. L’incorporation de l’option robust ou vce(robust) ajuste l’estimateur conventionnel de la variance au moyen du formalisme sandwich de Huber-White. Bien que cette option modifie le calcul des erreurs types des coefficients estimés, il importe de noter qu’elle ne change aucunement les estimations ponctuelles de β̂ ni le calcul géométrique direct des valeurs prédites et des résidus ordinaires, ces derniers demeurant strictement déterminés par la géométrie projective MCO.

4.2 Interprétation des paramètres du tableau d’estimation

La validation d’un modèle de régression exige une lecture analytique méticuleuse du tableau de sortie produit par Stata, lequel se scinde structurellement en trois blocs distincts : la table d’analyse de variance (ANOVA), le bloc des statistiques d’ajustement global, et le tableau des paramètres individuels.

Le quadrant supérieur gauche consacre la décomposition canonique de la variance au travers de la table ANOVA. On y retrouve la somme des carrés totale (Total SS), partitionnée rigoureusement entre la somme des carrés expliquée par le modèle de régression (Model SS) et la somme des carrés des résidus d’échantillon (Residual SS). C’est précisément cette quantité résiduelle qui servira d’assise au calcul de la variance de l’erreur empirique, en divisant cette somme par ses degrés de liberté associés (df = n – k – 1), produisant ainsi le carré moyen des résidus (Mean Squared Error – MSE), dont la racine carrée (Root MSE) quantifie l’écart-type résiduel estimé (σ̂).

Le quadrant supérieur droit affiche les métriques scalaires globales. Le coefficient de détermination (R-squared) quantifie la proportion de la variance totale de la réponse qui est conjointement captée par les prédicteurs. Le coefficient ajusté (Adj R-squared) applique une pénalité mathématique proportionnelle au nombre de prédicteurs introduits pour corriger le surajustement mécanique. La statistique F de Fisher, adossée à sa probabilité critique (Prob > F), sanctionne le test de significativité conjointe de l’ensemble des coefficients non constants, évaluant l’hypothèse nulle selon laquelle tous les paramètres de pente seraient simultanément égaux à zéro.

Enfin, le tableau principal détaille les coefficients estimés non standardisés pour chaque prédicteur ainsi que pour la constante d’ajustement (_cons). Chaque ligne fournit le coefficient ponctuel, son erreur type d’estimation, la valeur du test de Student t associé, la p-value bilatérale et l’intervalle de confiance paramétrique à 95 %. Une compréhension approfondie de ces grandeurs est capitale, car les valeurs prédites générées par les routines ultérieures résulteront précisément de la combinaison linéaire de ces coefficients pondérés par les valeurs individuelles des variables de chaque observation.

5. Génération et extraction des valeurs prédites sous Stata

5.1 Syntaxe de base et option par défaut de predict

Une fois le modèle estimé avec succès via la commande regress, l’utilisateur dispose de l’accès immédiat à la commande predict. Cette instruction calcule les valeurs attendues ou ajustées pour l’ensemble des observations éligibles de la base de données active. La commande requiert un nom pour la nouvelle variable qui accueillera le résultat du calcul algorithmique.

La syntaxe canonique formelle s’établit comme suit :

predict yhat, xb

L’option xb indique explicitement à Stata de calculer l’indice linéaire x_iβ̂, c’est-à-dire le produit scalaire entre le vecteur ligne des caractéristiques observées pour l’individu i et le vecteur colonne des coefficients estimés lors de la phase de régression active.

Une particularité remarquable de Stata réside dans son comportement par défaut : lorsque l’analyste omet volontairement d’indiquer une option spécifique après le nom de la variable, Stata applique implicitement l’option xb. Ainsi, la commande abrégée :

predict yhat

aboutit à un résultat rigoureusement identique. La nouvelle variable ainsi générée est instantanément intégrée à la mémoire de la table de données, devenant accessible pour toutes les analyses exploratoires ultérieures au même titre que n’importe quelle variable primaire d’enquête.

L’inspection de la plage des valeurs prédites s’avère hautement instructive. À l’aide d’une commande telle que summarize yhat price, l’analyste peut confronter directement les amplitudes de la prédiction et des données réelles. Bien que la moyenne empirique de la variable prédite soit mathématiquement identique à la moyenne empirique de la variable dépendante observée (en présence d’une constante), sa variance est obligatoirement inférieure ou égale, conformément au principe de décomposition de la variance totale où Var(y) = Var(ŷ) + Var(e).

5.2 Calcul des erreurs types et intervalles de confiance de la prédiction

L’estimation ponctuelle d’une valeur prédite ne fournit qu’une vision incomplète de l’incertitude statistique. Il est capital de distinguer deux notions souvent confondues dans la littérature empirique : l’erreur type de l’espérance conditionnelle (l’incertitude entourant l’emplacement moyen de la surface de régression) et l’erreur type d’une prévision individuelle pour une observation unique.

Pour extraire l’erreur type associée à la prédiction de la moyenne conditionnelle E(y|x_i), Stata met à disposition l’option analytique stdp (standard error of the prediction). L’exécution de l’instruction :

predict se_yhat, stdp

calcule pour chaque ligne de la base la quantité matricielle [x_i(X‘X)^-1x_i‘s²]^1/2, où s² représente l’estimateur sans biais de la variance résiduelle. Cette erreur type est minimale au barycentre des données (lorsque les prédicteurs sont à leur moyenne) et s’élargit progressivement à mesure que l’on s’éloigne vers les marges de l’espace multidimensionnel des covariables.

À l’inverse, si l’objectif du chercheur consiste à prédire la réalisation future ponctuelle d’une nouvelle observation singulière non encore réalisée, il convient de tenir compte non seulement de l’incertitude pesant sur l’estimation des paramètres de régression, mais également de la dispersion stochastique irréductible propre à cette observation nouvelle. L’option dédiée sous Stata est stdf (standard error of the forecast) :

predict se_forecast, stdf

L’erreur type de forecast intègre la variance d’erreur additionnelle selon la formule matricielle [s²(1 + x_i(X‘X)^-1x_i‘)]^1/2. Elle est par définition strictement supérieure à stdp.

La disponibilité de ces erreurs types permet de construire des intervalles de confiance rigoureux. Pour un niveau de confiance bilatéral conventionnel de 95 %, et en mobilisant la valeur critique de la loi de Student correspondant aux degrés de liberté du modèle résiduel (notée t_crit), l’analyste peut générer les bornes de l’intervalle de l’espérance conditionnelle moyenne :

generate ci_lower = yhat - invttail(e(df_r), 0.025) * se_yhat
generate ci_upper = yhat + invttail(e(df_r), 0.025) * se_yhat

De façon analogue, substituer se_forecast à se_yhat produit un intervalle de prévision individuel, substantiellement plus large, reflétant fidèlement l’aléa irréductible inhérent à toute projection singulière dans le monde réel.

6. Calcul et extraction des résidus ordinaires

6.1 Génération des résidus bruts d’estimation

L’extraction des résidus ordinaires bruts constitue le pivot central de l’analyse d’inadéquation empirique. Dans l’écosystème analytique de Stata, la génération de ces écarts s’effectue au moyen de l’option residuals (que l’on peut condenser sous la forme res) appliquée à la commande de post-estimation :

predict res_raw, residuals

Cette instruction demande à l’interpréteur de soustraire la valeur ajustée de la valeur observée pour chaque observation de l’échantillon, réalisant formellement l’opération e_i = y_i – ŷ_i.

Dès l’obtention de cette variable, le chercheur doit procéder à des contrôles arithmétiques fondamentaux pour valider l’intégrité algébrique du processus d’ajustement. Premièrement, lorsque le modèle incorpore une constante, la somme algébrique des résidus d’échantillon doit être strictement égale à zéro (aux tolérances d’arrondi de virgule flottante près de l’ordinateur, généralement de l’ordre de 10^-12). Deuxièmement, la moyenne empirique de cette série résiduelle doit être rigoureusement nulle.

L’orthogonalité empirique constitue le second vérificateur indispensable. En formulant une commande de calcul de corrélation telle que :

correlate res_raw yhat mpg displacement

l’analyste doit observer des coefficients de corrélation rigoureusement nuls entre les résidus et la valeur prédite d’une part, et entre les résidus et chacun des prédicteurs individuels d’autre part. Toute déviation par rapport à cette orthogonalité exacte trahirait une altération de l’échantillon d’analyse ou une incohérence dans les filtres conditionnels mobilisés lors de la post-estimation.

Pour dissiper tout doute pédagogique, l’utilisateur peut également calculer manuellement le résidu par simple différence arithmétique :

generate res_manual = price - yhat

La vérification de l’équivalence parfaite entre res_raw et res_manual via l’instruction assert res_raw == res_manual (ou en tenant compte d’une tolérance infinitésimale de précision numérique) confirme l’identité mathématique sous-jacente.

6.2 Exploration univariée des résidus générés

Dès lors que la variable résiduelle est intégrée au dictionnaire de données actif, son profilage univarié approfondi s’impose. La commande summarize assortie de son option d’extension de détail offre un aperçu exhaustif des moments empiriques de la distribution :

summarize res_raw, detail

Ce diagnostic univarié met en lumière la symétrie de la distribution à travers le coefficient d’asymétrie (skewness). Une valeur de skewness s’écartant notablement de zéro indique une distorsion unilatérale des erreurs, suggérant qu’un sous-ensemble d’observations présente des déviations nettement plus volumineuses dans une direction que dans l’autre. De même, l’examen du coefficient d’aplatissement (kurtosis) permet de vérifier si la loi d’erreur manifeste un caractère leptokurtique (valeur excédant 3, seuil de la distribution normale), ce qui signale une fréquence excessive de déviations extrêmes dans les queues de distribution.

L’inspection des percentiles extrêmes (1er, 5e, 95e et 99e centiles) ainsi que des plus petites et plus grandes valeurs permet d’isoler immédiatement les observations présentant les dysfonctionnements prédictifs les plus sévères. Ce sont ces unités spécifiques qui tirent sur la droite de régression et méritent une attention diagnostique approfondie.

Enfin, dans le respect des standards de transparence méthodologique, il convient de documenter formellement cette nouvelle colonne dans le dictionnaire de données Stata en lui adjoignant un libellé informatif explicite :

label variable res_raw "Résidus ordinaires bruts du modèle MCO (price sur mpg displacement)"

Cette rigueur d’étiquetage évite toute confusion subséquente lors de la manipulation parallèle de multiples variantes résiduelles au sein d’une même session d’analyse.

7. Calcul des résidus standardisés et studentisés

7.1 Extraction des résidus standardisés (internes)

L’inconvénient fondamental des résidus ordinaires bruts e_i réside dans leur dépendance directe à l’unité de mesure de la variable dépendante d’origine. Si le prix est mesuré en dollars, les résidus s’expriment en dollars, rendant malaisée toute comparaison objective de l’ajustement entre des modèles portant sur des métriques distinctes. En outre, comme démontré dans nos développements théoriques, la variance des résidus d’échantillon n’est pas constante : elle dépend intrinsèquement de la distance de chaque point à l’espace moyen des covariables via l’élément diagonal h_ii de la matrice chapeau.

Pour neutraliser cette hétérogénéité de variance structurelle, on procède à la standardisation interne des résidus. Mathématiquement, le résidu standardisé (souvent nommé résidu internement studentisé) divise l’écart brut par son erreur type théorique exacte :

r_i = e_i / [s(1 – h_ii)^1/2]

où s est la racine carrée du carré moyen des résidus de l’échantillon global, et h_ii représente le levier de l’observation i.

Sous Stata, la génération de ces résidus standardisés s’exécute de manière élégante et directe grâce à l’option dédiée rstandard :

predict res_std, rstandard

L’interprétation de ces résidus normalisés s’avère particulièrement commode pour l’analyste. Ayant une variance asymptotique unitaire, les résidus standardisés se prêtent à l’application de règles empiriques universelles inspirées de la loi normale centrée réduite. Usuellement, une valeur absolue excédant 2 (|r_i| > 2) attire l’attention sur une observation modérément suspecte, correspondant à un événement théorique se produisant dans moins de 5 % des cas sous hypothèse de normalité. Un seuil de 3 (|r_i| > 3) signale une valeur atypique sévère méritant une investigation forensique poussée.

Cependant, la standardisation interne présente une limite intrinsèque majeure : l’observation i participe elle-même au calcul de l’estimateur de la variance résiduelle s. Si un point s’avère colossalement aberrant, il contamine directement la somme des carrés des résidus, augmentant artificiellement s, ce qui a pour effet pervers d’écraser son propre résidu standardisé, masquant partiellement l’ampleur réelle de son anomalie statistique.

7.2 Extraction des résidus studentisés (externes ou jackknife)

Pour s’affranchir du piège de la contamination circulaire inhérente à la standardisation interne, les statisticiens ont développé le concept de studentisation externe (souvent appelée studentisation jackknife ou résidu supprimé). Le principe fondamental repose sur l’estimation de la variance résiduelle s_(i) issue d’un modèle ajusté sur l’échantillon dont on a exclu spécifiquement la i-ième observation.

La formule mathématique du résidu studentisé externe, noté t_i, s’énonce ainsi :

t_i = e_i / [s_(i)(1 – h_ii)^1/2]

L’immense vertu de cette approche réside dans le fait que si l’observation i est excessivement discordante, elle n’exerce aucune influence sur l’estimateur de variance s_(i), ce qui permet à son résidu studentisé d’exploser vers des valeurs numériques très élevées, révélant sans fard son caractère pathologique.

Sous Stata, l’extraction de ces séries hautement informatives s’effectue sans qu’il soit nécessaire d’estimer manuellement n régressions successives. L’algorithme matriciel optimise le calcul instantanément via l’option rstudent :

predict res_stud, rstudent

L’avantage décisif des résidus studentisés externes découle de leurs propriétés distributionnelles exactes : sous les hypothèses de normalité de Gauss-Markov, le résidu t_i suit rigoureusement une distribution de Student théorique à (n – k – 2) degrés de liberté. Il devient alors possible de formaliser un test d’hypothèse statistique formel pour déterminer si une unité donnée constitue une valeur aberrante significative, en appliquant un seuil de Student ajusté par la correction de Bonferroni pour tenir compte de la multiplicité des tests sur l’échantillon (seuil α / n).

Dans la pratique appliquée de l’économétrie et des sciences comportementales, l’identification robuste des valeurs aberrantes via rstudent permet de cartographier avec certitude les cas d’étude qui exercent une tension intolérable sur le modèle et risquent d’altérer la validité externe des conclusions scientifiques.

8. Diagnostic graphique des résidus sous Stata

8.1 Graphiques des résidus en fonction des valeurs prédites

Si les tests numériques fournissent des synthèses chiffrées précieuses, le recours au diagnostic visuel s’avère indispensable pour déceler la géométrie complexe des anomalies d’ajustement. L’inspection conjointe des résidus et des valeurs prédites constitue la pierre angulaire de l’évaluation graphique d’un modèle linéaire.

Sous Stata, cette visualisation est immédiatement disponible après une régression via la commande spécialisée :

rvfplot, yline(0)

L’acronyme rvfplot signifie residual-versus-fitted plot. Cette commande trace sur l’axe des ordonnées les résidus ordinaires bruts (ou les résidus d’échantillon) et sur l’axe des abscisses les valeurs prédites ŷ. L’adjonction de l’option yline(0, lcolor(red) lpattern(dash)) permet de surimposer une ligne de repère horizontale à zéro, facilitant l’évaluation immédiate de la dispersion symétrique.

L’interprétation de ce graphique repose sur la détection de motifs géométriques distincts. Sous un modèle idéal satisfaisant pleinement les conditions de Gauss-Markov, le nuage de points doit former une bande horizontale homogène, rectangulaire, amorphe et sans structure discernable (aspect de « ciel étoilé » ou de bruit blanc pur), démontrant que la variance résiduelle demeure uniforme quel que soit le niveau attendu de la variable dépendante.

À l’inverse, l’apparition d’une configuration géométrique en forme d’entonnoir (ou d’éventail), où la dispersion verticale des points s’élargit ou se resserre systématiquement à mesure que les valeurs prédites augmentent le long de l’axe horizontal, constitue la signature graphique irréfutable d’une hétéroscédasticité sévère. Cette situation trahit le fait que l’incertitude du modèle n’est pas constante à travers l’espace des projections.

Par ailleurs, si les résidus dessinent une trajectoire curviligne bien définie (telle qu’une parabole en U ou en cloche inversée), le graphique révèle sans ambiguïté une mauvaise spécification fonctionnelle. Cela indique que le modèle tente d’ajuster une droite rigide sur une dynamique sous-jacente qui comporte intrinsèquement des non-linéarités géométriques, appelant l’introduction de termes polynomiaux ou une révision des transformations d’échelle.

8.2 Graphiques résiduels par variable explicative individuelle

Bien que le tracé global rvfplot alerte efficacement sur la présence d’une hétéroscédasticité ou d’une non-linéarité générale, il ne permet pas toujours d’isoler avec précision quel prédicteur singulier est à l’origine du désordre structurel. Pour diagnostiquer les composantes individuelles, Stata propose la commande rvpplot (residual-versus-predictor plot).

Cette procédure isole une variable indépendante spécifique sur l’axe des abscisses, permettant d’observer le comportement résiduel conditionnellement à ce seul facteur :

rvpplot mpg, yline(0)
rvpplot displacement, yline(0)

Cette granularité analytique permet d’identifier des poches de variances inégales localisées. Par exemple, il est fréquent qu’un modèle manifeste une variance résiduelle très stable pour de faibles valeurs d’un prédicteur, mais voie sa dispersion exploser au-delà d’un certain seuil critique de cette variable spécifique.

L’examen de ces graphiques individuels renseigne également le chercheur sur la pertinence d’adopter des transformations mathématiques locales. Si le nuage de points issu de rvpplot mpg manifeste une courbure quadratique évidente, cela fournit une justification empirique directe pour enrichir la spécification de régression avec un terme quadratique (c.mpg#c.mpg dans la syntaxe des opérateurs factoriels de Stata) ou pour recourir à une transformation logarithmique de la variable incriminée.

La comparaison systématique des tracés rvpplot entre les différents prédicteurs continus permet ainsi de conduire un audit qualitatif différencié, guidant le perfectionnement progressif de l’équation empirique vers une adéquation distributionnelle optimale.

8.3 Évaluation visuelle de la normalité des résidus

Bien que l’hypothèse de normalité des perturbations ne soit pas requise pour assurer le non-biais ou l’efficacité asymptotique des estimateurs MCO (en vertu du théorème central limite sur de grands échantillons), elle demeure impérative au sein des échantillons de taille modeste pour garantir la validité exacte des inférences paramétriques dérivées des distributions de Student et de Fisher.

Stata intègre un ensemble complet de graphiques diagnostiques dédiés à l’évaluation de la normalité résiduelle. Le premier outil de référence est le tracé quantile-quantile normal, généré au moyen de la commande qnorm :

qnorm res_raw

Ce graphique confronte les quantiles observés de la distribution résiduelle empirique aux quantiles théoriques attendus d’une loi normale de même moyenne et de même variance. Si les résidus sont rigoureusement gaussiens, l’ensemble des points s’aligne fidèlement sur la diagonale de référence à 45 degrés. Les déviations observées aux extrémités supérieure et inférieure signalent immédiatement des phénomènes de queues lourdes (leptokurticité) ou des dissymétries structurelles.

Le tracé de probabilité cumulée, implémenté par pnorm, adopte une perspective complémentaire en comparant les probabilités cumulées observées et théoriques :

pnorm res_raw

Tandis que le diagramme qnorm est particulièrement sensible aux anomalies résidant dans les queues de distribution, pnorm met en lumière les distorsions localisées au centre de la masse distributionnelle.

Enfin, pour une visualisation intuitive de la forme globale de la densité, Stata permet de superposer un lissage de densité par noyau avec la fonction théorique normale via la commande kdensity :

kdensity res_raw, normal

Cette représentation permet de visualiser instantanément si la distribution des résidus manifeste une bimodalité latente (pouvant trahir le mélange de sous-populations non identifiées), un excès d’aplatissement ou un pic excessif d’acuité centrale incompatible avec la cloche de Gauss.

9. Diagnostic de levier et identification des observations influentes

9.1 Calcul de la matrice de projection et des valeurs de levier (leverage)

Dans l’espace multidimensionnel des covariables, certaines observations peuvent occuper des positions périphériques très isolées par rapport à la masse centrale des données. Ces points atypiques dans l’espace des prédicteurs X sont qualifiés de points à fort effet de levier (high leverage points). Le levier ne préjuge pas du caractère aberrant de la réponse y, mais mesure le potentiel disproportionné qu’a une observation d’infléchir la surface de régression à son seul profit.

Comme explicité dans le cadre théorique, les valeurs de levier correspondent aux éléments diagonaux h_ii de la matrice chapeau H = X(X‘X)^-1X‘. Ces coefficients sont bornés mathématiquement sur l’intervalle [1/n, 1], et leur somme algébrique sur l’échantillon équivaut exactement au nombre total de paramètres estimés : ∑ h_ii = p = k + 1. Par conséquent, la valeur de levier moyenne s’établit mécaniquement à h̄ = p / n.

Sous Stata, le calcul et l’enregistrement des leviers individuels s’exécutent au moyen de l’option leverage ou hat de la commande post-estimation :

predict lev, hat

Dans la littérature méthodologique, les seuils d’alerte conventionnels suggèrent d’examiner attentivement toute observation dont la valeur de levier excède le double ou le triple de la moyenne de l’échantillon. Ainsi, un seuil critique couramment mobilisé s’établit à 2p / n (soit 2(k + 1) / n) ou à 3p / n pour les échantillons plus volumineux.

Pour synthétiser visuellement l’interaction complexe entre l’éloignement dans l’espace des covariables et le défaut d’ajustement empirique, Stata propose la commande graphique lvr2plot (leverage-versus-squared-residual plot) :

lvr2plot

Ce graphique juxtapose le levier sur l’axe vertical et le carré des résidus standardisés sur l’axe horizontal, segmentant l’espace graphique par des lignes de repère basées sur les moyennes théoriques. Cette cartographie permet de distinguer immédiatement quatre profils typologiques d’observations : les cas normaux sans risque, les points aberrants isolés mais sans levier, les points à fort levier bien ajustés, et enfin la catégorie la plus redoutable : les points associant un levier élevé et un résidu colossal, qui exercent une influence destructrice sur les paramètres du modèle.

9.2 Mesures globales de distance et d’influence : Distance de Cook et DFFITS

Une observation n’est véritablement problématique que lorsqu’elle modifie substantiellement les résultats de l’estimation par sa présence. Cette propriété d’influence résulte du produit combiné de son défaut d’ajustement (résidu) et de sa position géométrique marginale (levier). Pour synthétiser cette influence globale en une métrique scalaire unique, le statisticien R. Dennis Cook a introduit la célèbre distance de Cook (Cook’s D).

La distance de Cook quantifie le décalage quadratique global qu’éprouverait l’ensemble du vecteur des coefficients β̂ si l’observation i était purement et simplement retirée de la base de données. Sa formule s’exprime selon :

D_i = [r_i² / (k + 1)] × [h_ii / (1 – h_ii)]

Elle couple ainsi explicitement le carré du résidu standardisé interne et une fonction non linéaire monotone du levier.

L’extraction de cette métrique s’effectue sous Stata via l’option cooksd :

predict cook_dist, cooksd

Concernant les seuils d’arbitrage, la règle classique historique préconise une valeur de coupure absolue de 1 (D_i > 1), issue de la comparaison avec la médiane d’une distribution de Fisher. Cependant, dans la pratique économétrique contemporaine et au sein d’échantillons de dimension intermédiaire, les chercheurs privilégient des seuils ajustés à la taille d’échantillon, notamment la règle heuristique 4 / n ou 4 / (n – k – 1). Toute unité dépassant ce seuil dynamique mérite une inspection qualitative circonstanciée.

Une métrique alternative très répandue est l’indice DFFITS (Difference in Fits), qui mesure l’ampleur de la modification que subirait la propre valeur prédite de l’observation i si celle-ci était exclue lors de l’estimation des coefficients. Stata calcule cet indice au moyen de l’option dfits :

predict fit_diff, dfits

L’indice DFFITS intègre directement le résidu studentisé externe t_i selon la formule t_i × [h_ii / (1 – h_ii)]^1/2. Le seuil de détection standard pour cet indicateur s’établit conventionnellement à 2 × [(k + 1) / n]^1/2.

Face à des points identifiés comme excessivement influents par la distance de Cook ou le DFFITS, la démarche méthodologique rigoureuse répudie toute élimination aveugle et opportuniste. Il appartient au chercheur de vérifier d’abord l’absence d’erreurs d’encodage matérielles, puis de documenter la sensibilité du modèle en publiant des analyses de robustesse avec et sans les cas contestés, voire d’envisager des méthodes d’estimation robustes (telles que la régression quantile ou les M-estimateurs) pour atténuer l’impact des artefacts extrêmes.

9.3 Analyse d’influence sur les paramètres individuels : DFBETA

Si la distance de Cook offre un diagnostic d’influence global synthétique sur l’ensemble du système d’équations, elle présente l’inconvénient d’opérer une agrégation qui peut masquer des impacts vectoriels directionnels. Une observation peut très bien exercer une influence globale modérée tout en déstabilisant dramatiquement le coefficient d’une variable explicative unique d’intérêt théorique majeur.

Pour disséquer l’impact cas par cas sur chaque coefficient individuel, la méthodologie recourt aux statistiques DFBETA. Pour une observation i et un prédicteur j, le DFBETA quantifie la variation standardisée qu’enregistre le coefficient β̂_j suite à l’omission de cette seule observation :

DFBETA_ij = (β̂_j – β̂_j(i)) / SE(β̂_j(i))

où β̂_j(i) désigne le coefficient réestimé en l’absence de l’unité i, normalisé par l’erreur type correspondante.

Dans Stata, la génération de ces indicateurs ne s’opère pas via la commande générique predict, mais à travers une commande dédiée de post-estimation :

dfbeta

L’exécution de cette seule commande sans argument déclenche la création automatique d’une série de nouvelles variables dans le classeur actif. Stata applique une convention de nomenclature systématique préfixant les noms par _dfbeta_ suivi de numéros d’ordre ou de fragments du nom des prédicteurs (par exemple _dfbeta_1 pour la première variable du modèle, ou des désignations abrégées directes).

Le seuil d’alerte théorique établi par Belsley, Kuh et Welsch (1980) pour isoler un point d’influence critique sur un paramètre individuel est défini par :

|DFBETA_ij| > 2 / n^1/2

Pour un échantillon de 74 observations tel que notre base automobile, ce seuil s’établit à environ 2 / (74)^1/2 ≈ 0,23. Toute observation générant une valeur absolue supérieure à ce seuil modifie sensiblement le coefficient ciblé, introduisant un risque substantiel de faux positifs ou de fausses conclusions sur la significativité marginale dudit facteur.

Dans le domaine des sciences comportementales, l’audit par DFBETA s’avère particulièrement fécond pour fiabiliser les échelles psychométriques et les protocoles expérimentaux. Il permet de repérer si l’effet mesuré d’une intervention thérapeutique ou d’un trait de personnalité ne repose pas entièrement sur les réponses extrêmes d’un ou deux individus atypiques au sein de la cohorte expérimentale.

10. Prédictions hors échantillon et simulations contrefactuelles

10.1 Application des prédictions à de nouvelles observations

L’un des avantages fondamentaux de la modélisation statistique réside dans sa capacité de généralisation prédictive au-delà du corpus d’observations ayant servi à l’estimation. Stata excelle dans l’application de prédictions dites « hors échantillon » (out-of-sample predictions).

Le principe computationnel est le suivant : la commande predict n’est pas restreinte aux seules lignes de données ayant participé au calcul de l’estimateur MCO sous regress. Elle s’applique rigoureusement à toute observation présente dans le jeu de données pour laquelle l’ensemble des régresseurs incorporés dans l’équation active possède des valeurs numériques valides, même si la variable dépendante d’origine y est totalement inconnue ou manquante.

Cette fonctionnalité permet d’exécuter des stratégies d’évaluation par scission d’échantillon (cross-validation train/test split). L’analyste peut estimer le modèle sur un sous-échantillon d’apprentissage restreint, puis projeter immédiatement les valeurs prédites sur l’échantillon de test réservé :

regress price mpg displacement if foreign == 0
predict yhat_test if foreign == 1

Dans cet exemple, les paramètres du modèle sont exclusivement calibrés sur les automobiles de fabrication domestique (foreign = 0), tandis que les projections linéaires sont opérées sur les véhicules étrangers (foreign = 1), permettant d’évaluer la portabilité externe du modèle sans biais d’endogénéité d’ajustement.

De plus, il est aisé d’ajouter manuellement de nouveaux profils d’observations contrefactuelles à la fin de la base de données. En utilisant des commandes simples d’extension de données :

set obs `=_N + 1'
replace mpg = 30 in L
replace displacement = 150 in L
predict yhat_simulation in L

l’analyste peut simuler le tarif théorique attendu pour un prototype automobile hypothétique affichant 30 miles par gallon et 150 pouces cubes de cylindrée. Stata calculera instantanément la combinaison linéaire appropriée sur cette dernière ligne (in L) en mobilisant le vecteur de paramètres e(b) stocké en mémoire.

10.2 Calcul des effets marginaux et prédictions ajustées avec margins

Bien que predict demeure l’outil roi pour enrichir directement la table de données avec des vecteurs d’estimations individualisées, la commande margins s’impose dans la pratique académique contemporaine comme l’instrument par excellence de communication et de simulation des résultats.

La commande margins opère une agrégation statistique en calculant des moyennes prédictives marginales (predictive margins) ou des effets marginaux moyens. Contrairement à predict qui produit une colonne d’estimations observation par observation, margins calcule des espérances globales conditionnelles accompagnées de leurs erreurs types formelles dérivées par la méthode delta, facilitant la comparaison rigoureuse de scénarios contrefactuels.

L’utilisation de l’option at() permet d’évaluer la surface de réponse du modèle à des points cardinaux précisément fixés par le chercheur. Par exemple, pour observer comment évolue la prédiction de prix lorsque la cylindrée varie de 100 à 300 par incréments de 50 unités, tout en maintenant les autres facteurs à leur moyenne empirique ou selon la distribution naturelle, on exécutera :

margins, at(displacement=(100(50)300))

L’immense valeur ajoutée de la routine margins réside dans son intégration symbiotique immédiate avec l’outil de restitution graphique marginsplot :

marginsplot

Cette simple instruction post-estimation produit un graphique de publication de haute qualité typographique, illustrant la trajectoire de l’effet marginal conditionnel accompagnée de ses bandes d’intervalles de confiance à 95 %. Pour la diffusion des résultats dans des revues à fort impact, la combinaison de margins et de marginsplot surpasse largement l’exploitation brute de predict, offrant aux lecteurs une synthèse visuelle limpide et rigoureusement paramétrée des dynamiques de causalité postulées par le modèle.

11. Extension aux modèles linéaires généralisés et structures complexes

11.1 Prédictions et résidus dans les régressions logistiques et probit

La modélisation empirique s’émancipe fréquemment du cadre linéaire gaussien pour aborder des variables dépendantes dichotomiques, catégorielles ou de dénombrement via les modèles linéaires généralisés (GLM). Lorsque la variable de réponse est binaire (0 ou 1), le recours aux modèles logit (logit, logistic) ou probit (probit) devient impératif.

Dans ce contexte non linéaire, la commande predict adapte substantiellement sa logique computationnelle. Par défaut, après une estimation logistique, l’exécution de :

predict p_hat, pr

génère la probabilité prédite que la variable dépendante prenne la valeur 1 conditionnellement aux prédicteurs, en appliquant la fonction de lien logistique inverse : P(y = 1|x) = 1 / [1 + exp(-xβ̂)]. La variable générée est ainsi rigoureusement contrainte dans l’intervalle ouvert ]0, 1[.

Si le chercheur souhaite extraire l’indice latent linéaire avant sa transformation sigmoïde (le score logit non borné), il doit spécifier explicitement l’option xb :

predict index_xb, xb

La définition des résidus s’avère nettement plus complexe en modélisation binaire. Le résidu brut e_i = y_i – p̂_i ne pouvant prendre que deux valeurs pour chaque individu, il s’avère peu adapté à l’évaluation diagnostique continue. On recourt alors principalement aux résidus de Pearson et aux résidus de déviance :

predict res_pearson, pearson
predict res_deviance, deviance

Le résidu de Pearson divise l’écart brut par l’écart-type binomial conditionnel [p̂_i(1 – p̂_i)]^1/2, normalisant l’erreur par rapport à la variance inhérente au processus bernoullien. Le résidu de déviance mesure quant à lui la contribution individuelle d’une observation à la fonction de log-vraisemblance globale du modèle. Ces grandeurs permettent de déceler les échecs de classification majeurs et de calibrer la capacité discriminante des modèles prédictifs comportementaux.

11.2 Résidus et valeurs ajustées dans les modèles multiniveaux

L’analyse de données hiérarchiques ou imbriquées (par exemple, des élèves nichés dans des classes, ou des mesures répétées longitudinales imbriquées au sein d’individus) exige la mobilisation de modèles multiniveaux ou à effets mixtes via la commande mixed (anciennement xtmixed).

Dans cette architecture hiérarchique, la décomposition de la composante inexpliquée se ramifie entre plusieurs niveaux d’agrégation. Il devient capital de distinguer les prédictions marginales basées uniquement sur les effets fixes de la population globale (fixed portion) et les prédictions conditionnelles intégrant les réalisations spécifiques des effets aléatoires propres à chaque grappe :

mixed mathscore grade homework || school:
predict score_marginal, xb
predict score_conditional, fitted

L’option xb calcule l’espérance marginale moyenne pour l’ensemble du système scolaire, tandis que l’option fitted intègre le décalage aléatoire spécifique associé à l’établissement scolaire auquel appartient l’élève.

De façon corollaire, le diagnostic des résidus se scinde en deux strates opérationnelles. Le résidu de niveau 1 (résidu individuel résiduel au sein de l’école) s’obtient au moyen de l’option residuals :

predict res_level1, residuals

Parallèlement, l’extraction des composantes d’effets aléatoires propres aux grappes de niveau supérieur (ici, l’effet spécifique non mesuré de chaque école) s’opère via l’option reffects :

predict u_school*, reffects

Cette granularité analytique est d’une portée méthodologique immense en psychologie des organisations et en sociologie quantitative : elle permet de dissocier les biais ou déviations comportementales imputables à l’environnement groupal ou contextuel de ceux qui procèdent de la variance idiosyncrasique purement individuelle.

12. Bonnes pratiques, reproductibilité et export des résultats

12.1 Automatisation du flux de travail via les scripts Stata

L’intégrité d’une démarche d’analyse quantitative repose sur l’éradication systématique des opérations manuelles non tracées. L’automatisation intégrale du cycle d’estimation et de post-estimation au sein d’un fichier script do-file constitue le garant absolu de la reproductibilité scientifique des conclusions.

Une structure de script optimale s’ouvre systématiquement par la configuration d’un journal d’exécution transparent au moyen de l’instruction log using. L’enregistrement des opérations dans un fichier log horodaté garantit que l’ensemble des sorties numériques de predict et des tableaux d’estimation est archivé pour audit ultérieur :

capture log close
log using "rapport_postestimation.log", replace text

Lors de la phase de calcul des diagnostics, la génération effrénée de dizaines de variables dérivées (leviers, distances de Cook, résidus standardisés) risque de saturer et d’encombrer inutilement le jeu de données d’origine. Pour préserver la pureté de la structure de données, les programmeurs chevronnés mobilisent des variables temporaires déclarées via la syntaxe tempvar. Ces variables temporaires sont exploitées pour vérifier les conditions de validité au cours de l’exécution du script, puis sont automatiquement purgées de la mémoire dès l’achèvement du do-file :

tempvar tmp_res tmp_lev
predict `tmp_res', rstudent
predict `tmp_lev', hat
count if abs(`tmp_res') > 3 & `tmp_lev' > (2 * e(rank) / e(N))

De plus, l’encadrement des procédures exploratoires lourdes par le binôme d’instructions preserve et restore permet d’isoler des manipulations destructrices provisoires (comme l’application de filtres radicaux ou l’agrégation temporaire) tout en garantissant un retour parfait à l’état initial des données sans altération de l’intégrité du classeur maître.

12.2 Exportation académique des prédictions, résidus et graphiques

L’ultime maillon de la chaîne de travail réside dans la restitution professionnelle des indicateurs générés vers des supports compatibles avec les exigences éditoriales des revues scientifiques internationales.

Pour exporter les variables calculées (prédictions, résidus, intervalles) vers des environnements d’archivage ou d’autres plateformes analytiques, la commande export delimited offre une passerelle standardisée universelle :

export delimited price yhat res_stud cook_dist using "donnees_diagnostiquees.csv", replace

Concernant la production iconographique, la fidélité des tracés diagnostiques ne doit jamais être compromise par des captures d’écran approximatives. Stata dispose de la puissante commande vectorielle graph export, permettant d’enregistrer les représentations graphiques dans des formats de résolution optimale tels que le PDF vectoriel, l’Encapsulated PostScript (EPS) ou le format TIFF haute définition calibré à 600 DPI :

rvfplot, yline(0)
graph export "figure1_rvfplot.pdf", as(pdf) replace
graph export "figure1_rvfplot.eps", as(eps) preview(on) replace

Enfin, la synthèse tabulaire des diagnostics de normalité et d’influence peut être automatisée à l’aide de paquets spécialisés de la communauté Stata tels que outreg2, esttab ou les fonctionnalités natives collect et etable introduites dans les versions récentes de Stata. Ces commandes convertissent instantanément les scalaires matriciels d’estimation en tableaux formatés au format Word, LaTeX ou Excel conformes aux strictes normes typographiques des manuels de publication de l’American Psychological Association (APA).

En observant scrupuleusement ces standards de rigueur méthodologique, de documentation systématique et de transparence computationnelle, le chercheur s’assure que ses modèles de régression sous Stata ne constituent pas de simples exercices de courbe d’ajustement, mais des instruments d’inférence scientifique robustes, vérifiables et pérennes.

Références

Belsley, D. A., Kuh, E., & Welsch, R. E. (1980). Regression diagnostics: Identifying influential data and sources of collinearity. John Wiley & Sons. https://doi.org/10.1002/0471725153

Cameron, A. C., & Trivedi, P. K. (2010). Microeconometrics using Stata (Rev. ed.). Stata Press.

Cook, R. D. (1977). Detection of influential observation in linear regression. Technometrics, 19(1), 15-18. https://doi.org/10.1080/00401706.1977.10489493

Cook, R. D., & Weisberg, S. (1982). Residuals and influence in regression. Chapman and Hall.

Fox, J. (2016). Applied regression analysis and generalized linear models (3rd ed.). SAGE Publications.

Greene, W. H. (2018). Econometric analysis (8th ed.). Pearson.

StataCorp. (2023). Stata base reference manual: Release 18. Stata Press. https://www.stata.com/manuals/r.pdf

Wooldridge, J. M. (2020). Introductory econometrics: A modern approach (7th ed.). Cengage Learning.