Comment effectuer un test U de Mann-Whitney dans Stata

Dans le domaine de l’analyse quantitative appliquée aux sciences humaines, sociales, biomédicales et comportementales, le choix d’un test statistique approprié constitue une étape déterminante pour garantir la validité interne et externe des conclusions scientifiques. Lorsque les chercheurs souhaitent comparer deux groupes indépendants sur une variable continue ou ordinale, le réflexe méthodologique standard consiste fréquemment à mobiliser le test t de Student pour échantillons indépendants. Toutefois, ce test paramétrique classique repose sur des hypothèses sous-jacentes contraignantes, notamment la normalité distributionnelle de la variable dépendante au sein de chaque population parente et l’homogénéité des variances. Dans la pratique empirique réelle, ces postulats sont très régulièrement enfreints : données fortement asymétriques, distributions bimodales, présence d’observations aberrantes ou extrêmes, échelles de mesure de type Likert en psychométrie ou échantillons de taille réduite interdisant l’invocation mécanique du théorème central limite.

Face à ces limitations distributionnelles, les méthodes non paramétriques dites à distribution libre offrent une alternative robuste, élégante et mathématiquement rigoureuse. Parmi celles-ci, le test U de Mann-Whitney — conceptuellement et mathématiquement équivalent au test de la somme des rangs de Wilcoxon — occupe une place prépondérante. En substituant l’analyse des rangs relatifs à celle des valeurs brutes, cette procédure statistique s’affranchit de l’hypothèse de normalité tout en préservant une puissance statistique remarquable, particulièrement dans les contextes où les estimateurs gaussiens traditionnels perdent toute efficacité. Cependant, l’exécution correcte de ce test ne se résume pas à l’obtention mécanique d’une valeur de p ; elle exige une compréhension approfondie de ses fondements mathématiques, de la nature exacte des hypothèses testées, de ses conditions d’application et de l’interprétation fine de la taille d’effet associée.

Le logiciel d’analyse statistique Stata constitue l’un des environnements computationnels les plus réputés et les plus utilisés par la communauté académique internationale pour la modélisation économétrique et biostatistique. Ce guide complet a pour vocation d’accompagner pas à pas les chercheurs, doctorants, statisticiens et analystes de données dans la maîtrise absolue du test U de Mann-Whitney sous Stata. À travers une démarche pédagogique intégrée, nous explorerons les fondements théoriques de l’assignation des rangs, les procédures de diagnostic exploratoire, l’exécution syntaxique détaillée via la commande native dédiée, l’analyse minutieuse des sorties statistiques, le calcul manuel et automatisé des tailles d’effet, ainsi que la restitution formelle des résultats conformément aux normes de rédaction scientifique de l’American Psychological Association (APA, 7e édition).

1. Introduction aux tests non paramétriques et au test U de Mann-Whitney

1.1 Définition et contexte d’utilisation du test

Le test U de Mann-Whitney constitue la procédure non paramétrique par excellence destinée à comparer deux groupes indépendants et mutuellement exclusifs sur une variable quantitative continue ou ordinale. Conçu initialement par Frank Wilcoxon en 1945 sous la forme du test de somme des rangs pour des échantillons de tailles égales, puis généralisé et perfectionné par Henry Mann et Donald Whitney en 1947 pour traiter des échantillons de tailles inégales et formaliser la statistique U, ce test statistique repose sur un principe d’ordonnancement global des données. Plutôt que de manipuler directement les grandeurs métriques observées, l’algorithme classe l’ensemble des observations combinées par ordre croissant et leur assigne un rang numérique allant de 1 à l’effectif total cumulé.

Sur le plan conceptuel, le test U de Mann-Whitney et le test de la somme des rangs de Wilcoxon (Wilcoxon rank-sum test) représentent exactement la même entité mathématique sous deux formulations algébriques linéaires équivalentes. Dans la littérature internationale, les termes sont employés de façon interchangeable, et les logiciels statistiques modernes calculent la statistique standardisée Z à partir de l’une ou l’autre de ces formulations sans aucune divergence de résultat.

Dans le champ de la recherche en psychologie, en psychiatrie clinique, en sciences du comportement et en épidémiologie, ce test s’avère indispensable. Les variables mesurées dans ces disciplines — telles que les scores de dépression sur l’inventaire de Beck, les temps de réaction cognitive, les échelles d’anxiété ou le niveau d’adhésion thérapeutique — présentent très fréquemment des asymétries positives marquées (effet de plancher) ou des asymétries négatives (effet de plafond). L’application d’un test paramétrique sur de telles données introduit un biais substantiel dans l’estimation de l’erreur-type et conduit à des taux d’erreur de première espèce (alpha) incontrôlés. Le test de Mann-Whitney apporte une réponse méthodologique optimale en évaluant si la probabilité qu’une observation issue de la population A soit supérieure à une observation issue de la population B excède le seuil du simple hasard (0,5).

1.2 Comparaison entre approches paramétriques et non paramétriques

La distinction épistémologique et technique entre les approches paramétriques et non paramétriques réside principalement dans les postulats relatifs à la forme fonctionnelle de la distribution sous-jacente des populations sources. Le test t de Student évalue l’égalité des moyennes arithmétiques sous l’hypothèse stricte que les résidus suivent une loi normale et que la variance est homogène entre les groupes. La moyenne arithmétique constitue un estimateur de tendance centrale extrêmement sensible aux valeurs aberrantes (outliers) : une seule observation extrême peut déplacer artificiellement la moyenne d’un groupe et dilater considérablement la variance empirique, réduisant ainsi drastiquement la puissance statistique du test t.

À l’inverse, l’approche non paramétrique adoptée par Mann et Whitney transforme les données brutes en rangs ordinaux. Cette transformation agit comme un mécanisme de robustification naturel. Une valeur extrême, qu’elle se situe à trois ou à cinquante écarts-types de la médiane, recevra simplement le rang le plus élevé de la série ordonnée. Dès lors, son influence sur la statistique de test demeure strictement bornée à son ordre de grandeur relatif, neutralisant ainsi le risque de distorsion induit par les artefacts de mesure.

En matière d’efficacité statistique asymptotique, le test de Mann-Whitney affiche des propriétés théoriques remarquables. Comparé au test t de Student lorsque les postulats gaussiens sont parfaitement respectés, son efficacité relative asymptotique (ARE, Asymptotic Relative Efficiency) est d’environ 95,5 %, ce qui signifie qu’il ne nécessite qu’un surcroît marginal d’observations pour atteindre une puissance équivalente à celle du test optimal. En revanche, dès lors que la distribution réelle s’écarte de la normalité — par exemple en présence d’une loi log-normale, d’une loi exponentielle ou d’une distribution à queues lourdes de type Cauchy —, l’efficacité relative du test U de Mann-Whitney surpasse très largement celle du test t, pouvant atteindre des valeurs théoriques infinies face à des perturbations extrêmes. Pour les faibles échantillons (n < 30 par cellule), où les tests d’adéquation de la normalité manquent cruellement de puissance pour détecter des écarts modérés mais préjudiciables, l’usage raisonné du test de Mann-Whitney s’impose comme une stratégie de précaution scientifique élémentaire.

1.3 Objectifs pédagogiques du guide sous Stata

L’objectif premier de ce manuel exhaustif est de doter le lecteur d’une autonomie technique et méthodologique totale dans la mise en œuvre du test U de Mann-Whitney au sein de l’écosystème logiciel Stata. Ce didacticiel ne se limite pas à une simple énumération de commandes informatiques ; il articule étroitement la théorie statistique sous-jacente et les impératifs pratiques de la recherche empirique contemporaine.

Au fil des sections, le lecteur apprendra à :

• Structurer, nettoyer et vérifier l’intégrité de ses données avant toute manipulation inférentielle.
• Mettre en œuvre les diagnostics visuels et formels permettant de statuer sur la violation de l’hypothèse de normalité et d’examiner l’hypothèse de similarité distributionnelle.
• Maîtriser la syntaxe formelle de la commande native ranksum ainsi que ses options avancées de filtrage conditionnel et de stratification.
• Comprendre la totalité des métriques numériques générées dans le tableau de sortie Stata (sommes des rangs observées, sommes attendues sous l’hypothèse nulle, ajustement de la variance pour ex æquo, score Z et probabilité critique associée).
• Calculer et interpréter avec rigueur les indices de taille d’effet standardisés, notamment le coefficient r de Rosenthal et la probabilité de supériorité (Common Language Effect Size).
• Rédiger les conclusions empiriques selon les standards académiques internationaux les plus stricts, incluant les normes bibliographiques et typographiques de l’APA 7e édition.

2. Fondements théoriques et mathématiques du test

2.1 Principe d’assignation des rangs

Pour appréhender la mécanique computationnelle du test de Mann-Whitney-Wilcoxon, considérons deux échantillons indépendants issus respectivement de deux populations distinctes. Soit un premier groupe noté Groupe 1 comprenant n₁ observations individuelles :

X₁, X₂, …, X_n1

et un second groupe noté Groupe 2 comprenant n₂ observations individuelles :

Y₁, Y₂, …, Y_n2

L’effectif total combiné est noté N = n₁ + n₂. La première étape du calcul consiste à rassembler la totalité des N observations au sein d’un vecteur unique, en conservant pour chaque valeur l’identifiant de son groupe d’appartenance d’origine. Les N valeurs sont ensuite ordonnées par ordre strictement croissant, de la plus petite à la plus grande.

Un rang numérique entier compris entre 1 et N est assigné à chaque observation ordonnée. En l’absence de valeurs identiques (ex æquo), l’observation la plus basse reçoit le rang 1, la suivante le rang 2, et ainsi de suite jusqu’à la plus grande observation qui reçoit le rang N. En présence de valeurs identiques partagées par plusieurs observations, on applique la méthode du rang moyen (mid-rank) : chacune des observations ex æquo reçoit la moyenne arithmétique des rangs qu’elles auraient occupés si elles avaient été distinctes.

Une fois les rangs attribués, l’algorithme procède à la sommation séparée des rangs affectés à chacun des deux groupes. Notons W₁ la somme des rangs des observations appartenant au Groupe 1, et W₂ la somme des rangs des observations appartenant au Groupe 2. Par définition mathématique, la somme totale des rangs de 1 à N correspond à la formule de sommation des entiers consécutifs :

W₁ + W₂ = N(N + 1) / 2

La statistique U de Mann-Whitney quantifie directement le nombre de fois où une observation du premier groupe surpasse une observation du second groupe lors de toutes les comparaisons par paires possibles. Elle se déduit directement des sommes de rangs W₁ et W₂ par les relations linéaires suivantes :

U₁ = W₁ – [n₁(n₁ + 1) / 2]

U₂ = W₂ – [n₂(n₂ + 1) / 2]

Ces deux quantités satisfont impérativement la relation de complémentarité :

U₁ + U₂ = n₁ * n₂

La statistique finale du test U est généralement définie comme le minimum entre U₁ et U₂ lors d’un test bilatéral : U = min(U₁, U₂).

2.2 Hypothèses statistiques nulle et alternative

La formulation théorique des hypothèses statistiques du test de Mann-Whitney fait l’objet de confusions récurrentes dans la littérature empirique. Dans son acception la plus générale et sans hypothèse restrictive sur la géométrie des courbes, l’hypothèse nulle (H₀) stipule que les distributions des deux populations sont stochastiquement égales. En termes probabilistes formels, si l’on extrait aléatoirement une observation X du Groupe 1 et une observation Y du Groupe 2, la probabilité que X soit strictement supérieure à Y est rigoureusement égale à la probabilité que Y soit strictement supérieure à X :

H₀ : P(X > Y) = P(Y > X) = 0,5

L’hypothèse alternative bilatérale (H₁) énonce une dominance stochastique de l’une des deux distributions sur l’autre :

H₁ : P(X > Y) ≠ 0,5

Dans le cas d’un test unilatéral orienté, l’hypothèse alternative postulera soit que P(X > Y) > 0,5, soit que P(X > Y) < 0,5.

Il convient de souligner une distinction méthodologique fondamentale : le test de Mann-Whitney n’est pas intrinsèquement un test de comparaison des médianes. Pour que le rejet de l’hypothèse nulle puisse être interprété formellement comme une différence statistiquement significative entre les médianes des deux populations, une condition supplémentaire incontournable doit être satisfaite : les distributions des deux groupes doivent posséder exactement la même forme géométrique, la même dispersion et la même asymétrie, ne différant potentiellement que par une translation horizontale sur l’axe des abscisses (hypothèse dite du location-shift). Si les distributions présentent des formes ou des variances hétérogènes, le test conserve toute sa validité mathématique, mais il teste alors exclusivement la dominance stochastique globale des rangs et non un simple décalage de la médiane.

2.3 Approximation asymptotique et distribution exacte

Lorsque les effectifs n₁ et n₂ sont très faibles (typiquement inférieurs à 10 ou 15 observations par groupe), la distribution d’échantillonnage de la statistique U sous l’hypothèse nulle peut être dérivée de manière combinatoire exacte en énumérant toutes les permutations possibles des rangs. Cette distribution exacte permet de calculer une valeur de p exacte exempte de toute approximation théorique.

Cependant, à mesure que la taille des échantillons augmente, le nombre de combinaisons possibles croît de manière exponentielle, rendant le calcul combinatoire exhaustif extrêmement coûteux en temps de calcul. En vertu du théorème central limite appliqué aux statistiques de rangs linéaires, la distribution de la somme des rangs W₁ (ou de la statistique U₁) converge très rapidement vers une loi normale continue lorsque les effectifs dépassent une dizaine d’unités par groupe.

Sous l’hypothèse nulle H₀, l’espérance mathématique théorique (moyenne attendue) de la somme des rangs du Groupe 1 est donnée par l’expression :

E(W₁) = μ_W1 = [n₁(N + 1)] / 2

En l’absence totale d’ex æquo dans les données, la variance théorique de cette somme de rangs s’exprime selon l’équation :

Var(W₁) = σ²_W1 = [n₁ * n₂ * (N + 1)] / 12

La statistique de test standardisée Z (ou score Z) est alors obtenue en centrant et réduisant la statistique observée :

Z = (W₁ – E(W₁)) / sqrt(Var(W₁))

En présence d’observations ex æquo (ties), la dispersion des rangs attribués se trouve mécaniquement comprimée, ce qui entraîne une réduction de la variance de la somme des rangs. Pour préserver la validité de l’inférence asymptotique et éviter une sous-estimation du score Z (qui gonflerait artificiellement le risque de deuxième espèce bêta), une formule de correction de la variance par groupe de liens est introduite. Soit g le nombre total de groupes d’ex æquo distincts, et t_i le nombre d’observations à égalité au sein du i-ème groupe d’ex æquo. La variance corrigée s’établit selon la formule :

Var_corrigée(W₁) = [n₁ * n₂ / 12] * [ (N + 1) – ( (Σ (t_i³ – t_i)) / (N * (N – 1)) ) ]

Le logiciel Stata applique automatiquement cette correction rigoureuse dès lors qu’il détecte des valeurs identiques dans l’échantillon, garantissant ainsi une précision asymptotique optimale.

3. Conditions d’application et postulats méthodologiques

3.1 Nature et échelle des variables

La validité méthodologique du test U de Mann-Whitney repose sur le respect scrupuleux d’un ensemble de postulats d’échantillonnage et de mesure. La méconnaissance de ces prérequis expose l’analyste à des erreurs d’interprétation majeures ou à des conclusions scientifiques fallacieuses.

Le premier postulat concerne la nature de la variable indépendante (variable de regroupement ou prédicteur catégoriel). Celle-ci doit obligatoirement être une variable catégorielle binaire comportant exactement deux modalités mutuellement exclusives et exhaustives (par exemple : Groupe Traitement versus Groupe Témoin, Hommes versus Femmes, Patients Rémis versus Patients Non-Rémis). Si l’investigateur souhaite comparer trois groupes ou plus, le test de Mann-Whitney ne peut être appliqué directement sans correction pour comparaisons multiples ; il convient alors de mobiliser son extension directe pour k groupes, à savoir le test de Kruskal-Wallis (exécuté sous Stata via la commande kwallis).

Le second postulat concerne l’échelle de mesure de la variable dépendante (variable résultat ou critère). Celle-ci doit être mesurée sur une échelle continue (à intervalles ou de rapports, telles que le taux de cholestérol sanguin, le salaire annuel ou le temps d’exécution d’une tâche) ou sur une échelle ordinale rigoureuse présentant un nombre suffisant d’échelons ordonnés hiérarchiquement (par exemple, des scores composites d’échelles de Likert à 5 ou 7 points validées psychométriquement). La variable doit impérativement posséder une relation d’ordre transitive : pour deux observations quelconques a et b, il doit être possible de statuer si a > b, a < b ou a = b.

Le troisième postulat fondamental est celui de l’indépendance stricte des observations. Chaque sujet statistique ne doit être mesuré qu’une seule fois, appartenir à un seul groupe, et son résultat ne doit en aucun cas être influencé par celui des autres participants. Si les données présentent une structure appariée (mesures répétées avant/après traitement sur les mêmes individus, ou appariement par paires de cas-témoins), le test U de Mann-Whitney est formellement prohibé. Dans cette configuration longitudinale ou appariée, l’analyste doit impérativement recourir au test des rangs signés de Wilcoxon pour échantillons dépendants (exécuté sous Stata via la commande signrank).

3.2 L’hypothèse de forme identique des distributions

L’une des subtilités les plus critiques et les plus fréquemment négligées dans l’application du test de Mann-Whitney réside dans la formulation précise de la conclusion inférentielle en fonction de la géométrie distributionnelle des sous-échantillons. Comme explicité précédemment, le test évalue au sens strict l’égalité de la distribution stochastique globale entre les deux groupes.

Deux situations distinctes se présentent à l’analyste :

• Cas 1 : Les deux distributions ont des formes et des dispersions comparables. Si l’inspection graphique (via des histogrammes, des densités de noyau ou des boîtes à moustaches) révèle que la distribution du Groupe 1 et celle du Groupe 2 possèdent la même forme générale — par exemple, une asymétrie positive d’amplitude similaire avec un étalement des données comparable —, le test de Mann-Whitney devient un test rigoureux de comparaison des médianes. Tout rejet de l’hypothèse nulle autorise légitimement le chercheur à affirmer qu’il existe une différence statistiquement significative entre la médiane du Groupe 1 et la médiane du Groupe 2.
• Cas 2 : Les deux distributions présentent des formes ou des variances hétérogènes. Si l’un des groupes présente une distribution symétrique et aplatie tandis que l’autre présente une distribution fortement étirée vers la droite avec une variance deux fois plus grande, l’hypothèse de translation pure (location shift) est invalidée. Dans ce cas de figure, un résultat statistiquement significatif ne permet absolument pas de conclure à une différence de médianes. Deux groupes peuvent avoir exactement la même médiane numérique tout en produisant un résultat hautement significatif au test de Mann-Whitney en raison de l’inégalité de la somme des rangs provoquée par la dissymétrie des dispersions. L’analyste doit alors interpréter le résultat strictement en termes de dominance stochastique ou de décalage global des rangs.

L’évaluation empirique de la forme des distributions constitue donc un prérequis interprétatif absolu qui doit obligatoirement précéder l’exécution et la communication du test sous Stata.

4. Préparation de l’environnement de travail et importation des données dans Stata

4.1 Chargement et structure du jeu de données

La première phase opérationnelle consiste à initialiser la session d’analyse dans Stata, à configurer le répertoire de travail et à importer le fichier de données brutes. Les données peuvent provenir de formats hétérogènes tels que des fichiers natifs Stata (.dta), des fichiers texte délimités (.csv, .txt) ou des classeurs Microsoft Excel (.xlsx).

Pour définir le répertoire de travail au sein duquel résident vos fichiers, utilisez la commande cd (change directory) dans la fenêtre de commande Stata ou au début de votre script (do-file) :

cd « C:/Recherche/Projet_MannWhitney »

Si vos données sont déjà au format propriétaire Stata, le chargement s’effectue via la commande use en ajoutant l’option clear pour réinitialiser la mémoire vive du logiciel :

use « donnees_psychometrie.dta », clear

Pour un fichier délimité au format CSV ou une feuille de calcul Excel, les commandes respectives sont :

import delimited « donnees_psychometrie.csv », clear

import excel « donnees_psychometrie.xlsx », sheet(« Feuille1 ») firstrow clear

Une fois le jeu de données chargé en mémoire, il est indispensable de vérifier la structure interne des variables. L’affichage de la structure générale s’obtient au moyen de la commande describe :

describe

Cette commande fournit la liste exhaustive des variables, leur type de stockage machine (byte, int, long, float, double ou string) ainsi que leur format d’affichage. Il est impératif de s’assurer que la variable dépendante continue ou ordinale et la variable de regroupement sont toutes deux stockées sous un format numérique (numeric). Si votre variable de groupe a été importée sous forme de chaîne de caractères textuelle (par exemple « Controle » et « Traitement »), Stata refusera d’exécuter certaines routines inférentielles sans conversion préalable.

Pour une inspection détaillée du contenu des variables, de la fréquence des valeurs distinctes et du décompte des données manquantes, la commande codebook constitue l’outil diagnostique de référence :

codebook score_anxiete groupe_traitement

4.2 Recodage et étiquetage des variables de groupe

Dans l’hypothèse où votre variable de regroupement serait encodée sous forme textuelle (type chaîne de caractères ou string), il convient de la convertir en une variable numérique labellisée à l’aide de la commande encode :

encode groupe_texte, generate(groupe)

Si la variable est déjà numérique mais utilise des codes arbitraires (par exemple 10 et 20), ou si elle est dépourvue d’étiquettes explicites, il est vivement recommandé d’attribuer un étiquetage sémantique clair pour éviter toute ambiguïté lors de l’interprétation des sorties statistiques. Cela s’opère via les commandes combinées label define et label values :

label define lbl_groupe 0 « Groupe Témoin » 1 « Groupe Traité »

label values groupe lbl_groupe

La gestion des valeurs manquantes (système missing values représenté par un point « . » dans Stata) exige une vigilance particulière. Par défaut, Stata traite les points de données manquants comme des valeurs positives infiniment grandes dans les évaluations logiques. Lors de l’application de filtres conditionnels avec la clause if, l’omission d’une exclusion explicite des valeurs manquantes peut fausser dramatiquement vos analyses.

Pour vérifier la fréquence exacte des observations valides et manquantes au sein de chaque sous-groupe, exécutez un tableau croisé à deux variables avec l’option missing :

tabulate groupe, missing

Si vous souhaitez restreindre votre analyse à un sous-échantillon spécifique en éliminant explicitement les non-réponses, vous formulerez vos commandes ultérieures avec la condition : if !missing(score_anxiete) & !missing(groupe).

5. Exploration visuelle et descriptive des données avant le test

5.1 Statistiques descriptives par groupe

Avant d’engager la procédure de test d’hypothèse proprement dite, une exploration descriptive approfondie est obligatoire. Dans le cadre d’une analyse non paramétrique, les estimateurs gaussiens traditionnels (moyenne arithmétique et écart-type) doivent être systématiquement complétés — voire supplantés — par des indicateurs de tendance centrale et de dispersion robustes aux distributions asymétriques : la médiane et l’écart interquartile (IQR, Interquartile Range), défini par la différence entre le troisième quartile (75e percentile) et le premier quartile (25e percentile).

Sous Stata, la commande tabstat offre une flexibilité totale pour générer un tableau synthétique personnalisé de statistiques descriptives conditionnellement à la variable de groupe. Exécutez la syntaxe suivante :

tabstat score_anxiete, by(groupe) statistics(n mean sd median p25 p75 iqr min max) columns(statistics)

Cette commande génère un tableau élégant affichant pour chaque modalité du groupe :

• Le nombre d’observations valides (n).
• La moyenne arithmétique (mean) et l’écart-type (sd) à titre comparatif.
• La médiane (median), représentant le 50e percentile.
• Le premier quartile (p25) et le troisième quartile (p75).
• L’écart interquartile (iqr = p75 – p25), mesurant la dispersion des 50 % d’observations centrales.
• Les valeurs minimale (min) et maximale (max), permettant d’identifier d’éventuelles aberrations de saisie.

L’observation d’un écart substantiel entre la moyenne et la médiane au sein d’un même groupe (par exemple, une moyenne de 48,2 pour une médiane de 36,0) fournit un premier signal quantitatif indiscutable d’asymétrie distributionnelle positive, suggérant d’ores et déjà que les tests paramétriques traditionnels risquent de présenter des distorsions.

5.2 Visualisations graphiques comparatives

L’inspection visuelle des distributions constitue l’étape fondamentale pour évaluer la plausibilité de l’hypothèse de similarité de forme entre les deux populations. Stata propose une suite graphique performante pour réaliser ces diagnostics.

Le premier outil graphique indispensable est le diagramme en boîte à moustaches superposé (box plot), généré au moyen de la commande graph box :

graph box score_anxiete, over(groupe) title(« Distribution des scores d’anxiété par groupe ») ytitle(« Score d’anxiété »)

Ce graphique permet d’appréhender instantanément la médiane (trait horizontal central dans la boîte), la boîte interquartile (délimitée par p25 et p75), l’étendue des moustaches (représentant 1,5 fois l’IQR à partir des charnières) ainsi que les points individuels situés au-delà des moustaches, qui signalent des observations atypiques ou extrêmes.

Pour examiner la densité de distribution avec une résolution plus fine, l’histogramme bivarié conditionnel s’avère particulièrement instructif :

histogram score_anxiete, by(groupe, total) fraction normal

L’option normal superpose la courbe théorique de la loi normale correspondant aux paramètres empiriques de chaque sous-groupe, facilitant la détection visuelle des zones de sur-densité, des creux bimodaux et des queues de distribution étirées.

Enfin, pour une comparaison géométrique d’une précision supérieure, l’estimation non paramétrique de la densité par la méthode du noyau (kernel density estimation) permet de superposer les fonctions de densité des deux groupes sur un graphique unique :

twoway (kdensity score_anxiete if groupe == 0, lcolor(navy) lwidth(medthick) legend(label(1 « Groupe Témoin »))) ///
(kdensity score_anxiete if groupe == 1, lcolor(maroon) lwidth(medthick) legend(label(2 « Groupe Traité »))), ///
title(« Densité de noyau comparée ») xtitle(« Score d’anxiété ») ytitle(« Densité »)

Si les deux courbes de densité présentent une forme d’allure semblable (par exemple, deux cloches décalées horizontalement avec une largeur similaire), la condition de forme identique est vérifiée, autorisant une conclusion directe sur la comparaison des médianes.

6. Vérification de la non-normalité dans Stata

6.1 Tests formels de normalité

Bien que l’examen graphique apporte une première intuition robuste, la démonstration formelle de la violation de l’hypothèse de normalité dans un cadre académique s’appuie classiquement sur des tests d’hypothèse d’adéquation distributionnelle (goodness-of-fit tests). Il est impératif d’exécuter ces tests séparément au sein de chaque groupe expérimental, et non sur l’échantillon agrégé, car la juxtaposition de deux populations normales ayant des moyennes différentes produit artificiellement une distribution globale bimodale et non normale.

Le test de référence le plus puissant pour évaluer la normalité univariée est le test de Shapiro-Wilk. Dans Stata, il s’exécute via la commande swilk conditionnée par groupe :

by groupe, sort : swilk score_anxiete

Sous l’hypothèse nulle du test de Shapiro-Wilk (H₀), la variable est issue d’une population normalement distribuée. Une statistique W significativement inférieure à 1 associée à une valeur de p inférieure au seuil critique conventionnel (p < 0,05) conduit au rejet catégorique de l’hypothèse nulle de normalité pour le groupe concerné.

Un autre test formel très répandu est le test de normalité basé sur les coefficients d’asymétrie (skewness) et d’aplatissement (kurtosis) de D’Agostino, Pearson et Royston, accessible via la commande sktest :

by groupe, sort : sktest score_anxiete

Cette procédure décompose l’écart à la normalité en fournissant une p-value spécifique pour le coefficient d’asymétrie (Pr(Skewness)), une p-value pour l’aplatissement (Pr(Kurtosis)), ainsi qu’un test omnibus du Chi-deux combinant simultanément les deux dimensions. Si l’un des sous-groupes présente une p-value omnibus inférieure à 0,05, l’hypothèse de normalité gaussienne est formellement réfutée, ce qui justifie méthodologiquement le recours exclusif au test non paramétrique de Mann-Whitney.

6.2 Diagnostics graphiques de normalité

Les tests formels d’adéquation tels que Shapiro-Wilk présentent une sensibilité dépendante de la taille de l’échantillon : avec de très grands effectifs (n > 500), ils ont tendance à rejeter l’hypothèse nulle pour des déviations infimes et sans conséquence pratique ; inversement, pour de petits échantillons (n < 30), ils manquent cruellement de puissance statistique et échouent fréquemment à rejeter la normalité alors même que les données sont fortement non gaussiennes. Dès lors, l’analyse des diagrammes quantile-quantile (Q-Q plots) demeure le complément diagnostique indispensable.

Dans Stata, le tracé des diagrammes quantile-quantile contre les quantiles théoriques de la loi normale standardisée s’effectue au moyen de la commande qnorm :

qnorm score_anxiete if groupe == 0, title(« Diagramme Q-Q – Groupe Témoin »)

qnorm score_anxiete if groupe == 1, title(« Diagramme Q-Q – Groupe Traité »)

L’interprétation du diagramme Q-Q repose sur l’alignement des points empiriques par rapport à la droite de référence à 45 degrés :

• Si les observations empiriques proviennent d’une distribution normale, les points se superposent étroitement le long de la diagonale continue.
• Une configuration en forme de « S » indique une distribution à queues lourdes (leptokurtique) ou à queues légères (platykurtique).
• Une courbure concave ou convexe systématique indique une asymétrie marquée (positive ou négative), les quantiles empiriques s’éloignant drastiquement de la droite théorique aux extrémités supérieures ou inférieures.

Lorsque les points divergent nettement de la droite de référence aux deux extrémités de l’échelle dans au moins l’un des groupes, le recours au test U de Mann-Whitney s’impose comme un impératif méthodologique incontournable.

7. Exécution de la commande ranksum dans Stata : Syntaxe et options

7.1 Syntaxe de base de la commande ranksum

Sous Stata, le test U de Mann-Whitney / somme des rangs de Wilcoxon pour deux échantillons indépendants est implémenté nativement au moyen de la commande ranksum. La syntaxe canonique générale s’établit selon le formalisme suivant :

ranksum nom_variable_dependante, by(nom_variable_groupe)

Dans cette structure syntaxique :

• nom_variable_dependante représente la variable continue ou ordinale soumise au test de comparaison.
• L’option by(nom_variable_groupe) est obligatoire et spécifie la variable catégorielle définissant l’appartenance aux deux groupes d’échantillonnage.

Il est impératif de noter que la variable spécifiée au sein de l’option by() doit obligatoirement comporter exactement deux valeurs distinctes au sein de l’échantillon filtré. Si la variable de groupement contient trois modalités ou plus (par exemple : Groupe 1, Groupe 2 et Groupe 3), Stata interrompra l’exécution et retournera le message d’erreur standard : « by() must specify on variable that takes on two values » (r(450)).

Pour exécuter le test sur notre variable d’exemple dans une configuration standard, l’instruction tapée dans l’interpréteur de commande sera simplement :

ranksum score_anxiete, by(groupe)

7.2 Options avancées et sous-groupes

La commande ranksum prend en charge l’ensemble des clauses de restriction conditionnelle standard du langage Stata, offrant une grande souplesse pour conduire des analyses stratifiées ou segmentées.

Si votre base de données comprend une variable catégorielle à trois modalités (par exemple, niveau de dosage médicamenteux codé 1 = Faible, 2 = Modéré, 3 = Élevé) et que vous souhaitez comparer uniquement le groupe 1 au groupe 3, il convient d’adjoindre une clause conditionnelle if pour restreindre l’échantillon actif :

ranksum score_anxiete if dosage == 1 | dosage == 3, by(dosage)

De même, si l’on souhaite réaliser une analyse de sous-groupe stratifiée selon le sexe biologique des participants (variable sexe codée 1 pour Femmes et 2 pour Hommes), on utilisera le préfixe by ou une clause conditionnelle :

ranksum score_anxiete if sexe == 1, by(groupe)

ranksum score_anxiete if sexe == 2, by(groupe)

Stata stocke automatiquement les résultats scalaires du test dans la mémoire temporaire des matrices de retour r-class. Vous pouvez inspecter les grandeurs conservées en mémoire vive immédiatement après l’exécution via la commande return list :

return list

Les éléments scalaires enregistrés incluent notamment :

• r(N_1) : L’effectif d’échantillon du premier groupe (n₁).
• r(N_2) : L’effectif d’échantillon du second groupe (n₂).
• r(sum_obs) : La somme des rangs observée pour le premier groupe (W₁).
• r(sum_exp) : La somme des rangs théorique attendue sous H₀ pour le premier groupe (E(W₁)).
• r(Var_a) : La variance de la somme des rangs corrigée pour les ex æquo (Var_corrigée(W₁)).
• r(z) : Le score Z standardisé calculé par le logiciel.

Cette structure de retour est indispensable pour la programmation automatisée de boucles, le calcul de la taille d’effet ou l’exportation des résultats vers des tableaux externes.

7.3 Alternative avec la commande kwallis

Il existe une correspondance mathématique directe entre le test U de Mann-Whitney et le test non paramétrique à un facteur de Kruskal-Wallis. En réalité, le test de Kruskal-Wallis représente la généralisation mathématique exacte du test de la somme des rangs de Wilcoxon à k ≥ 2 groupes indépendants.

Lorsque la commande kwallis est exécutée sur une variable de groupement binaire comprenant strictement deux modalités, la statistique du Chi-deux (H) calculée par Kruskal-Wallis est rigoureusement égale au carré de la statistique standardisée Z de Mann-Whitney :

H = Z²

Vous pouvez vérifier empiriquement cette identité formelle sous Stata en exécutant consécutivement :

ranksum score_anxiete, by(groupe)

kwallis score_anxiete, by(groupe)

L’exécution de kwallis génère une sortie statistique affichant la statistique H du Chi-deux à 1 degré de liberté (k – 1 = 2 – 1 = 1) ainsi que la valeur de p associée, qui sera rigoureusement identique à la p-value bilatérale fournie par ranksum. Bien que ranksum demeure la commande dédiée par excellence pour l’analyse bivariée standard en raison de l’affichage explicite du score Z orienté, la commande kwallis s’avère incontournable dès que le protocole expérimental implique la comparaison simultanée de trois groupes ou davantage.

8. Interprétation détaillée des sorties statistiques de Stata

8.1 Décomposition du tableau de résultats Stata

Lors de l’exécution de la commande ranksum score_anxiete, by(groupe), Stata génère un tableau synthétique contenant l’ensemble des éléments computationnels nécessaires à l’inférence statistique. Voici la structure typique d’une sortie standard :

Le tableau se décompose en plusieurs colonnes analytiques fondamentales :

• groupe (variable de groupe) : Identifie les modalités des deux populations comparées selon leurs étiquettes de valeurs.
• obs (observations) : Affiche le nombre exact d’observations valides prises en compte dans chaque sous-groupe (n₁ et n₂).
• rank sum (somme des rangs observée) : Indique la somme empirique des rangs attribués aux observations de chaque groupe respectif (W₁ et W₂).
• expected (somme des rangs attendue) : Représente la valeur théorique que prendrait la somme des rangs sous l’hypothèse nulle d’égalité stochastique parfaite, calculée via la formule E(W_i) = [n_i * (N + 1)] / 2.

En observant la différence entre la somme observée (rank sum) et la somme attendue (expected), l’analyste peut immédiatement identifier la direction de l’effet. Si la somme observée du Groupe Traité est substantiellement inférieure à sa valeur attendue, cela démontre que les sujets de ce groupe ont systématiquement reçu des rangs inférieurs à ceux du Groupe Témoin, indiquant une réduction globale des scores mesurés.

8.2 Statistique Z et seuil de signification

Sous le tableau principal des sommes de rangs, Stata affiche les résultats du test d’hypothèse asymptotique :

• variance of rank sum (variance de la somme des rangs) : Affiche la variance théorique non ajustée Var(W₁).
• adjustment for ties (ajustement pour ex æquo) : Affiche le terme soustractif exact calculé à partir du nombre de groupes d’observations à égalité pour corriger la variance.
• adjusted variance (variance ajustée) : Représente la variance finale corrigée utilisée au dénominateur du score Z.
• z = … : Affiche le score Z standardisé résultant du ratio (W₁ – E(W₁)) / sqrt(Var_ajustée(W₁)).
• Pr > |z| = … : Indique la probabilité critique bilatérale (two-tailed p-value).

La prise de décision statistique s’effectue en confrontant la valeur de Pr > |z| au seuil de significativité nominal alpha (fixé conventionnellement à 0,05, 0,01 ou 0,001 en fonction des exigences du protocole de recherche) :

• Si Pr > |z| < 0,05 : L’hypothèse nulle d’égalité stochastique est formellement rejetée au seuil de confiance de 95 %. On conclut à l’existence d’une différence statistiquement significative entre les deux groupes.
• Si Pr > |z| ≥ 0,05 : On échoue à rejeter l’hypothèse nulle. Les données disponibles ne permettent pas de mettre en évidence une divergence statistiquement significative entre les deux populations au seuil choisi.

8.3 Impact des ex æquo sur la p-value

Dans les données empiriques réelles, et plus particulièrement lors de l’utilisation d’instruments psychométriques ou de questionnaires d’évaluation comportementale basés sur des échelles discrètes finies (échelles de Likert en 5 ou 7 points), la présence de valeurs identiques partagées par de multiples répondants est pratiquement inévitable.

Lorsqu’un grand nombre d’ex æquo est présent, la variance de la statistique de rang est mécaniquement réduite. Si l’ajustement n’était pas appliqué, le dénominateur du score Z serait artificiellement trop élevé, ce qui produirait une statistique Z sous-évaluée et une p-value surestimée, risquant d’aboutir à une conclusion faussement non significative (erreur de type II). En intégrant automatiquement le facteur d’ajustement pour liens dans le calcul de la ligne adjusted variance, Stata garantit un contrôle optimal de la puissance statistique et assure une inférence rigoureuse même face à des saturations importantes de données discrètes.

9. Calcul et interprétation de la taille d’effet (Effect Size)

9.1 Calcul du coefficient r de Rosenthal

Dans la recherche contemporaine, la simple déclaration d’une valeur de p statistiquement significative ne suffit plus pour caractériser un résultat empirique. La valeur de p dépend intrinsèquement de la taille de l’échantillon : un effet trivial sur le plan pratique peut devenir hautement significatif (p < 0,001) sur un très grand échantillon, tandis qu’un effet d’une ampleur clinique majeure peut ne pas atteindre le seuil de 0,05 sur un échantillon très restreint. La communication de la taille d’effet (magnitude de l’effet observée) est devenue un prérequis méthodologique strict imposé par les comités éditoriaux internationaux et les normes APA.

Pour le test U de Mann-Whitney, la mesure standardisée de taille d’effet la plus couramment adoptée est le coefficient de corrélation de rang r de Rosenthal (souvent assimilé au coefficient r de Pearson appliqué aux rangs). Sa formule mathématique est définie par le rapport entre la valeur absolue du score standardisé Z et la racine carrée de l’effectif total combiné de l’échantillon N :

r = |Z| / sqrt(N)

où N = n₁ + n₂.

Pour calculer ce coefficient sous Stata immédiatement après l’exécution de la commande ranksum, on exploite les scalaires stockés dans la structure r() via la commande display :

display « Taille d’effet r de Rosenthal =  » abs(r(z)) / sqrt(r(N_1) + r(N_2))

L’interprétation de l’amplitude du coefficient r s’effectue généralement selon les seuils conventionnels établis par Jacob Cohen :

• |r| ≈ 0,10 : Effet de faible magnitude (small effect).
• |r| ≈ 0,30 : Effet de magnitude moyenne (medium effect).
• |r| ≥ 0,50 : Effet de forte magnitude (large effect).

9.2 Probabilité de supériorité (Common Language Effect Size)

Bien que le coefficient r de Rosenthal soit largement reconnu dans les méta-analyses, il présente un caractère relativement abstrait pour les cliniciens et les décideurs. Une métrique alternative particulièrement intuitive et élégante est la probabilité de supériorité, également désignée sous les termes de Common Language Effect Size (CLES), statistique A de Vargha-Delaney, ou indice de concordance non paramétrique.

La probabilité de supériorité (notée PS ou A) représente la probabilité statistique qu’une observation choisie aléatoirement au sein du Groupe 1 obtienne un score supérieur à une observation choisie aléatoirement au sein du Groupe 2, avec un ajustement pour les ex æquo :

PS = U₁ / (n₁ * n₂)

Si l’on dispose de la somme des rangs W₁, la statistique U₁ se déduit par U₁ = W₁ – [n₁(n₁ + 1) / 2]. Dès lors, la probabilité de supériorité se calcule sous Stata par l’instruction :

scalar u1 = r(sum_obs) – (r(N_1) * (r(N_1) + 1) / 2)

scalar cles = u1 / (r(N_1) * r(N_2))

display « Statistique U1 =  » u1

display « Probabilite de superiorite (CLES) =  » cles

L’interprétation de cette métrique est immédiate :

• Une valeur de PS = 0,50 correspond rigoureusement à l’hypothèse nulle : il y a exactement une chance sur deux qu’un participant du premier groupe dépasse un participant du second groupe (absence totale d’effet de groupe).
• Une valeur de PS = 0,72 signifie qu’il existe 72 % de chances qu’un individu extrait au hasard du Groupe 1 présente un score supérieur à un individu extrait au hasard du Groupe 2.
• Une valeur de PS = 0,28 traduit une supériorité systématique inverse en faveur du second groupe.

9.3 Automatisation via scripts et packages Stata

Afin de fluidifier le protocole d’analyse et d’éviter les calculs manuels répétitifs, il est possible d’écrire un court programme automatisé sous la forme d’un script do-file ou d’une commande personnalisée sous Stata. Voici un script structuré complet permettant de calculer automatiquement le test de Mann-Whitney, la statistique U, le coefficient r de Rosenthal et la probabilité de supériorité avec affichage formaté :

capture program drop mannwhitney_es

program define mannwhitney_es, rclass

    syntax varname(numeric), by(varname)

    quietly ranksum `varlist’, by(`by’)

    local n1 = r(N_1)

    local n2 = r(N_2)

    local n_tot = `n1′ + `n2′

    local w1 = r(sum_obs)

    local z_val = r(z)

    local p_val = 2 * (1 – normal(abs(`z_val’)))

    local u1 = `w1′ – (`n1′ * (`n1′ + 1) / 2)

    local u2 = (`n1′ * `n2′) – `u1′

    local u_min = min(`u1′, `u2′)

    local r_rosenthal = abs(`z_val’) / sqrt(`n_tot’)

    local cles_val = `u1′ / (`n1′ * `n2′)

    display as text _newline « ================================================== »

    display as text « RÉSULTATS DU TEST U DE MANN-WHITNEY ET TAILLES D’EFFET »

    display as text « ================================================== »

    display as text « Effectifs : Groupe 1 (n1) =  » as result `n1′ as text  » | Groupe 2 (n2) =  » as result `n2′

    display as text « Somme des rangs W1 =  » as result %9.2f `w1′

    display as text « Statistique U de Mann-Whitney =  » as result %9.2f `u_min’

    display as text « Score standardise Z =  » as result %9.4f `z_val’

    display as text « p-value asymptotique =  » as result %9.5f `p_val’

    display as text « Taille d’effet r (Rosenthal) =  » as result %9.4f `r_rosenthal’

    display as text « Probabilite de superiorite (PS) =  » as result %9.4f `cles_val’

    display as text « ================================================== »

end

Après avoir exécuté cette définition de programme dans votre session Stata, il vous suffit de lancer la commande simplifiée :

mannwhitney_es score_anxiete, by(groupe)

Pour aller plus loin, des packages communautaires développés sur le Boston College Statistical Software Components (SSC), tels que effectsize ou des routines de rééchantillonnage bootstrap, permettent d’estimer des intervalles de confiance à 95 % non paramétriques autour du coefficient r et de la probabilité de supériorité, renforçant la solidité des inférences communiquées dans les revues internationales.

10. Cas particuliers : Gestion des ex æquo et petits échantillons

10.1 Problématique des ex æquo multiples

L’occurrence massive de valeurs à égalité (ex æquo ou ties) engendre des défis méthodologiques spécifiques lors de l’application des tests de rangs. En présence d’un volume excessif d’ex æquo — situation typique observée lorsque la variable dépendante est une échelle ordinale courte (par exemple une échelle en 3 ou 5 points) administrée à un large échantillon —, la variabilité des rangs s’effondre, car des dizaines de sujets se partagent les mêmes rangs moyens intermédiaires.

Bien que l’ajustement standard de la variance théorique implémenté dans Stata corrige le dénominateur de la statistique Z, cette correction asymptotique peut s’avérer insuffisante lorsque la discrétisation des données est extrême. Dans ce cadre, l’approximation normale de la distribution de distribution des rangs perd de sa précision aux voisinages des queues de distribution.

Pour vérifier la robustesse des inférences obtenues face à des saturations d’ex æquo, il est recommandé de mener des analyses de sensibilité complémentaires :

• Comparer les résultats de ranksum avec ceux d’une régression logistique ordinale (commande ologit) modélisant la probabilité de franchissement des seuils ordinaux en fonction du groupe.
• Appliquer un test de permutation computationnel pour évaluer si la p-value exacte par rééchantillonnage corrobore la p-value asymptotique standard.

10.2 Calcul des probabilités exactes sous Stata

La commande standard ranksum fournie nativement par Stata s’appuie exclusivement sur l’approximation normale asymptotique (score Z). Or, lorsque la taille des sous-échantillons est très faible (par exemple n₁ < 10 ou n₂ < 10), l’invocation du théorème central limite devient théoriquement discutable et peut conduire à des erreurs d’inférence substantielles.

Pour pallier cette limitation et obtenir une valeur de p exacte (exact p-value) basée sur l’énumération combinatoire ou la randomisation complète des assignations de groupe, plusieurs approches avancées peuvent être mobilisées sous Stata.

La première stratégie repose sur l’utilisation de la commande native de permutation permute. Cette méthode procède par rééchantillonnage intensif de Monte-Carlo pour construire la distribution d’échantillonnage empirique exacte de la statistique de test sous l’hypothèse nulle de permutation :

permute groupe stat_w1 = r(sum_obs), reps(10000) rseed(12345) : ranksum score_anxiete, by(groupe)

Dans cette commande, Stata exécute 10 000 permutations aléatoires des étiquettes de groupe tout en conservant les rangs observés, calcule la somme des rangs pour chaque permutation et détermine la proportion exacte d’itérations pour lesquelles la statistique simulée dépasse ou égale la valeur observée empiriquement.

La seconde alternative consiste à installer des modules spécialisés issus du dépôt SSC conçus spécifiquement pour le calcul combinatoire exact des tests non paramétriques bivariés, garantissant une exactitude mathématique totale pour les protocoles expérimentaux restreints en biologie moléculaire ou en recherche clinique pilote.

11. Rédaction et présentation des résultats selon les normes APA

11.1 Éléments requis par le style APA (7e édition)

La restitution académique des résultats d’un test U de Mann-Whitney selon les directives formelles du manuel de publication de l’APA (7e édition) impose un ensemble précis de mentions quantitatives standardisées. L’analyste ne peut se contenter d’énoncer un niveau de signification ; la communication doit être exhaustive et transparente.

Les éléments suivants doivent obligatoirement figurer dans le texte du rapport ou de l’article scientifique :

• Les indicateurs de tendance centrale et de dispersion non paramétriques pour chaque groupe : la médiane (notée Mdn) et l’écart interquartile (noté IQR). La mention conjointe des moyennes (M) et écarts-types (SD) peut être tolérée à titre indicatif, mais les paramètres d’ordre sont prioritaires.
• Le nom explicite du test statistique utilisé (ex. : test U de Mann-Whitney ou test de la somme des rangs de Wilcoxon).
• La statistique de test observée, conventionnellement la statistique U de Mann-Whitney ou la somme des rangs W.
• La valeur de la statistique standardisée z (avec son signe et arrondie à deux ou trois décimales).
• La probabilité critique exacte (valeur de p, arrondie à trois décimales ; si p < 0,001, on écrit p < .001, sans zéro initial conformément aux règles typographiques de l’APA).
• L’indice standardisé de taille d’effet, généralement le coefficient r de Rosenthal ou la probabilité de supériorité (PS), accompagné de son interprétation qualitative.

11.2 Modèles de phrases types en français académique

Afin de structurer parfaitement vos manuscrits scientifiques, mémoires de recherche ou thèses de doctorat, voici des modèles rédactionnels formels prêts à l’emploi correspondant aux deux scénarios inférentiels classiques.

Modèle 1 : Cas d’un résultat statistiquement significatif

« Un test U de Mann-Whitney pour échantillons indépendants a été conduit afin d’évaluer l’impact d’une intervention psychothérapeutique sur le niveau d’anxiété des participants. Les analyses préliminaires ont révélé une violation manifeste de l’hypothèse de normalité dans les deux groupes (test de Shapiro-Wilk : p < 0,01), justifiant le recours à une approche non paramétrique. Les formes des distributions étant similaires entre les groupes, l’analyse a porté sur la comparaison des médianes. Les résultats indiquent que les participants ayant bénéficié de l’intervention présentent des scores d’anxiété significativement inférieurs (Mdn = 24,00 ; IQR = 8,50 ; n = 35) à ceux du groupe témoin sur liste d’attente (Mdn = 38,00 ; IQR = 11,00 ; n = 35), U = 285,50, z = -3,84, p < .001. La taille d’effet calculée selon le coefficient r de Rosenthal (r = 0,46) témoigne d’un effet d’une amplitude modérée à forte, correspondant à une probabilité de supériorité de 76,7 %, ce qui confirme l’efficacité clinique substantielle du protocole thérapeutique. »

Modèle 2 : Cas d’un résultat non significatif

« Le score de bien-être subjectif a été comparé entre le groupe soumis au nouveau protocole d’entraînement (Mdn = 52,00 ; IQR = 14,00 ; n = 28) et le groupe suivant le protocole standard (Mdn = 50,50 ; IQR = 12,50 ; n = 30) au moyen d’un test de la somme des rangs de Wilcoxon-Mann-Whitney. L’analyse ne met en évidence aucune différence statistiquement significative entre les deux conditions expérimentales, U = 392,00, z = 0,44, p = .658, avec une taille d’effet négligeable (r = 0,06 ; PS = 53,4 %). Ces observations suggèrent que le nouveau protocole n’induit pas de modification mesurable du bien-être comparativement à la prise en charge habituelle au sein de cette population. »

Modèle de présentation tabulaire synthétique normalisée

Dans le corps du document scientifique, la synthèse des statistiques descriptives et inférentielles peut être formalisée au moyen d’un tableau synthétique structuré selon les standards APA :

• Groupe Témoin (n = 35) : Médiane = 38,00 | IQR = 11,00 | Somme des rangs = 1539,50 | Rang moyen = 43,99
• Groupe Traité (n = 35) : Médiane = 24,00 | IQR = 8,50 | Somme des rangs = 945,50 | Rang moyen = 27,01
• Statistiques inférentielles : Statistique U = 285,50 | Score z = -3,84 | Valeur de p = .0001 | Taille d’effet r = 0,46

12. Erreurs fréquentes, diagnostics complémentaires et alternatives

12.1 Pièges courants lors de l’exécution dans Stata

La conduite d’analyses statistiques empiriques sous Stata est fréquemment émaillée d’erreurs méthodologiques ou techniques récurrentes qu’il convient de repérer et de neutraliser systématiquement :

• Confusion conceptuelle entre échantillons indépendants et appariés : L’une des erreurs les plus fréquentes consiste à employer ranksum sur des mesures répétées effectuées sur les mêmes sujets (par exemple, score pré-test et score post-test). Cette violation fondamentale de l’indépendance inter-groupes fausse intégralement l’estimation de l’erreur d’échantillonnage. Dans cette configuration longitudinale, la commande appropriée sous Stata est obligatoirement signrank var_pre = var_post.
• Assimilation abusive à une comparaison de médianes : Affirmer péremptoirement que le test de Mann-Whitney a prouvé une différence de médianes sans avoir préalablement vérifié l’isomorphisme de la forme et de la variance des distributions constitue une faute d’interprétation majeure. Si les variances ou les profils d’asymétrie divergent, le test doit impérativement être qualifié de test de dominance stochastique ou de différence globale dans la répartition des rangs.
• Biais d’attrition et valeurs manquantes : Oublier d’examiner le mécanisme générateur des données manquantes (Missing at Random versus Missing Not at Random) sur la variable d’intérêt peut introduire des biais de sélection invisibles au sein de l’un des deux groupes d’échantillonnage.

12.2 Alternatives analytiques robustes

Lorsque les données expérimentales présentent des caractéristiques complexes ne se prêtant pas de manière optimale au test U de Mann-Whitney, l’analyste peut mobiliser plusieurs alternatives statistiques modernes au sein de l’environnement Stata :

• Test de permutation de Fisher-Pitman (Randomization Test) : Plutôt que de transformer les valeurs en rangs, ce test calcule la distribution exacte de la différence des moyennes sous l’hypothèse nulle par permutation complète des observations brutes, combinant l’absence d’hypothèse distributionnelle paramétrique avec la sensibilité métrique de l’échelle d’origine.
• Régression quantile médiane (commande qreg) : Lorsque l’investigateur souhaite comparer formellement les médianes conditionnelles de deux groupes tout en ajustant pour des covariables ou des facteurs de confusion potentiels (âge, sexe, score de base), la régression quantile implémentée via la commande qreg depvar groupe covariables constitue la méthode multivariée non paramétrique de choix.
• Modèles linéaires généralisés (GLM) : Si la variable dépendante continue présente une forte asymétrie positive continue (telle que des coûts médicaux ou des durées de séjour hospitalier), la modélisation au moyen d’une régression Gamma ou log-linéaire avec la commande glm depvar groupe, family(gamma) link(log) offre une alternative paramétrique flexible et puissante sans distorsion de normalité.

12.3 Synthèse procédurale pour le chercheur

Afin de guider méthodologiquement le chercheur dans son processus décisionnel sous Stata, l’arbre procédural suivant récapitule la séquence optimale des opérations analytiques à respecter :

1. Contrôle structurel : Vérification du typage des variables (describe) et encodage binaire strict de la variable de traitement (label values).
2. Exploration non paramétrique : Calcul des médianes, quartiles et écarts interquartiles par groupe (tabstat, by()).
3. Évaluation graphique et formelle de la normalité : Exécution des diagrammes Q-Q (qnorm) et des tests de Shapiro-Wilk (swilk) sur chaque groupe séparément.
4. Diagnostic de forme : Tracé des densités de noyau superposées (kdensity) et des boîtes à moustaches (graph box) pour déterminer si l’inférence portera sur les médianes ou sur la dominance stochastique.
5. Inférence principale : Exécution de la commande ranksum avec gestion des clauses conditionnelles le cas échéant.
6. Quantification de l’effet : Calcul du score standardisé Z, extraction de la statistique U, du coefficient r de Rosenthal et de la probabilité de supériorité (CLES).
7. Archivage reproductible : Consignation intégrale des lignes de code et des commentaires explicatifs au sein d’un script do-file horodaté avec enregistrement des sorties dans un fichier journal (log using).

En observant scrupuleusement cette chaîne méthodologique et logicielle intégrée sous Stata, l’analyste garantit une rigueur inférentielle irréprochable, une parfaite reproductibilité computationnelle de ses résultats et une communication scientifique conforme aux exigences les plus élevées de la communauté internationale.

Références

• American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). American Psychological Association. https://doi.org/10.1037/0000165-000
• Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.
• Mann, H. B., & Whitney, D. R. (1947). On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. The Annals of Mathematical Statistics, 18(1), 50–60. https://doi.org/10.1214/aoms/1177730491
• Rosenthal, R. (1991). Meta-analytic procedures for social research (Revised ed.). SAGE Publications. https://doi.org/10.4135/9781412984997
• StataCorp. (2023). Stata base reference manual: Release 18. Stata Press. https://www.stata.com/manuals/r.pdf
• Vargha, A., & Delaney, H. D. (2000). A critique and improvement of the CL common language effect size statistics of McGraw and Wong. Journal of Educational and Behavioral Statistics, 25(2), 101–132. https://doi.org/10.3102/10769986025002101
• Wilcoxon, F. (1945). Individual comparisons by ranking methods. Biometrics Bulletin, 1(6), 80–83. https://doi.org/10.2307/3001968