Comment effectuer un test t à deux échantillons dans Stata

L’inférence statistique bivariée constitue le socle fondamental sur lequel repose une grande partie de l’analyse quantitative contemporaine, tant en économie qu’en épidémiologie, en sociologie computationnelle ou en psychologie expérimentale. Lorsqu’un chercheur souhaite déterminer si une intervention spécifique, une politique publique, une caractéristique démographique ou un traitement médical induit une modification mesurable sur une variable quantitative continue, la comparaison des moyennes de deux sous-populations s’impose comme une démarche méthodologique inaugurale. Au sein de cet attirail analytique, le test t de Student pour deux échantillons indépendants occupe une position prééminente en raison de son élégance mathématique, de son interprétabilité intuitive et de sa robustesse théorique éprouvée.

L’environnement logiciel Stata s’est imposé comme une référence mondiale pour la conduite de ces analyses empiriques, offrant aux statisticiens et aux chercheurs un cadre rigoureux alliant puissance de calcul, reproductibilité algorithmique et clarté syntaxique. Néanmoins, l’exécution machinale d’une commande informatique sans une compréhension intime des hypothèses distributionnelles, des ajustements d’hétéroscédasticité et des mécanismes sous-jacents d’échantillonnage expose l’analyste à des erreurs d’inférence substantielles. Un écart statistiquement significatif peut résulter d’un artefact lié à des variances dissemblables, à la présence de points aberrants ou à une asymétrie marquée au sein des distributions sous-jacentes.

Ce guide exhaustif a pour vocation de disséquer, avec une minutie académique et une précision opérationnelle sans faille, l’intégralité du processus menant à la réalisation, à l’interprétation et au diagnostic approfondi d’un test t à deux échantillons indépendants sous Stata. Du rappel formel des distributions d’échantillonnage jusqu’aux équivalences linéaires univariées, en passant par l’analyse graphique exploratory, les corrections de Welch-Satterthwaite et l’estimation standardisée des tailles d’effet selon les normes APA, chaque étape fait l’objet d’un examen systématique afin de doter le praticien d’une maîtrise méthodologique absolue.

1. Introduction théorique et fondements du test t pour deux échantillons indépendants

### 1.1 Définition et objectifs du test t de Student indépendant

Le test t de Student pour échantillons indépendants, couramment désigné sous l’appellation de test t à deux échantillons, est une procédure d’inférence paramétrique conçue pour évaluer formellement si les espérances mathématiques d’une variable aléatoire continue diffèrent significativement entre deux populations mutuellement exclusives. Formalisé historiquement par William Sealy Gosset en 1908 sous le pseudonyme d’emprunt « Student », ce test statistique répond à une problématique récurrente : déterminer si la disparité observée entre deux moyennes empiriques reflète une véritable divergence structurelle au sein des populations mères ou si elle relève d’une simple fluctuation stochastique imputable à l’échantillonnage aléatoire.

Sur le plan de la formalisation mathématique, la procédure repose sur la confrontation directe de deux hypothèses statistiques fondamentales :
L’hypothèse nulle, notée H₀, postule l’absence de différence entre les deux paramètres populationnels, soit :
H₀ : μ₁ – μ₂ = 0 (ou μ₁ = μ₂)
où μ₁ et μ₂ représentent respectivement les moyennes théoriques de la population 1 et de la population 2.
À l’inverse, l’hypothèse alternative non directionnelle, notée H₁ ou H_a, énonce que cette différence d’espérances n’est pas nulle :
H₁ : μ₁ – μ₂ ≠ 0 (ou μ₁ ≠ μ₂)

Il est impératif d’établir une ligne de démarcation épistémologique nette entre le plan expérimental à échantillons indépendants et le plan à mesures répétées (échantillons appariés). Dans un schéma indépendant, chaque unité d’observation appartient strictement et exclusivement à l’un des deux groupes comparés. La covariance théorique entre les observations du premier groupe et celles du second est strictement nulle : Cov(X_1i, X_2j) = 0 pour tout couple (i, j). Dans le cadre d’un test apparié, en revanche, les données procèdent d’un même individu observé à deux moments distincts (plans pré-test/post-test) ou de paires appariées selon des covariables précises, induisant une corrélation intra-sujet non nulle qui modifie substantiellement le calcul de la variance de la différence.

Dans les domaines de la recherche quantitative, des sciences comportementales, des politiques économiques et de la médecine factuelle, le test t indépendant constitue l’étalon analytique privilégié des essais contrôlés randomisés (ECR) et des plans quasi-expérimentaux. Qu’il s’agisse d’évaluer le rendement salarial différentiel entre diplômés de l’enseignement supérieur et non-diplômés, de quantifier la réduction de la pression artérielle sous l’effet d’une nouvelle molécule thérapeutique comparée à un placebo, ou de mesurer les écarts de productivité induits par l’adoption d’un nouveau système d’information organisationnel, le test fournit une métrique de décision standardisée et probabiliste.

### 1.2 Distribution d’échantillonnage et statistique de test

La mise en œuvre du test repose sur la construction d’une variable pivotale obéissant à une loi de probabilité théorique parfaitement documentée : la loi t de Student. Cette distribution statistique symétrique et leptokurtique se caractérise par des queues plus épaisses que celles de la loi normale centrée réduite standard, traduisant l’incertitude additionnelle engendrée par l’estimation de la variance populationnelle à partir d’échantillons de taille finie. La morphologie précise de la densité de probabilité de cette loi est strictement déterminée par son paramètre de forme unique : le nombre de degrés de liberté (df pour degrees of freedom).

Dans le cadre d’un test standard assumant l’homogénéité des variances, la statistique de test empirique, notée t, est définie comme le rapport entre la différence observée des moyennes d’échantillon et l’erreur type de cette différence :
t = [(X̄₁ – X̄₂) – (μ₁ – μ₂)₀] / SE(X̄₁ – X̄₂)
Sous l’hypothèse nulle stipulant (μ₁ – μ₂)₀ = 0, le numérateur se résume à la simple divergence brute entre X̄₁ et X̄₂.

Le dénominateur, représentant l’erreur type combinée, requiert l’estimation préalable de la variance résiduelle commune (ou variance combinée, notée s_p² pour pooled variance) :
s_p² = [ (n₁ – 1)s₁² + (n₂ – 1)s₂² ] / (n₁ + n₂ – 2)
où n₁ et n₂ représentent les effectifs respectifs des deux sous-échantillons, et s₁² et s₂² leurs variances d’échantillon non biaisées. L’erreur type de la différence est alors formulée comme suit :
SE(X̄₁ – X̄₂) = √[ s_p² × ( (1 / n₁) + (1 / n₂) ) ]

Les degrés de liberté alloués à cette statistique s’élèvent exactement à ν = n₁ + n₂ – 2. Lorsque la taille globale de l’échantillon (N = n₁ + n₂) croît vers l’infini, la distribution t converge asymptotiquement vers la distribution gaussienne standard Z ~ N(0, 1). Toutefois, pour des échantillons de taille modeste, l’épaisseur des queues de la distribution t impose des seuils critiques plus élevés pour rejeter l’hypothèse nulle, immunisant ainsi l’analyste contre un optimisme inférentiel injustifié. La taille des échantillons exerce en outre une influence mécanique prépondérante sur la puissance statistique du test : à magnitude d’effet égale, l’accroissement des effectifs réduit la variance d’échantillonnage de la différence, minimisant le dénominateur et amplifiant de facto la magnitude de la valeur t observée.

### 1.3 Approches bilatérales versus unilatérales

Le choix de l’orientation du test constitue une décision méthodologique majeure qui doit être arrêtée a priori, c’est-à-dire antérieurement à toute inspection visuelle ou calculatoire des données empiriques. L’approche bilatérale (ou test non directionnel) postule comme hypothèse alternative une simple inégalité : H₁ : μ₁ ≠ μ₂. Dans ce paradigme, la zone de rejet de l’hypothèse nulle est scindée de manière équiprobable aux deux extrémités de la distribution théorique, attribuant une probabilité d’erreur de première espèce α/2 dans la queue inférieure et α/2 dans la queue supérieure. Cette posture épistémologique incarne la prudence scientifique universelle, car elle permet de détecter des déviations significatives quel que soit le sens de la divergence (que le groupe 1 surpasse le groupe 2 ou inversement).

À l’opposé, l’approche unilatérale (ou test directionnel) engage une hypothèse alternative orientée dès la conception théorique de l’étude :
H₁ : μ₁ > μ₂ (test unilatéral supérieur) ou H₁ : μ₁ < μ₂ (test unilatéral inférieur).
Dans une telle configuration, l’intégralité du risque d’erreur de première espèce (α) est concentrée dans une seule queue de la distribution. En conséquence, la valeur critique requise pour rejeter l’hypothèse nulle est inférieure en valeur absolue à celle exigée dans le cadre d’un test bilatéral pour un seuil nominal identique (par exemple, 1,645 au lieu de 1,96 pour une loi normale à α = 0,05). Cette concentration unilatérale confère au test une puissance statistique accrue pour identifier un effet situé rigoureusement dans la direction anticipée.

Toutefois, la justification d’un test unilatéral est particulièrement contraignante sur le plan méthodologique. L’analyste doit être en mesure d’établir qu’un effet inverse à celui attendu est soit physiquement ou logiquement impossible, soit totalement dépourvu d’intérêt théorique et pratique. L’usage abusif ou post-hoc d’un test unilatéral — fréquemment motivé par le désir de faire passer une valeur p bilatérale marginale située entre 0,05 et 0,10 sous le seuil symbolique de 0,05 — constitue une pratique contestable d’inflation artificielle du risque de faux positifs. L’arbitrage fondamental réside dans la régulation fine du risque d’erreur de type I (rejeter à tort une hypothèse nulle pourtant vérifiée) et du risque d’erreur de type II (β, échouer à identifier un effet réel), sachant que le test bilatéral demeure la norme consensuelle de rigueur au sein des revues scientifiques internationales à comité de lecture.

2. Hypothèses statistiques sous-jacentes et conditions d’application

### 2.1 Échelle de mesure et indépendance des observations

Pour que l’inférence tirée d’un test t de Student soit formellement valide, la métrique de la variable dépendante (ou variable de réponse) doit impérativement correspondre à une échelle d’intervalle ou de rapport. Les grandeurs mesurées doivent posséder des intervalles constants et métriquement signifiants entre les unités, rendant licite le calcul d’opérations arithmétiques telles que l’espérance et la variance. L’application directe d’un test t sur des variables purement ordinales (comme des échelles de Likert restreintes à trois ou quatre ancres sans justification de métrique continue sous-jacente) ou catégorielles nominales constitue une transgression méthodologique qui dénature la signification de la moyenne d’échantillon.

Parallèlement, la variable indépendante (ou variable de traitement/exposition) doit être un facteur binaire délimitant sans aucune ambiguïté deux cohortes ou catégories mutuellement exclusives et collectivement exhaustives pour le sous-ensemble analysé. Une entité d’observation ne saurait appartenir simultanément aux deux modalités d’appartenance.

L’hypothèse d’indépendance conditionnelle des observations constitue le postulat le plus critique et le moins négociable du modèle paramétrique standard. L’échantillonnage doit procéder d’un tirage aléatoire simple garantissant que l’inclusion ou la valeur mesurée de n’importe quel individu n’exerce aucune dépendance stochastique sur la valeur mesurée d’un autre individu, que ce soit au sein d’un même groupe (indépendance intra-groupe) ou entre les deux groupes (indépendance inter-groupes). La présence de corrélations sérielles temporelles, d’effets de grappes (par exemple, des patients hospitalisés au sein d’un même service clinique, ou des élèves scolarisés dans une même classe) induit une corrélation intra-classe (ICC) positive. Cette non-indépendance compresse artificiellement l’erreur type estimée de la différence, débouchant sur des statistiques t gonflées et une explosion dramatique du taux d’erreur de première espèce au-delà du seuil nominal conventionnel de 5 %.

### 2.2 Hypothèse de normalité distributionnelle

Le cadre déductif classique du test t de Student requiert théoriquement que la variable de réponse continue suive une loi normale au sein de chacune des deux populations sous-jacentes :
Y₁ ~ N(μ₁, σ₁²) et Y₂ ~ N(μ₂, σ₂²).
Cette condition assure que les moyennes échantillonnales suivent elles-mêmes rigoureusement une loi normale, et que la somme pondérée des variances d’échantillon normalisées se conforme exactement à une distribution du chi-deux (χ²), garantissant ainsi que le ratio d’échantillonnage obéit à une distribution t de Gosset.

Néanmoins, la sensibilité du test t à cette hypothèse de normalité est largement tempérée par les propriétés asymptotiques formalisées par le théorème central limite (TCL). Selon ce principe fondamental du calcul des probabilités, dès lors que la taille des échantillons au sein de chaque groupe devient suffisamment vaste (usuellement n ≥ 30 ou n ≥ 50 par cellule dans la littérature méthodologique), la distribution d’échantillonnage de la moyenne converge vers une loi normale, quelle que soit la morphologie fonctionnelle de la distribution sous-jacente des données brutes, pourvu que la variance populationnelle demeure finie.

Il convient de souligner que cette robustesse asymptotique n’est pas absolue face à des pathologies distributionnelles sévères. L’existence d’une asymétrie marquée (skewness prononcée) ou d’un aplatissement anomal (kurtosis excessif caractérisé par des queues lourdes), conjuguée à des tailles d’échantillon réduites (par exemple, n₁, n₂ < 15), dégrade substantiellement la couverture réelle des intervalles de confiance et la précision de la valeur p. De surcroît, la présence de valeurs aberrantes univariées (outliers) peut fausser disproportionnellement l’estimation des moyennes empiriques tout en augmentant artificiellement la variance combinée, annihilant le pouvoir statistique du test.

### 2.3 Hypothèse d’homogénéité des variances (homoscédasticité)

Le test t classique de Student repose sur le postulat fondamental de l’égalité stricte des variances populationnelles, également désigné sous le terme d’homoscédasticité :
σ₁² = σ₂² = σ².
Sous cette hypothèse, les deux groupes partagent une variance d’erreur identique, ce qui autorise le statisticien à agréger algébriquement les sommes des carrés des écarts des deux échantillons pour calculer la variance résiduelle combinée (pooled variance) évoquée précédemment.

La violation de cette condition — l’hétéroscédasticité, où σ₁² ≠ σ₂² — engendre des distorsions statistiques d’une gravité variable selon le ratio d’équilibre des effectifs des sous-échantillons. Lorsque le plan expérimental est strictement équilibré (n₁ = n₂), le test t de Student standard fait preuve d’une robustesse remarquable face à l’inégalité des variances ; l’erreur type combinée demeure asymptotiquement cohérente et le taux d’erreur de première espèce effectif s’écarte peu du seuil α nominal.

La situation s’avère nettement plus problématique lorsque l’inégalité des variances coïncide avec un déséquilibre marqué des effectifs (n₁ ≠ n₂). Deux configurations symétriquement perverses émergent alors :
Dans le cas d’un appariement négatif (l’échantillon le plus restreint présente la variance la plus élevée), le dénominateur standard sous-estime l’erreur type réelle de la différence. La statistique t se retrouve anormalement gonflée, provoquant une hausse incontrôlée du risque d’erreur de type I, qui peut atteindre 10 % à 20 % pour un seuil visé de 5 %. L’analyste conclut ainsi à tort à l’existence d’un effet statistiquement significatif.
À l’inverse, dans le cas d’un appariement positif (le plus grand groupe concentre la variance la plus forte), l’erreur type est surestimée. La statistique t est alors artificiellement comprimée, conduisant à une perte majeure de puissance statistique (surcroît d’erreurs de type II). C’est précisément pour remédier à ce dilemme structurel que l’adaptation méthodologique de Welch-Satterthwaite a été développée.

3. Préparation de l’environnement Stata et chargement des données

### 3.1 Importation du jeu de données expérimental

L’initialisation rigoureuse de la session de travail constitue le préalable indispensable à toute analyse reproductible dans Stata. Avant de charger les données en mémoire vive, il est préconisé d’ordonner l’espace d’exécution par des commandes de nettoyage système. La commande fondamentale clear all permet de purger la mémoire de tout vecteur de données, matrice, variable scalaire ou étiquette résiduelle issue de sessions antérieures. De façon complémentaire, la directive set more off désactive l’interruption des sorties défilantes dans la console de résultats, assurant ainsi une fluidité continue lors de l’exécution séquentielle de programmes rédigés dans un fichier de syntaxe (do-file).

Pour assurer une traçabilité intégrale, la définition explicite du répertoire de travail (working directory) via l’instruction cd (change directory) permet de sanctuariser l’arborescence locale dans laquelle seront archivés les sorties d’analyses, les graphiques vectoriels et les journaux textuels générés au moyen de la commande log using.

Afin de garantir une reproductibilité universelle sans dépendre d’un fichier hébergé sur un support physique local, nous mobiliserons un jeu de données expérimental standard accessible en ligne via les serveurs d’apprentissage de Stata : la base fuel3, documentant l’efficacité énergétique comparée de deux formules de carburant. L’importation s’opère instantanément via la commande :
webuse fuel3, clear
Cette commande télécharge le fichier binaire au format propriétaire .dta et instancie l’espace matriciel de Stata avec les observations empiriques prêtes au traitement analytique.

### 3.2 Organisation et structure des données dans Stata

L’exécution standard du test bivarié requiert une structuration rigoureuse des données sous le format dit « long » (long format), par opposition au format « large » (wide format). Dans un format long canonique, chaque ligne représente une unité expérimentale élémentaire unique, et les données s’articulent autour d’au moins deux colonnes dédiées :
Une variable de réponse quantitative, continue ou quasi-continue, stockée sous un type de format numérique approprié (float ou double). Dans la base fuel3, cette variable est désignée par mpg (miles per gallon), mesurant le rendement énergétique kilométrique des véhicules soumis au protocole d’essai.
Une variable de traitement, d’exposition ou de classification binaire, identifiant le groupe d’appartenance de chaque unité. Dans notre exemple canonique, la variable treated délimite les deux cohortes expérimentales : le groupe témoin ou non traité (véhicules approvisionnés avec un carburant classique régulier) et le groupe expérimental (véhicules utilisant un carburant enrichi par un additif de synthèse spécifique).

Il est indispensable de vérifier la nature scalaire et le typage interne de cette variable de regroupement. Dans Stata, les variables qualitatives sont idéalement représentées sous la forme d’entiers numériques (typage byte) associés à des métadonnées contextuelles sous la forme d’étiquettes de valeurs (value labels). Si la variable de groupement avait été initialement encodée sous la forme d’une chaîne de caractères textuelle (type string, par exemple « Témoin » et « Traité »), l’exécution directe des routines inférentielles générerait une interruption du moteur d’exécution. Dans une telle hypothèse, le chercheur procéderait à une recodification préalable via la commande encode afin de générer une variable numérique indexée sémantiquement.

### 3.3 Nettoyage préliminaire et vérification des valeurs manquantes

L’intégrité des conclusions inférentielles repose sur une politique de détection exhaustive et de traitement rigoureux des observations manquantes (missing values). Dans l’architecture interne de Stata, les valeurs manquantes pour les variables numériques sont représentées par un point typographique standard (.), lequel est interprété au plan informatique comme un nombre infiniment grand supérieur à toute valeur numérique réelle lors des évaluations logiques conditionnelles.

L’évaluation de l’exhaustivité des données s’effectue au moyen de deux instructions de diagnostic exploratoire :
L’instruction codebook mpg treated fournit un condensé structurel de chaque variable sélectionnée, détaillant le type de stockage, la plage de variation empirique, le nombre exact d’observations valides non manquantes, le dénombrement des valeurs uniques ainsi que les libellés des étiquettes associées.
L’instruction inspect mpg dresse une ventilation graphique sommaire et quantifie avec exactitude le volume de valeurs nulles, négatives, positives et manquantes.

Si des données manquantes sont répertoriées, il est crucial d’examiner si leur répartition dépend ou non des variables du modèle, afin de distinguer des données manquantes complètement au hasard (MCAR) de processus sélectifs (MAR ou MNAR). Dans le cadre de l’application de filtres analytiques via les clauses conditionnelles if, l’omission de la spécification explicite d’exclusion des valeurs manquantes (par exemple en écrivant hâtivement if mpg > 20 au lieu de if mpg > 20 & !missing(mpg)) conduirait Stata à inclure les points manquants dans la sélection logique, biaisant l’échantillon d’analyse. Enfin, la cohérence des libellés de modalités se vérifie via label list, s’assurant que les valeurs numériques 0 et 1 correspondent fidèlement aux descriptions sémantiques cibles.

4. Exploration descriptive et inspection visuelle des données

### 4.1 Exploration des données via l’éditeur Stata

Avant de lancer le calcul d’estimateurs statistiques élaborés, un examen visuel direct de la feuille de calcul s’impose comme une mesure d’hygiène analytique incontournable. Dans Stata, cet audit s’effectue en invoquant l’utilitaire d’inspection de données en mode lecture seule grâce à la commande :
browse

L’utilisation préférentielle de browse (ou de son raccourci br) par rapport à l’éditeur interactif edit est une précaution méthodologique élémentaire : elle interdit toute modification involontaire, effacement accidentel ou réécriture impromptue d’une cellule par une frappe clavier inopportune.

Au sein de la matrice de navigation visuelle, l’analyste valide plusieurs dimensions qualitatives :
Le code chromatique standard appliqué par Stata fournit une information immédiate sur le formatage : les valeurs numériques pures apparaissent en police noire standard, les variables numériques associées à des étiquettes sémantiques de valeur s’affichent en bleu cobalt, tandis que les variables textuelles non converties (strings) se détachent en écriture bordeaux ou rouge brique.
L’alignement géométrique des colonnes permet d’attester que la distribution univariée de la variable mpg est convenablement alignée en face des étiquettes de la variable binaire treated, s’assurant ainsi qu’aucune troncature n’affecte la lecture et que les paires d’observations sont convenablement indexées.

### 4.2 Statistiques descriptives désagrégées par groupe

L’exploration numérique repose sur la quantification différentielle des paramètres de position et de dispersion pour chacun des deux sous-groupes constitutifs. Bien que l’instruction généraliste summarize mpg restitue l’espérance mathématique empirique globale ainsi que l’écart-type sur l’intégralité du fichier, elle masque totalement l’hétérogénéité sous-jacente entre les cohortes d’exposition.

Pour désagréger ces métriques par groupe, Stata propose l’articulation conditionnelle par préfixe ou l’exploitation d’utilitaires de tabulation synthétique. L’instruction séquentielle :
bysort treated: summarize mpg, detail
permet d’extraire, de façon compartimentée pour chaque groupe, l’effectif valide, la moyenne, la variance, l’écart-type, ainsi qu’une grille détaillée de percentiles incluant la médiane (50e percentile) et les bornes interquartiles (25e et 75e percentiles), complétée par les coefficients de symétrie (skewness) et d’aplatissement (kurtosis).

Pour synthétiser ces indicateurs dans un tableau unique publiable, la commande spécialisée tabstat constitue l’instrument le plus polyvalent :
tabstat mpg, by(treated) statistics(n mean sd median p25 p75 iqr) columns(statistics)

Cette instruction génère une matrice synthétique structurée permettant une comparaison optique instantanée. L’examen attentif de la proximité entre la moyenne arithmétique et la médiane offre un premier indice quant à la symétrie de la distribution : un écart substantiel entre ces deux mesures de tendance centrale suggère la présence d’une asymétrie distributionnelle ou l’influence déstabilisatrice d’observations extrêmes.

De surcroît, la comparaison directe des écarts-types empiriques (sd) offre un premier aperçu de la plausibilité de l’hypothèse d’homoscédasticité : une divergence marquée (par exemple un ratio des écarts-types supérieur à 1,5 ou 2) doit immédiatement orienter la vigilance du chercheur vers des modèles avec ajustement d’hétéroscédasticité.

### 4.3 Analyse de la répartition des effectifs

L’évaluation des fréquences marginales associées à la variable binaire s’effectue formellement au moyen de la commande de tabulation univariée :
tabulate treated
Cette instruction calcule la distribution d’effectifs absolus au sein de chaque groupe ainsi que les proportions et pourcentages relatifs rapportés à la population totale de l’échantillon.

Le diagnostic de l’équilibre des effectifs revêt une portée méthodologique déterminante. Si la distribution présente un ratio équilibré proche d’une répartition paritaire (50 % / 50 %), le protocole expérimental maximise sa puissance statistique pour un effectif global N donné. Lorsque le plan d’échantillonnage subit une asymétrie importante (par exemple une répartition 85 % / 15 % ou 90 % / 10 %), l’erreur type de la différence des moyennes augmente de manière disproportionnée. En effet, l’erreur type combinée est tributaire de la somme harmonique des tailles d’échantillon, c’est-à-dire :
(1 / n₁) + (1 / n₂)
Ce facteur est principalement contraint par l’effectif du groupe le plus restreint.

En outre, comme explicité au paragraphe 2.3, l’existence conjointe d’un déséquilibre majeur des effectifs et d’une hétérogénéité des variances constitue la situation de vulnérabilité maximale pour le test t classique de Student. La prise de connaissance précise du ratio n₁ / n₂ guide ainsi l’analyste vers le choix de la procédure inférentielle appropriée lors des étapes suivantes de son travail.

5. Visualisation graphique des distributions de groupe sous Stata

### 5.1 Construction et interprétation des diagrammes en boîte (boxplots)

La modélisation graphique des distributions univariées constitue une étape exploratoire essentielle pour apprécier la forme des distributions et identifier d’éventuels points aberrants. Dans Stata, le diagramme en boîte de Tukey (boxplot) s’obtient via la commande standard :
graph box mpg, over(treated)

Cette instruction génère deux boîtes à moustaches juxtaposées sur un même axe d’ordonnées, facilitant une lecture comparative directe :
La ligne horizontale matérialisée au centre de chaque rectangle représente la médiane empirique du groupe concerné.
Les bordures inférieure et supérieure de la boîte correspondent respectivement au premier quartile (Q₁ ou 25e percentile) et au troisième quartile (Q₃ ou 75e percentile). La hauteur totale de la boîte circonscrit ainsi l’écart interquartile (IQR = Q₃ – Q₁), concentrant les 50 % centraux des données observées.
Les moustaches s’étendent depuis les charnières de la boîte jusqu’aux valeurs observées les plus éloignées contenues à l’intérieur d’une limite de tolérance fixée conventionnellement par John Tukey à 1,5 fois l’écart interquartile :
[Q₁ – 1,5 × IQR ; Q₃ + 1,5 × IQR].
Toute observation empirique se positionnant au-delà de ces frontières théoriques est désignée sous le vocable de point aberrant ou atypique (outlier) et représentée sous la forme d’un point géométrique isolé ou d’un cercle non relié.

L’interprétation conjointe de ces deux tracés permet d’évaluer la dispersion relative des groupes (largeur comparée des boîtes et déploiement des moustaches) et de vérifier l’absence d’observations extrêmes susceptibles de biaiser le calcul de la moyenne arithmétique et de gonfler indûment la variance de l’échantillon.

### 5.2 Superposition des histogrammes et courbes de densité de noyau

Si les boîtes à moustaches offrent une synthèse efficace des indicateurs de position et de dispersion, elles masquent parfois la morphologie fine de la distribution, notamment l’existence d’une éventuelle multimodalité. La superposition d’histogrammes et d’estimateurs de densité par noyau (kernel density) fournit une représentation graphique détaillée de la distribution continue des données.

Stata permet de combiner ces représentations via le moteur syntaxique twoway, en exploitant l’estimateur de densité non paramétrique de Rosenblatt-Parzen au moyen de l’opérateur kdensity. La commande structurée s’énonce comme suit :
twoway (kdensity mpg if treated == 0, lcolor(navy) lwidth(medthick)) (kdensity mpg if treated == 1, lcolor(cranberry) lwidth(medthick)), legend(order(1 « Carburant Régulier » 2 « Carburant Enrichi »)) xtitle(« Miles per gallon (mpg) ») ytitle(« Densité de probabilité »)

Cette modélisation visuelle permet d’apprécier la superposition ou le décalage horizontal des deux densités de distribution :
Un décalage latéral prononcé entre les deux sommets de courbe illustre de manière concrète une différence empirique substantielle entre les moyennes des deux groupes.
Le degré de recouvrement géométrique des deux surfaces sous la courbe donne une intuition directe de la taille de l’effet : un recouvrement quasi-intégral présage une différence d’espérance négligeable au regard du bruit de fond de la variance intra-groupe.
La morphologie globale des courbes renseigne sur le respect de la symétrie gaussienne : des distributions unimodales en cloche valident empiriquement l’hypothèse de normalité, tandis que la présence de renflements secondaires ou d’étirements dissymétriques asymétriques signale une déviation par rapport au modèle théorique classique.

### 5.3 Graphiques de quantile-quantile (Q-Q plots)

L’évaluation graphique de la normalité requiert une confrontation plus rigoureuse que le simple examen d’un histogramme, dont l’interprétation dépend en partie du choix arbitraire de la largeur des classes (bins). Le diagramme quantile-quantile normal, implémenté sous Stata au moyen de la commande qnorm, confronte les quantiles empiriques observés aux quantiles théoriques issus d’une loi normale de même moyenne et de même variance.

L’exécution s’opère de façon individualisée au sein de chaque strate d’échantillonnage, grâce à la syntaxe conditionnelle suivante :
qnorm mpg if treated == 0, title(« Q-Q Plot Normal – Carburant Régulier »)
qnorm mpg if treated == 1, title(« Q-Q Plot Normal – Carburant Enrichi »)

L’interprétation d’un diagramme qnorm repose sur la conformité de l’alignement des points empiriques le long de la bissectrice droite diagonale théorique à 45 degrés :
Dans l’hypothèse où les points convergent et s’agrègent de manière rectiligne et continue sur la droite de référence, l’adéquation distributionnelle à la loi normale est empiriquement corroborée.
Une incurvation systématique adoptant la forme d’un arc de cercle convexe ou concave trahit une asymétrie distributionnelle prononcée (positive ou négative).
Un infléchissement en « S » ou en « Z » traduit une anomalie de l’aplatissement de la distribution : des points décrochant vers le bas à l’extrémité gauche et vers le haut à l’extrémité droite indiquent des queues de distribution épaisses (heavy tails, leptokurticité), caractéristiques d’une dispersion extrême plus fréquente que sous l’hypothèse d’une loi de Gauss pure.

6. Vérification empirique des hypothèses de normalité et d’homoscédasticité

### 6.1 Tests formels de normalité dans Stata

Si l’analyse graphique permet de repérer d’éventuelles anomalies majeures, la confirmation statistique des conditions d’application requiert la mise en œuvre de tests d’hypothèses formels. Au sein de l’environnement Stata, plusieurs procédures d’évaluation de la normalité sont disponibles :
Le test de Shapiro-Wilk, implémenté via la commande swilk, constitue l’étalon de référence pour les échantillons de taille petite à modérée (N ≤ 2 000). Il évalue la régression linéaire des quantiles d’échantillon ordonnés sur les espérances des statistiques d’ordre d’une loi normale. La commande conditionnelle s’écrit :
bysort treated: swilk mpg

Le test de Shapiro-Francia, accessible au moyen de l’instruction sfrancia, constitue une variante optimisée de l’algorithme précédent, particulièrement pertinente pour les échantillons de dimension intermédiaire à vaste.
Le test d’asymétrie et d’aplatissement de D’Agostino-Pearson, mobilisable sous Stata via la directive :
bysort treated: sktest mpg
présente l’intérêt méthodologique de décomposer analytiquement la déviation par rapport à la normalité en estimant isolément un test de skewness puis un test de kurtosis, avant de les agréger dans une statistique omnibus conjointe distribuée asymptotiquement selon une loi du chi-deux à deux degrés de liberté (χ²(2)).

L’interprétation de ces différents tests repose sur la lecture de la probabilité critique (p-value) associée à l’hypothèse nulle d’adéquation à une distribution normale. Une valeur p supérieure au seuil usuel α = 0,05 conduit à ne pas rejeter l’hypothèse nulle, validant ainsi la plausibilité empirique du postulat de normalité pour le groupe considéré. À l’inverse, une valeur p < 0,05 indique une déviation statistiquement significative par rapport à la loi normale.

### 6.2 Évaluation formelle de l'égalité des variances

La validation de l'hypothèse d'homogénéité des variances populationnelles (σ₁² = σ₂²) requiert l’exécution de procédures de test robustes face à d’éventuelles déviations mineures par rapport à la loi normale. Dans Stata, la commande intégrée de référence pour l’évaluation de cette propriété est robvar (robust tests for equality of variances) :
robvar mpg, by(treated)

L’exécution de cette commande fournit simultanément trois métriques d’évaluation différentes de l’homoscédasticité :
Le test de Levene classique, articulé autour de l’écart absolu des observations individuelles par rapport à la moyenne arithmétique de leur groupe :
d_ij = | Y_ij – Ȳ_i |. Ce test se révèle particulièrement pertinent lorsque la normalité intra-groupe est rigoureusement avérée.
Le test de Brown-Forsythe, qui substitue la médiane empirique du groupe à la moyenne arithmétique lors du calcul des écarts absolus :
d_ij = | Y_ij – M_i |. Ce test présente une grande robustesse face aux distributions asymétriques ou enrichies en valeurs atypiques, et constitue la référence privilégiée pour de nombreux biostatisticiens.
Le test basé sur la moyenne tronquée (10% trimmed mean), qui élimine un pourcentage fixé d’observations extrêmes aux deux extrémités de chaque groupe avant de calculer les déviations absolues, assurant un compromis pertinent en présence de queues de distribution modérément lourdes.

Le tableau d’affichage de Stata restitue pour chacune de ces trois approches une statistique de Fisher-Snedecor W associée à ses degrés de liberté et à sa valeur p exacte (Pr > F). L’obtention d’une valeur p > 0,05 conduit à conserver l’hypothèse nulle d’homogénéité des variances, autorisant l’usage du test t de Student classique. Une valeur p ≤ 0,05 confirme la présence d’une hétéroscédasticité statistiquement établie.

### 6.3 Prise de décision méthodologique

Face aux résultats combinés de ces diagnostics exploratoires, l’analyste se trouve à la croisée d’un arbre décisionnel méthodologique précis :
Si la normalité des distributions est raisonnablement confirmée (ou que les effectifs par sous-échantillon sont suffisants pour invoquer le théorème central limite, généralement n₁, n₂ ≥ 30) et que l’homoscédasticité est attestée par le test de Levene/Brown-Forsythe (p ≥ 0,05), l’exécution du test t de Student paramétrique standard avec variance combinée est pleinement licite.
Si la condition de normalité est respectée mais que l’égalité des variances est invalidée empiriquement (p < 0,05 pour robvar), le recours au test t de Welch-Satterthwaite avec correction pour variances inégales s’impose formellement.
Si les distributions souffrent d’une asymétrie prononcée ou d’une contamination par des valeurs aberrantes irréductibles, et que les effectifs s’avèrent de surcroît modestes (interdisant tout recours à l’approximation du théorème central limite), l’analyste doit renoncer à l’inférence paramétrique sur les moyennes au profit du test non paramétrique de Wilcoxon-Mann-Whitney (implémenté sous Stata via la commande ranksum), ou se tourner vers des techniques computationnelles de rééchantillonnage (bootstrap).

Il convient d’adopter une posture critique quant à l’interprétation des tests de normalité formels. Au sein de larges bases de données (N > 500), des tests comme Shapiro-Wilk acquièrent une puissance statistique très élevée et tendent à rejeter l’hypothèse nulle pour des écarts minimes et sans conséquence pratique sur le plan inférentiel. Inversement, sur de très petits effectifs (n < 15), ces mêmes tests souffrent d'un manque de puissance structurel et peuvent échouer à détecter une non-normalité substantielle. L'arbitrage final doit ainsi combiner l'évaluation des tests formels avec l'inspection visuelle détaillée des graphiques de distribution.

7. Syntaxe fondamentale et exécution du test t à deux échantillons

### 7.1 Syntaxe de base de la commande ttest avec l’option by()

L’exécution standard du test t de Student indépendant sous Stata s’opère au moyen de la commande native ttest, articulée autour de sa clause de segmentation by(). La structure canonique de l’instruction s’énonce selon le schéma formel suivant :
ttest varname_continue, by(varname_groupe)

Pour que le parseur syntaxique de Stata valide l’exécution sans générer de message d’erreur, deux conditions d’intégrité doivent être impérativement satisfaites :
La variable positionnée avant la virgule doit être une variable quantitative de stockage numérique continu.
La variable encapsulée au sein des parenthèses de l’option by() doit obligatoirement présenter exactement deux niveaux ou valeurs distinctes au sein du sous-échantillon considéré. Si la variable de groupement comporte un niveau unique ou plus de deux modalités, l’exécution s’interrompt immédiatement avec un code d’erreur système.

Dans le cadre empirique de notre jeu de données expérimental fuel3, l’instruction opérationnelle s’écrit donc :
ttest mpg, by(treated)

L’exécution de cette commande mobilise en mémoire vive l’ensemble des observations complètes de la base, effectue l’agrégation des sommes de carrés, calibre les degrés de liberté théoriques et renvoie instantanément dans la console de résultats de Stata une table d’inférence complète, comprenant les statistiques descriptives univariées par groupe, l’estimation ponctuelle de la divergence des moyennes, ainsi que les trois tests d’hypothèses directionnels et non directionnels associés.

### 7.2 Syntaxe alternative non appariée (variables distinctes)

Bien que l’agencement des bases de données sous format « long » constitue le standard méthodologique contemporain, certains protocoles expérimentaux ou fichiers historiques se présentent sous la forme d’un tableau à format « large ». Dans une telle configuration, les observations quantitatives des deux groupes d’exposition ne sont pas regroupées au sein d’une colonne vectorielle unique avec indicatrice binaire, mais sont consignées dans deux colonnes numériques distinctes, par exemple mpg_regulier et mpg_enrichi.

Dans cette situation spécifique, Stata permet d’exécuter le test à deux échantillons sans nécessiter de restructuration préalable de la base (via la commande reshape), en recourant à la formulation syntaxique alternative suivante :
ttest mpg_regulier == mpg_enrichi, unpaired

L’opérateur relationnel de comparaison logique de double égalité (==) est ici utilisé pour juxtaposer les deux variables d’intérêt. L’option unpaired joue un rôle déterminant : elle signale explicitement au compilateur statistique de Stata que, bien que les deux variables se trouvent alignées sur les mêmes lignes de la feuille de calcul, les mesures proviennent d’entités d’observation indépendantes et ne sauraient en aucun cas être traitées comme des mesures répétées appariées sur un même sujet.

Sur le plan strictement mathématique et algorithmique, l’instruction ttest var1 == var2, unpaired applique les équations de variance combinée et de distribution t identiques en tout point à celles mobilisées par la syntaxe ttest var, by(group), garantissant une stricte équivalence numérique des résultats obtenus.

### 7.3 Options de niveau de confiance et filtres logiques

La flexibilité de la commande ttest permet d’ajuster le paramétrage inférentiel aux objectifs de recherche spécifiques et d’appliquer des filtres de sélection d’échantillon.

Par défaut, Stata calibre les bornes de l’intervalle de confiance de la différence des moyennes sur un niveau nominal bilatéral de 95 % (α = 0,05). L’analyste peut modifier ce niveau de confiance au moyen de l’option standardisée level(#), où l’argument numérique s’inscrit généralement entre 10 et 99,99. Par exemple, pour un cadre d’inférence plus conservateur à 99 % (α = 0,01), la commande s’articule comme suit :
ttest mpg, by(treated) level(99)
Cette formulation élargit la largeur de l’intervalle de confiance pour refléter une tolérance réduite au risque d’erreur de type I.

Parallèlement, la commande intègre des clauses logiques de conditionnement (if) et d’indexation séquentielle (in) permettant d’isoler des sous-populations sans altérer l’intégrité de la base de données globale :
L’utilisation d’une restriction conditionnelle permet de focaliser l’analyse sur un segment démographique ou technologique particulier, par exemple :
ttest mpg if cylindree == 4, by(treated)
L’utilisation conjointe d’opérateurs booléens permet d’exclure les cas aberrants ou les valeurs manquantes répertoriées, garantissant que l’inférence repose exclusivement sur le sous-ensemble analytique d’intérêt :
ttest mpg if !missing(mpg) & treated != ., by(treated)

8. Décryptage approfondi et interprétation des résultats de Stata

### 8.1 Analyse du tableau descriptif supérieur

L’exécution de la commande ttest dans Stata génère une sortie structurée en deux blocs distincts. Le premier bloc, positionné dans la partie supérieure de l’affichage, prend la forme d’un tableau synthétique exhaustif ventilant les paramètres statistiques fondamentaux pour chaque sous-groupe :

La première colonne matérialise les deux modalités de la variable d’exposition (désignées par leurs libellés textuels respectifs, par exemple Regular et Treated), complétées par deux lignes de synthèse analytique : la ligne désignée sous l’étiquette combined et la ligne terminale identifiée par diff.
La colonne Obs dénombre l’effectif effectif non manquant associé à chaque strate (n₁ et n₂), leur somme totale définissant la taille globale de l’échantillon N.
La colonne Mean affiche la moyenne arithmétique empirique ponctuelle estimée pour chaque cohorte (X̄₁ et X̄₂). La ligne diff indique l’estimation ponctuelle de la différence brute des moyennes :
D̄ = X̄₁ – X̄₂.
La colonne Std. Err. restitue l’erreur type de l’estimation de la moyenne pour chaque groupe :
SE(X̄_i) = s_i / √(n_i).
Sur la ligne diff, cette cellule consigne l’erreur type combinée de la différence :
SE(X̄₁ – X̄₂) = s_p × √((1/n₁) + (1/n₂)).
La colonne Std. Dev. consigne l’écart-type d’échantillon corrigé (s₁ et s₂).
Les deux colonnes terminales, intitulées [95% Conf. Interval], délimitent les bornes inférieure et supérieure de l’intervalle de confiance calculé au seuil sélectionné. La ligne diff renseigne l’intervalle de confiance de la différence moyenne. Si cet intervalle de confiance n’englobe pas la valeur zéro (par exemple s’il est strictement positif ou strictement négatif), l’analyste peut déduire que la divergence des moyennes est statistiquement significative au seuil bilatéral α de 5 %.

### 8.2 Évaluation de la statistique t et des degrés de liberté

Sous le tableau descriptif principal, Stata affiche les paramètres mathématiques qui fondent la décision statistique formelle :
La formalisation de la différence moyenne testée :
diff = mean(0) – mean(1)
suivie de l’indication de la statistique de test standardisée :
t = -3.7299
Cette valeur empirique t quantifie l’éloignement de la différence observée par rapport à l’espérance théorique nulle, exprimé en unités d’erreur type. Une valeur t négative indique que la moyenne du second groupe dépasse arithmétiquement celle du premier groupe.

Directement en regard de cette statistique de test, Stata explicite le nombre de degrés de liberté associé au dénominateur :
degrees of freedom = 22
Pour un test t paramétrique standard assumant l’homogénéité des variances avec des groupes d’effectifs respectifs n₁ = 12 et n₂ = 12, ce nombre s’obtient par le calcul :
df = n₁ + n₂ – 2 = 12 + 12 – 2 = 22.

L’analyste peut confronter mentalement ou par consultation de tables la valeur de la statistique |t| observée à la valeur critique théorique issue de la loi de Gosset pour 22 degrés de liberté au seuil de signification α = 0,05 (laquelle s’établit à 2,074). Étant donné que la valeur empirique observée (|t| = 3,73) excède très largement la valeur critique seuil, la probabilité d’obtenir une telle divergence d’échantillonnage sous l’hypothèse nulle d’égalité des espérances est extrêmement faible, ce qui conduit au rejet de H₀.

### 8.3 Interprétation des trois valeurs p fournies par Stata

Dans la section terminale inférieure de l’affichage, Stata détaille simultanément les résultats des trois hypothèses alternatives envisageables, structurés en trois colonnes distinctes :

La colonne de gauche correspond au test unilatéral inférieur :
Ha: diff < 0
associé à la probabilité critique calculée :
Pr(T < t) = 0.0006
Cette valeur représente l’intégrale de la fonction de densité de Student comprise entre -∞ et la valeur de la statistique observée t. Elle permet de tester l’hypothèse alternative selon laquelle la moyenne du groupe 1 est significativement inférieure à celle du groupe 2.

La colonne centrale matérialise le test bilatéral non directionnel standard :
Ha: diff != 0
associé à la probabilité critique bilatérale :
Pr(|T| > |t|) = 0.0012
Cette grandeur statistique clé cumule les probabilités des deux queues de distribution situées au-delà de |t| = 3,7299 :
Pr(T < -3,7299) + Pr(T > 3,7299).
Dans l’immense majorité des publications académiques, c’est cette valeur p bilatérale qui constitue l’élément décisionnel de référence. Étant donné que 0,0012 est largement inférieur au seuil conventionnel de 0,05, l’hypothèse nulle d’égalité des espérances est rejetée avec un degré de confiance élevé.

La colonne de droite correspond au test unilatéral supérieur :
Ha: diff > 0
associé à la probabilité critique calculée :
Pr(T > t) = 0.9994
Cette valeur mesure la probabilité d’observer par simple fluctuation d’échantillonnage une statistique de test supérieure à celle obtenue sous H₀. Sa valeur très élevée illustre le fait que les données empiriques ne soutiennent aucunement l’hypothèse d’une supériorité de la moyenne du groupe 1 sur celle du groupe 2.

9. Gestion de l’hétéroscédasticité : Test de Welch et approximation de Satterthwaite

### 9.1 Fondements du problème de Behrens-Fisher

L’inadéquation de l’erreur type combinée du test de Student standard en présence de variances hétérogènes constitue une problématique statistique fondamentale, connue dans la littérature sous le nom de problème de Behrens-Fisher. Lorsque σ₁² ≠ σ₂², il n’existe pas d’estimateur analytique exact et universel de la distribution d’échantillonnage de la statistique de test qui soit strictement indépendant des paramètres populationnels inconnus.

La mutualisation des variances au sein de l’estimateur combiné s_p² repose sur le postulat d’une dispersion commune. Si cette condition fait défaut, l’estimateur de l’erreur type s_p × √((1/n₁) + (1/n₂)) devient biaisé pour représenter la dispersion réelle de la variable aléatoire (X̄₁ – X̄₂). L’erreur type non biaisée de la différence des moyennes en situation d’hétéroscédasticité s’écrit formellement :
SE_non-pool = √[ (s₁² / n₁) + (s₂² / n₂) ]

Néanmoins, le quotient :
t* = (X̄₁ – X̄₂) / √[ (s₁² / n₁) + (s₂² / n₂) ]
n’obéit plus exactement à une distribution t de Student à (n₁ + n₂ – 2) degrés de liberté, car son dénominateur n’est pas distribué comme la racine carrée d’une variable du chi-deux divisée par ses degrés de liberté. Pour corriger cette distorsion et préserver l’intégrité du taux d’erreur de première espèce nominal, un ajustement des degrés de liberté s’avère indispensable.

### 9.2 Exécution de l’option unequal dans Stata

Pour pallier ce problème sans quitter le cadre de l’inférence paramétrique, Stata intègre l’algorithme d’ajustement développé par Franklin E. Satterthwaite (1946). L’instruction s’obtient en adjoignant l’option unequal à la commande de base :
ttest mpg, by(treated) unequal

L’implémentation de l’option unequal modifie l’architecture interne des calculs de Stata selon deux modalités :
Le calcul de l’erreur type de la différence délaisse l’estimateur combiné s_p² au profit de l’addition directe des variances d’échantillonnage individuelles :
SE(diff) = √[ (s₁² / n₁) + (s₂² / n₂) ].
Les degrés de liberté associés à la distribution de référence sont corrigés selon la formule d’approximation de Satterthwaite :
df_{Satterthwaite} = [ (s₁² / n₁) + (s₂² / n₂) ]² / [ ( (s₁² / n₁)² / (n₁ – 1) ) + ( (s₂² / n₂)² / (n₂ – 1) ) ]

Dans la console de résultats de Stata, la ligne des degrés de liberté affiche désormais un nombre non entier (fractionnaire ou décimal, par exemple degrees of freedom = 17.3468). Cette réduction des degrés de liberté élargit les queues de la distribution t de référence et ajuste les valeurs critiques, garantissant ainsi un contrôle adéquat du taux d’erreur de type I, même en présence d’un déséquilibre conjoint des effectifs et des variances.

### 9.3 Utilisation de l’option de Welch directe

Stata propose une variante syntaxique supplémentaire via l’option dédiée welch :
ttest mpg, by(treated) welch

Bien que les dénominations de test de Welch et d’approximation de Satterthwaite soient fréquemment employées de manière interchangeable dans la littérature appliquée, la solution de B. L. Welch (1947) procède d’une approche asymptotique plus générale. Elle intègre des termes d’ordre supérieur dans le développement en série de la distribution de la statistique de test.

Dans l’environnement de calcul de Stata, l’option welch mobilise formellement l’approximation des degrés de liberté de Welch, qui conduit à des résultats très proches de l’option unequal. Les écarts numériques entre ces deux variantes algorithmiques sont le plus souvent minimes et ne modifient que rarement la valeur des degrés de liberté au-delà de la deuxième ou troisième décimale.

De nombreux méthodologistes et statisticiens contemporains préconisent d’utiliser systématiquement le test de Welch par défaut pour la comparaison de deux moyennes indépendantes. Cette recommandation repose sur des études de simulation approfondies (notamment Delacre, Lakens et Leys, 2017) démontrant que le test de Welch offre un contrôle optimal du risque d’erreur de première espèce en présence de variances hétérogènes, tout en conservant une puissance statistique quasiment identique à celle du test de Student classique lorsque les variances sont en réalité homogènes.

10. Mesure de la taille de l’effet et puissance a posteriori

### 10.1 Calcul du d de Cohen et du g de Hedges sous Stata

La valeur p issue d’un test d’hypothèse renseigne sur la significativité statistique d’une différence observée, mais ne fournit aucune indication sur l’ampleur empirique de cette divergence. Dans le cadre d’échantillons de très grande taille, une différence mineure et dénuée d’intérêt pratique peut afficher une valeur p hautement significative (p < 0,001). Inversement, un effet substantiel mesuré sur un échantillon réduit peut ne pas atteindre le seuil de significativité conventionnel.

L'estimation d'une mesure standardisée de la taille de l'effet (effect size) permet de quantifier la magnitude de la différence indépendamment des unités de mesure de la variable dépendante. La métrique la plus répandue est le d de Cohen (1988), défini comme le rapport entre la différence brute des moyennes et l’écart-type combiné :
d = (X̄₁ – X̄₂) / s_p

Toutefois, sur de petits échantillons (N < 30), le d de Cohen tend à surestimer la taille de l’effet au niveau populationnel. Larry Hedges (1981) a développé une correction de biais analytique produisant une métrique non biaisée, le g de Hedges :
g ≈ d × [ 1 – ( 3 / (4(n₁ + n₂) – 9) ) ]

Sous Stata, le calcul de ces indicateurs s’effectue au moyen de la commande dédiée :
esize twosample mpg, by(treated)

L’exécution de cette commande renvoie les estimations ponctuelles du d de Cohen et du g de Hedges, accompagnées de leurs intervalles de confiance respectifs calculés par transformation non centrale de la distribution t.

### 10.2 Interprétation substantive de la magnitude de l’effet

L’interprétation de la taille de l’effet repose historiquement sur les repères empiriques conventionnels proposés par Jacob Cohen :
|d| ≈ 0,20 identifie un effet de faible magnitude (small effect size), traduisant un recouvrement important des distributions des deux groupes.
|d| ≈ 0,50 caractérise un effet de magnitude moyenne (medium effect size), perceptible à l’œil nu lors d’un examen graphique rigoureux.
|d| ≈ 0,80 correspond à un effet de forte magnitude (large effect size), signalant une divergence substantielle des deux distributions.

Ces conventions d’interprétation doivent toutefois être replacées dans le contexte disciplinaire et méthodologique de l’étude. En épidémiologie ou en santé publique, par exemple, un effet d’apparence modeste (|d| = 0,15) peut représenter un enjeu sanitaire majeur s’il s’applique à une échelle populationnelle étendue. Inversement, dans un protocole de laboratoire en ingénierie où les facteurs de confusion sont étroitement contrôlés, un effet de magnitude supérieure (|d| > 1,00) peut être attendu pour valider une innovation technologique.

L’analyse ne saurait se limiter à l’examen de l’estimation ponctuelle de la taille de l’effet. L’inspection de l’intervalle de confiance à 95 % associé à cette métrique fournit une information essentielle quant à la précision de l’estimation : un intervalle particulièrement large reflète une imprécision liée à des effectifs d’échantillonnage limités, appelant à la prudence dans la généralisation des conclusions.

### 10.3 Analyse de puissance statistique rétrospective et prospective

La gestion rigoureuse de la puissance statistique — c’est-à-dire la probabilité (1 – β) de rejeter l’hypothèse nulle lorsque celle-ci est effectivement fausse — s’opère dans Stata via la commande native power.

Il convient de distinguer l’analyse de puissance prospective de l’analyse rétrospective :
L’analyse de puissance dite rétrospective ou observée (post-hoc power), qui consiste à estimer la puissance a posteriori sur la base de la valeur p et de l’effet observés sur l’échantillon, est aujourd’hui déconseillée par les méthodologistes (Hoenig & Heisey, 2001). En effet, cette démarche constitue une simple reformulation de la valeur p obtenue et n’apporte aucun éclairage empirique additionnel quant à la fiabilité de l’étude.
En revanche, l’analyse de puissance prospective (ou planifiée) est indispensable lors de la phase de conception d’un protocole expérimental. Elle permet de calibrer les effectifs nécessaires pour détecter une taille d’effet minimale d’intérêt substantiel sous un niveau de risque α donné.

Sous Stata, le calibrage d’un échantillonnage prospectif s’exécute au moyen de la syntaxe :
power twomeans m1 m2, sd(#) alpha(0.05) power(0.80)
où m₁ et m₂ désignent les moyennes cibles anticipées, et sd l’écart-type attendu au sein des populations. Stata calcule alors le dimensionnement d’échantillon minimal requis au sein de chaque groupe pour atteindre la puissance statistique désirée (conventionnellement 80 % ou 90 %).

11. Rédaction et communication académique des résultats selon les normes APA

### 11.1 Structure standard de rapportage statistique

La communication scientifique des résultats d’un test t de Student doit satisfaire aux standards internationaux de publication formalisés par l’American Psychological Association (normes APA, 7e édition). Une description méthodologique rigoureuse doit intégrer les éléments suivants :
L’énoncé clair des statistiques descriptives élémentaires associées à chaque groupe : la moyenne arithmétique (symbolisée par la lettre M en italique) et l’écart-type (symbolisé par SD en italique), systématiquement accompagnés de leurs unités de mesure.
La désignation explicite du type de test mobilisé (par exemple : test t de Student standard avec variance combinée, ou test t de Welch avec correction de Satterthwaite en cas de variances inégales).
L’indication de la statistique de test avec la lettre t en italique, indexée par son nombre de degrés de liberté consigné entre parenthèses, suivie de la valeur numérique arrondie au centième.
La valeur p exacte arrondie au millième (ex. : p = 0,028), en évitant les formulations imprécises telles que p < 0,05, hormis lorsque la probabilité calculée par le logiciel s'affiche sous la forme 0.000, auquel cas la notation normalisée devient p < ,001.
L'estimation standardisée de la magnitude de l'effet (le d de Cohen ou le g de Hedges en italique) assortie de son intervalle de confiance à 95 % (IC à 95 %).

### 11.2 Exemples concrets de paragraphes de résultats

Pour illustrer ces exigences de communication, voici trois canevas de rédaction représentatifs des configurations empiriques courantes :

Cas n° 1 : Test t classique statistiquement significatif (variances homogènes)
« Un test t de Student pour échantillons indépendants a été conduit afin de déterminer l’impact de l’enrichissement du carburant sur l’efficacité énergétique des véhicules. La condition d’homoscédasticité a été préalablement validée par le test de Brown-Forsythe, W = 0,42, p = ,524. Les analyses mettent en évidence une différence statistiquement significative en faveur du carburant enrichi, t(22) = -3,73, p = ,001, d = 1,52, IC à 95 % [0,58, 2,43]. La consommation moyenne des véhicules approvisionnés en carburant régulier (M = 20,42 mpg, SD = 1,44) s’avère significativement inférieure à celle observée au sein de la flotte exploitant le carburant enrichi (M = 22,75 mpg, SD = 1,60). Cette divergence traduit une amélioration substantielle de l’autonomie kilométrique attribuable à l’additif. »

Cas n° 2 : Test t de Welch significatif (variances hétérogènes)
« L’évaluation comparative des scores de performance cognitive révèle une hétéroscédasticité notable entre les deux sous-cohortes expérimentales (test de Levene, F(1, 48) = 8,94, p = ,004). Par conséquent, le test t de Welch avec approximation de Satterthwaite pour les degrés de liberté a été appliqué. Les résultats attestent d’un écart statistiquement significatif entre les conditions, t(31,45) = 2,48, p = ,019, g de Hedges = 0,71, IC à 95 % [0,12, 1,28]. Le groupe ayant bénéficié du programme d’entraînement intensif présente des performances cognitives moyennes supérieures (M = 78,34, SD = 12,65) à celles relevées dans le groupe témoin (M = 69,12, SD = 6,18). »

Cas n° 3 : Résultat non significatif
« L’analyse comparative des niveaux de stress physiologique mesurés par le taux de cortisol salivaire ne révèle aucune divergence statistiquement significative entre le groupe soumis au bruit résiduel et le groupe exposé au silence absolu, t(58) = 0,86, p = ,393, d = 0,22, IC à 95 % [-0,29, 0,73]. Le niveau moyen de cortisol relevé chez les sujets en condition sonore (M = 14,21 nmol/L, SD = 3,45) ne se distingue pas de manière statistiquement établie de celui mesuré chez les sujets en condition de silence (M = 13,48 nmol/L, SD = 3,12). Les données empiriques actuelles ne permettent pas de rejeter l’hypothèse nulle d’équivalence des conditions. »

### 11.3 Exportation des tableaux vers des logiciels de traitement de texte

Pour faciliter l’intégration des résultats au sein d’articles scientifiques ou de rapports de recherche, Stata dispose d’outils d’automatisation de l’exportation des tableaux vers des formats standards (.docx, .pdf ou LaTeX).

Le recours à des paquets communautaires accessibles via le dépôt SSC (Statistical Software Components) constitue une approche très répandue :
L’utilitaire asdoc permet d’exporter directement les résultats d’une commande Stata dans un document Microsoft Word formaté :
ssc install asdoc
asdoc ttest mpg, by(treated), replace
Le paquet outreg2 permet de consolider et de mettre en forme plusieurs tableaux comparatifs successifs au format texte enrichi ou tableur.

De manière native, Stata propose les utilitaires putdocx et putpdf, intégrés au cœur de son moteur d’exécution. Ces commandes permettent de construire des scripts de publication reproductibles assemblant paragraphes textuels, graphiques vectoriels et tableaux de résultats :
putdocx begin
putdocx paragraph, style(« Heading1 »)
putdocx text (« Résultats de l’analyse comparative »)
putdocx table matable = etable
putdocx save « Rapport_Inference.docx », replace
Cette approche garantit une traçabilité totale entre le traitement des données et la restitution documentaire finale.

12. Diagnostic des anomalies, erreurs courantes et solutions alternatives

### 12.1 Résolution des messages d’erreur fréquents dans Stata

Lors de la mise en œuvre de la commande ttest, l’analyste peut se heurter à certains messages d’erreur courants renvoyés par le parseur de Stata :

Le message d’erreur le plus récurrent s’intitule :
more than 2 groups found, only 2 allowed (r(450))
Cette exception signale que la variable spécifiée dans l’option by() comporte au moins trois modalités distinctes au sein du domaine de données actif. La résolution nécessite de restreindre l’échantillon d’analyse à deux groupes à l’aide d’une clause conditionnelle :
ttest mpg if treated == 0 | treated == 1, by(treated)
ou d’opérer un recodage préalable via la commande recode pour agréger les catégories surnuméraires.

Une autre erreur fréquente se manifeste sous la forme :
variable not found (r(111)) ou type mismatch (r(109))
Ces erreurs traduisent soit une coquille typographique dans l’orthographe du nom de la variable, soit une incompatibilité de format de stockage (par exemple lorsqu’une variable numérique a été importée sous format chaîne de caractères). La commande destring varname, replace ou l’utilisation de encode permet d’assurer la conversion vers un format numérique adapté.

Enfin, une sélection conditionnelle erronée via un filtre if peut aboutir à l’exclusion de la totalité des observations, provoquant le message :
no observations (r(2000))
Ce diagnostic invite à vérifier attentivement les conditions de filtrage et la présence éventuelle de valeurs manquantes sur les variables d’intérêt.

### 12.2 Alternative non paramétrique : le test de Wilcoxon-Mann-Whitney

Lorsque les distributions de données dérogent fortement à l’hypothèse de normalité (forte asymétrie, bimodalité, présence d’observations extrêmes irréductibles) et que la taille des échantillons est trop restreinte pour s’appuyer sur le théorème central limite, l’utilisation du test paramétrique sur les moyennes doit être reconsidérée au profit du test non paramétrique de Wilcoxon-Mann-Whitney.

Ce test ne compare pas directement les moyennes arithmétiques des populations, mais évalue si la distribution stochastique d’un groupe domine celle de l’autre, à partir du calcul des sommes de rangs attribués à l’ensemble des observations préalablement ordonnées. Sous Stata, l’instruction s’exécute via la commande standard :
ranksum mpg, by(treated)

La console de résultats renvoie la somme observée des rangs pour chaque modalité, son espérance mathématique théorique sous l’hypothèse nulle d’équivalence stochastique, ainsi que la variance associée. Stata restitue une statistique de test standardisée z distribuée asymptotiquement selon une loi normale centrée réduite N(0, 1), assortie de sa probabilité critique bilatérale (Pr > |z|). Si cette valeur p est inférieure au seuil de 0,05, l’analyste conclut à l’existence d’une divergence statistiquement significative entre les rangs des deux distributions.

### 12.3 Techniques de rééchantillonnage et modèles linéaires équivalents

Pour s’affranchir des hypothèses distributionnelles strictes tout en conservant comme paramètre d’intérêt direct la moyenne arithmétique, le chercheur peut recourir aux méthodes de rééchantillonnage computationnel par bootstrap. Le bootstrapping consiste à rééchantillonner avec remise les observations empiriques un grand nombre de fois (par exemple 1 000 ou 5 000 réplications) afin de reconstruire de manière empirique la distribution d’échantillonnage de la différence des moyennes, sans postuler de forme fonctionnelle a priori.

Sous Stata, l’estimation d’un test t avec erreurs types bootstrappées s’articule aisément via le préfixe bootstrap combiné à la commande de régression linéaire simple :
bootstrap diff=( _b[treated] ), reps(2000) seed(12345): regress mpg treated

Cette formulation met en lumière une équivalence formelle fondamentale de la statistique linéaire : le test t de Student standard pour deux échantillons indépendants correspond exactement au modèle de régression linéaire par les moindres carrés ordinaires (MCO) :
Y_i = β₀ + β₁ Treated_i + ε_i
Dans cette spécification univariée, la constante β₀ capture l’espérance mathématique du groupe de référence (treated = 0), tandis que le coefficient de régression β₁ correspond rigoureusement à la différence des moyennes (μ₁ – μ₀). La statistique t associée à β₁ par la commande regress mpg treated est strictement identique à la statistique t fournie par ttest mpg, by(treated).

Cette équivalence conceptuelle offre une perspective méthodologique précieuse : l’approche linéaire permet d’étendre naturellement le cadre bivarié du test t vers des modèles multivariés ou des analyses de covariance (ANCOVA), rendant possible le contrôle statistique d’éventuelles covariables et facteurs de confusion susceptibles d’altérer l’estimation de l’effet d’intérêt.

Références

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