Comment effectuer une régression logistique dans Stata

La modélisation statistique des phénomènes discrets constitue l’un des piliers méthodologiques fondamentaux de la recherche contemporaine en sciences sociales, en psychologie, en épidémiologie et en économétrie appliquée. Lorsque le phénomène étudié ne se manifeste point sous la forme d’un continuum quantitatif, mais se présente sous une nature intrinsèquement dichotomique — telle que la rémission clinique versus la rechute, la réussite ou l’échec à une épreuve psychométrique standardisée, ou l’adhésion à un protocole thérapeutique —, les hypothèses classiques du modèle linéaire ordinaire s’effondrent. C’est précisément pour surmonter ces contraintes structurelles que la régression logistique binaire s’est imposée comme le paradigme analytique prééminent, offrant un cadre probabiliste robuste et mathématiquement cohérent.

Le logiciel d’analyse statistique Stata représente l’un des environnements computationnels les plus puissants, polyvalents et rigoureux pour concevoir, estimer et diagnostiquer des modèles de régression logistique. Doté d’une syntaxe à la fois concise et expressive, Stata permet aux chercheurs de passer sans rupture de l’exploration descriptive initiale à l’ajustement de modèles multivariés complexes intégrant des termes d’interaction factoriels, des corrections d’hétéroscédasticité et des calculs sophistiqués d’effets marginaux. Cette fluidité analytique s’accompagne d’une suite exhaustive d’outils diagnostiques post-estimation indispensables à la validation empirique des postulats sous-jacents.

L’objectif de ce guide exhaustif est de fournir un parcours didactique, technique et méthodologique complet pour maîtriser l’art et la pratique de la régression logistique dans Stata. En abordant successivement les fondements mathématiques du logit, les impératifs de préparation des données, la mise en œuvre empirique des commandes fondamentales, l’interprétation substantielle des cotes et rapports de cotes, l’évaluation de l’ajustement global, le diagnostic des observations influentes et la formalisation des résultats selon les normes de publication académiques les plus strictes, cet article dote le chercheur de toutes les compétences requises pour mener à bien des analyses d’une rigueur irréprochable.

1. Introduction aux fondements théoriques de la régression logistique binaire

1.1. Nature et modélisation de la variable dépendante dichotomique

En recherche quantitative, la modélisation d’une variable réponse qualitative binaire $Y in {0, 1}$ pose un défi épistémologique et mathématique singulier. Dans ce cadre, la variable $Y$ obéit à une distribution de Bernoulli, où le paramètre fondamental d’intérêt est l’espérance conditionnelle $\mathbb{E}(Y|X) = P(Y=1|X) = \pi(X)$, représentant la probabilité que l’événement d’intérêt se produise conditionnellement à un vecteur de covariables $X = (X_1, X_2, dots, X_k)’$. L’approche intuitive consistant à appliquer la régression linéaire classique par les Moindres Carrés Ordinaires (MCO) conduit au modèle de probabilité linéaire (MPL), défini formellement par l’équation $\pi(X) = X\beta + \varepsilon$. Bien que d’une apparente simplicité calculatoire, ce modèle souffre de défaillances théoriques majeures qui en limitent drastiquement l’usage scientifique.

La première limite intrinsèque du modèle de probabilité linéaire réside dans l’hétéroscédasticité systématique de ses résidus. La variance de la variable de Bernoulli étant fonction de son espérance, $\text{Var}(Y|X) = \pi(X)(1 – \pi(X)) = (X\beta)(1 – X\beta)$, la condition fondamentale d’homoscédasticité des résidus nécessaire à l’optimalité des estimateurs MCO par le théorème de Gauss-Markov est violée de manière inhérente. Plus grave encore, le modèle linéaire n’impose aucune contrainte sur le domaine de prédiction de la variable dépendante. Puisque l’espace vectoriel des prédicteurs $X\beta$ s’étend théoriquement sur l’intervalle réel infini $]-\infty, +\infty[$, le modèle de probabilité linéaire produit fréquemment des prédictions absurdes situées en dehors de l’intervalle unitaire standard $[0, 1]$. De telles prédictions négatives ou strictement supérieures à l’unité contredisent formellement les axiomes fondamentaux de la théorie des probabilités établis par Andrey Kolmogorov.

Face à cette aporie mathématique, la justification épistémologique du recours à une transformation non-linéaire s’impose : il est nécessaire de contraindre asymptotiquement la fonction de liaison afin que les valeurs prédites demeurent rigoureusement circonscrites dans l’intervalle unitaire ouvert $]0, 1[$. La transformation logistique répond précisément à cette exigence en appliquant une fonction de répartition cumulative sigmoïdale qui mappe la droite réelle vers l’espace restreint des probabilités légitimes, tout en reflétant de manière plus réaliste les rendements marginaux décroissants observés dans les dynamiques comportementales et psychologiques.

1.2. La fonction logistique, les cotes et le logarithme du rapport de cotes

La formulation analytique standard de la fonction logistique bivariée s’exprime à travers la courbe sigmoïde suivante :

$$\pi(X) = \frac{\exp(X\beta)}{1 + \exp(X\beta)} = \frac{1}{1 + \exp(-X\beta)}$$

Cette spécification garantit que lorsque l’indice linéaire $X\beta$ tend vers $-\infty$, la probabilité prédite $\pi(X)$ converge asymptotiquement vers 0 sans jamais l’atteindre. Inversement, lorsque $X\beta$ croît indéfiniment vers $+\infty$, $\pi(X)$ s’approche de 1 de façon asymptotique. Cette propriété géométrique résout de facto le problème des prédictions aberrantes hors de l’espace probabiliste standard.

Pour appréhender la mécanique interprétative du modèle, une transition conceptuelle majeure s’opère en déplaçant le regard de la probabilité brute vers le concept de cote (désignée en anglais sous le vocable d’odds). La cote d’un événement correspond au rapport entre la probabilité de survenue dudit événement et la probabilité de sa non-survenue, soit :

$$\text{Cote} = \text{Odds} = \frac{\pi(X)}{1 – \pi(X)}$$

Tandis que la probabilité est strictement bornée entre 0 et 1, la cote évolue sur la demi-droite réelle $[0, +\infty[$. Une probabilité de 0,5 correspond ainsi à une cote unitaire de 1 (ou « un contre un »), une probabilité de 0,8 engendre une cote de 4, et une probabilité tendant vers l’unité projette la cote vers l’infini.

La linéarisation mathématique de ce processus non-linéaire est achevée par l’application du logarithme népérien à la cote, une opération analytique connue sous le nom de transformation logit :

$$\text{logit}(\pi(X)) = \ln\left(\frac{\pi(X)}{1 – \pi(X)}\right) = X\beta = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + dots + \beta_k X_k$$

Sur le plan géométrique, la transformation logit convertit une courbe sigmoïde en forme de « S » en une fonction strictement linéaire des prédicteurs. Ce faisant, elle restaure le confort analytique de l’additivité des effets tout en préservant scrupuleusement la cohérence probabiliste du phénomène sous-jacent. Le logarithme du rapport de cotes (log-odds) s’étend à nouveau sur l’ensemble des réels, permettant l’utilisation de combinaisons linéaires standards pour modéliser des associations multivariées complexes.

1.3. Estimation par le maximum de vraisemblance

En raison de la nature non-linéaire intrinsèque de la fonction logistique reliant la variable dépendante aux prédicteurs, la méthode analytique des moindres carrés ordinaires ne peut être mobilisée. L’estimation des paramètres $\beta$ repose donc sur le principe d’estimation par le maximum de vraisemblance (Maximum Likelihood Estimation ou MLE). Considérons un échantillon d’observations indépendantes $(y_i, x_i)$ pour $i = 1, dots, n$, où chaque réalisation $y_i$ suit une loi de Bernoulli conditionnelle de paramètre $\pi_i = \pi(x_i)$. La fonction de vraisemblance conjointe s’écrit formellement comme le produit des densités discrètes :

$$L(\beta) = \prod_{i=1}^n \pi(x_i)^{y_i} (1 – \pi(x_i))^{1 – y_i}$$

Afin de simplifier l’optimisation mathématique et de transformer les produits en sommes, les statisticiens recourent universellement à la fonction de log-vraisemblance (log-likelihood), notée $ell(\beta) = \ln L(\beta)$ :

$$ell(\beta) = \sum_{i=1}^n \left[ y_i \ln(\pi(x_i)) + (1 – y_i) \ln(1 – \pi(x_i)) \right]$$

En substituant la formulation logistique de $\pi(x_i)$ dans cette équation, l’expression devient :

$$ell(\beta) = \sum_{i=1}^n \left[ y_i (x_i \beta) – \ln(1 + \exp(x_i \beta)) \right]$$

L’annulation du gradient de cette fonction (le vecteur des dérivées partielles du premier ordre par rapport à $\beta$) ne possède aucune solution analytique sous forme fermée. L’estimation nécessite par conséquent le recours à un algorithme d’optimisation numérique itérative, typiquement la méthode de Newton-Raphson ou l’algorithme de score de Fisher. À chaque itération $t+1$, le vecteur de paramètres est mis à jour selon l’équation :

$$\beta^{(t+1)} = \beta^{(t)} – \left[ H(\beta^{(t)}) \right]^{-1} g(\beta^{(t)})$$

où $g(\beta)$ représente le vecteur de score et $H(\beta)$ désigne la matrice hessienne des dérivées secondes de la log-vraisemblance. Le processus itératif se poursuit jusqu’à ce que la différence absolue ou relative entre deux valeurs successives de la log-vraisemblance descende en dessous d’un critère de tolérance prédéfini (dans Stata, généralement fixé à $10^{-6}$). La matrice d’information de Fisher observée, définie comme l’opposée de la matrice hessienne évaluée au point de convergence, fournit l’estimation asymptotique de la matrice de covariance des estimateurs. Sous des conditions régulières de régularité, les estimateurs du maximum de vraisemblance démontrent des propriétés fondamentales d’invariance, de consistance, d’efficacité asymptotique et de normalité asymptotique, permettant de construire des inférences statistiques robustes.

2. Spécificités méthodologiques et applications en psychologie et sciences comportementales

2.1. Cas d’usage représentatifs en recherche psychologique

Les sciences comportementales et la psychologie clinique se caractérisent fréquemment par l’opérationnalisation de seuils qualitatifs marquant la transition d’un état à un autre. La régression logistique binaire constitue à cet égard un instrument méthodologique central pour répondre à des questions théoriques et cliniques majeures. L’un des cas d’usage les plus fréquents concerne la modélisation de l’adhésion thérapeutique versus l’abandon du suivi clinique (phénomène de dropout). Les chercheurs cherchent à identifier dans quelle mesure des dimensions psychométriques telles que l’alliance thérapeutique, le niveau d’alexithymie ou le sentiment d’auto-efficacité prédisent la probabilité qu’un patient mène à terme sa psychothérapie ambulatoire.

Un autre pan de la littérature concerne la nosographie et la modélisation diagnostique de la présence versus l’absence d’un trouble psychiatrique avéré. À titre d’illustration, la survenue d’un épisode dépressif caractérisé au cours de la vie peut être modélisée en fonction de l’exposition à des traumatismes infantiles, de vulnérabilités neurobiologiques et du niveau de soutien social perçu. Dans ce contexte, la régression logistique permet d’estimer des risques ajustés tout en contrôlant des facteurs confondants incontournables tels que l’âge ou le genre biologique.

Enfin, la psychologie cognitive et la neuropsychologie mobilisent massivement ces modèles pour analyser la probabilité de réussite ou d’échec à des tâches cognitives complexes sous diverses conditions expérimentales (comme l’induction de stress ou la privation de sommeil), tandis que la psychologie de la santé s’appuie sur le logit pour étudier les déterminants psychosociaux des comportements à risque (tabagisme, addictions comportementales, refus vaccinal). Le modèle logistique fournit une passerelle rigoureuse entre construits psychologiques latents et comportements dichotomiques observables.

2.2. Sélection théorique et opérationnalisation des covariables

L’écueil majeur de la modélisation statistique en milieu appliqué réside dans l’utilisation aveugle d’algorithmes de sélection pas-à-pas (comme le stepwise ou le backward elimination), formellement décriés par les méthodologues contemporains pour leur propension à fausser les erreurs-types et à gonfler les taux d’erreur de type I. La spécification du modèle logistique doit découler d’un cadre théorique a priori, distinguant clairement les prédicteurs focaux théoriquement postulés, les variables de contrôle méthodologiquement nécessaires et les covariables distales susceptibles d’induire une confusion résiduelle.

La détermination de la taille d’échantillon minimale et de la complexité admissible du modèle obéit à la règle heuristique des « événements par variable » (Events Per Variable ou EPV). Historiquement théorisée par Frank Harrell et ses collègues, cette directive méthodologique préconise un minimum absolu de 10 à 20 événements de la classe minoritaire pour chaque paramètre estimé dans le modèle. Si un jeu de données compte 200 participants mais que seuls 20 présentent l’événement d’intérêt (par exemple, une rechute clinique), le nombre d’événements effectif est de 20, limitant le modèle à un ou deux prédicteurs au maximum sous peine de subir un sur-ajustement (overfitting) sévère.

Le sur-ajustement dans les échantillons cliniques restreints génère une instabilité critique des estimations, caractérisée par des coefficients aberrants, des erreurs-types hypertrophiées et une incapacité complète de généralisation en dehors de la cohorte d’entraînement. La formalisation préalable d’hypothèses directionnelles, validée par un pré-enregistrement rigoureux du protocole d’analyse, préserve le chercheur de la tentation du dragage de données (p-hacking) et assure la validité translationnelle des conclusions statistiques.

2.3. Choix du jeu de données d’illustration sous Stata

Afin de concilier la rigueur mathématique avec l’apprentissage appliqué, nous mobiliserons tout au long de ce tutoriel un jeu de données épidémiologique et comportemental standardisé mondialement reconnu : la base de données relative au faible poids de naissance (low birthweight study), initialement collectée au Baystate Medical Center de Springfield, Massachusetts, et documentée par David Hosmer et Stanley Lemeshow.

Ce jeu de données clinique présente l’intérêt méthodologique de refléter des dynamiques hautement représentatives des sciences de la santé et du comportement. La variable dépendante binaire, nommée low, enregistre si le nouveau-né présente un poids de naissance inférieur au seuil critique de 2500 grammes ($1 = \text{faible poids}$, $0 = \text{poids normal}$). Les covariables disponibles combinent des caractéristiques sociodémographiques continues comme l’âge maternel (age) et le poids de la mère au début de la grossesse (lwt), des facteurs comportementaux déterminants tels que le statut tabagique pendant la gestation (smoke, codé binairement), ainsi que des indicateurs d’antécédents médicaux comme l’hypertension artérielle (ht) ou les antécédents d’accouchement prématuré (ptl).

L’utilisation de cette base accessible directement via les serveurs d’enseignement officiels de Stata garantit une parfaite reproductibilité empirique des résultats présentés dans cet article. Tout lecteur muni d’une version récente de Stata peut reproduire instantanément chaque étape de nettoyage, de calcul, d’estimation et de diagnostic graphique exposée ci-après, consolidant ainsi sa compréhension par l’expérimentation computationnelle directe.

3. Préparation et exploration rigoureuse des données sous Stata

3.1. Importation, nettoyage et codage des variables

La première phase opérationnelle dans Stata consiste à charger le jeu de données en mémoire et à réaliser une inspection scrupuleuse de la structure du dictionnaire des variables. Dans la fenêtre de commande de Stata ou au sein d’un script structuré (fichier do-file), nous exécutons la syntaxe de chargement distant :

webuse lbw, clear
describe
codebook low smoke ht race

La commande describe expose la liste des variables, leurs types de stockage (entiers, réels, chaînes de caractères) et les étiquettes associées. Il est impératif de s’assurer que la variable de réponse binaire low soit rigoureusement encodée sous la forme de valeurs numériques entières 0 et 1. Une erreur classique chez les praticiens débutants consiste à utiliser des variables codées 1 et 2, ce qui perturberait l’algorithme de calcul du maximum de vraisemblance ou forcerait Stata à convertir arbitrairement la modalité la plus basse en référence.

La gestion des données manquantes constitue une exigence analytique cruciale. La commande misstable summarize permet de dresser un inventaire exhaustif des valeurs manquantes à travers l’ensemble des prédicteurs. Par défaut, Stata applique une suppression par liste entière (listwise deletion), ce qui signifie que toute observation présentant ne serait-ce qu’une valeur manquante sur l’une des variables spécifiées dans le modèle sera exclue de l’estimation. Si la proportion de données manquantes s’avère substantielle et que le mécanisme sous-jacent est de type MAR (Missing at Random), une procédure d’imputation multiple devra être envisagée avant toute estimation logistique définitive.

L’attribution rigoureuse d’étiquettes de variables et de modalités textuelles s’effectue via les commandes label define et label values. Cela confère une lisibilité optimale aux sorties analytiques :

label define lbl_smoke 0 "Non-fumeuse" 1 "Fumeuse"
label values smoke lbl_smoke

3.2. Analyse descriptive univariée et bivariée

Avant d’ajuster un modèle multivarié, une exploration univariée et bivariée scrupuleuse permet de sonder la morphologie des données et d’identifier de potentielles anomalies distributionnelles. Pour les variables catégorielles, la génération de tableaux de contingence croisés constitue l’outil de référence :

tabulate smoke low, row chi2

L’option row affiche les pourcentages par ligne, révélant immédiatement la proportion empirique d’événements néfastes (faible poids) parmi les femmes exposées au tabac par rapport aux femmes non exposées. L’option chi2 calcule le test d’indépendance de Pearson sous l’hypothèse nulle d’indépendance statistique entre les deux variables. L’examen des fréquences absolues dans chaque cellule est primordial pour vérifier qu’aucune case n’affiche un effectif nul ou dramatiquement faible.

Concernant les prédicteurs continus, l’analyse descriptive s’appuie sur la commande summarize assortie de son option d’inspection détaillée :

summarize age lwt, detail

Cette commande fournit la moyenne, la variance, l’écart-type, ainsi que les coefficients d’asymétrie (skewness) et d’aplatissement (kurtosis). Un déséquilibre marqué de la distribution ou la présence de valeurs aberrantes extrêmes (par exemple, un âge maternel aberrant saisi par erreur) doit être corrigé en amont afin d’éviter la déstabilisation de l’estimateur de vraisemblance.

3.3. Dépistage des problèmes de séparation complète ou quasi-complète

L’un des pièges mathématiques les plus redoutables de la régression logistique réside dans le phénomène de séparation quasi-complète ou complète (complete separation), formalisé de manière pionnière par Albert et Anderson en 1984. Ce problème survient lorsqu’une covariable binaire ou un ensemble de prédicteurs sépare parfaitement les événements ($Y=1$) des non-événements ($Y=0$). Sur le plan géométrique, cela implique qu’un hyperplan sépare rigoureusement les deux nuages de points sans aucun chevauchement.

Sur le plan mathématique, la séparation se traduit par l’impossibilité de maximiser la fonction de log-vraisemblance : les coefficients $\beta$ associés aux variables parfaitement prédictives divergent mathématiquement vers $+\infty$ ou $-\infty$. Dans Stata, ce dysfonctionnement se manifeste par des sorties d’estimation alarmantes : le logiciel produit des erreurs-types gigantesques (souvent de l’ordre de milliers ou de dizaines de milliers), des statistiques de Wald proches de zéro et des intervalles de confiance démesurément larges, signalant que la matrice d’information de Fisher est devenue quasi-singulière.

Le dépistage précoce de ce problème repose sur la tabulation systématique croisée de tous les prédicteurs qualitatifs avec la variable de réponse. Si une cellule du tableau croisé contient un effectif de 0, nous sommes en présence d’une séparation quasi-complète (aussi appelée problème de cellule vide). Plusieurs pistes de remédiation s’offrent alors au chercheur : le regroupement raisonné de modalités adjacentes au sein d’une variable polytomique, l’exclusion motivée du prédicteur concerné, ou le recours impératif à la régression logistique pénalisée de Firth, que nous aborderons dans une section ultérieure.

4. Vérification empirique des postulats préalables de la régression logistique

4.1. Linéarité du logit pour les variables explicatives continues

Bien que la régression logistique ne requière nullement l’hypothèse de normalité multidimensionnelle des prédicteurs ni l’homoscédasticité des résidus, elle n’est pas exempte de postulats formels. Le postulat fondamental régissant la spécification du modèle est l’hypothèse de linéarité dans le logit : la relation fonctionnelle unissant chaque prédicteur continu $X_j$ au logarithme du rapport de cotes $\ln(\pi / (1-\pi))$ doit être strictement linéaire. Si cette condition est violée, le modèle sous-estimera l’ampleur des associations ou produira des prédictions fallacieuses dans certaines plages de valeurs.

Dans Stata, la vérification empirique de cette linéarité peut s’effectuer de manière formelle grâce au test d’extension de Box-Tidwell, implémenté par la commande officielle :

boxtid logit low age lwt

Cette procédure introduit dans le modèle des termes d’interaction non-linéaires de la forme $X ln(X)$. Si le coefficient associé à l’un de ces termes dévie significativement de zéro (avec une p-valeur inférieure au seuil conventionnel de 0,05), l’hypothèse de linéarité du logit est formellement rejetée pour la variable testée.

En cas de non-linéarité avérée, le chercheur dispose de plusieurs alternatives analytiques : l’ajustement de polynômes fractionnaires via la commande fracpoly, la transformation logarithmique ou polynomiale de la variable brute, ou encore le recours à des splines cubiques restreintes à l’aide de la commande mkspline. Ces approches permettent de capturer des relations curvilinéaires ou en « U » inversé sans sacrifier la puissance statistique du continuum numérique par une catégorisation arbitraire en classes.

4.2. Évaluation de la multicolinéarité parmi les prédicteurs

La présence d’une forte interdépendance linéaire entre deux ou plusieurs prédicteurs (la multicolinéarité) ne biaise pas directement les estimations ponctuelles des coefficients de régression, mais gonfle dramatiquement leur variance d’échantillonnage. En conséquence, les erreurs-types des coefficients deviennent excessivement grandes, diminuant la puissance statistique des tests de Wald et rendant la détection des effets uniques pratiquement impossible.

Puisque la commande d’estimation logistique ne dispose pas d’un calcul direct de multicolinéarité dans ses diagnostics primaires, la pratique standardisée sous Stata consiste à exécuter une régression linéaire artificielle auxiliaire en utilisant la même spécification de covariables, suivie immédiatement du calcul des facteurs d’inflation de la variance (Variance Inflation Factor ou VIF) :

quietly regress low age lwt smoke ht
estat vif

L’indice VIF mesure dans quelle mesure la variance d’un coefficient estimé est augmentée en raison de la colinéarité de cette variable avec les autres prédicteurs du modèle. En règle générale, une valeur de VIF excédant le seuil de 5 à 10 (ce qui correspond à une tolérance $1/\text{VIF}$ inférieure à 0,20 ou 0,10) signale un niveau préoccupant de colinéarité. Face à un diagnostic de multicolinéarité sévère, les solutions méthodologiques incluent l’élimination sélective d’une variable redondante, la combinaison des indicateurs fortement corrélés au sein d’un score composite via une analyse en composantes principales, ou le recours à des techniques de régression régularisée (Lasso ou Ridge).

4.3. Indépendance des observations et structure des erreurs

La validité des inférences statistiques issues du maximum de vraisemblance repose sur le postulat d’indépendance conditionnelle stricte des observations. En d’autres termes, la probabilité de survenue de l’événement pour un individu donné ne doit être en aucune manière influencée par l’issue observée chez d’autres individus de l’échantillon, conditionnellement aux covariables spécifiées dans l’équation.

Dans la recherche psychologique et épidémiologique, cette hypothèse est fréquemment violée par les protocoles d’échantillonnage complexes ou les plans d’expérience hiérarchiques. Les situations emblématiques incluent les mesures répétées au sein des mêmes sujets au fil du temps (plans longitudinaux), les structures de grappes naturelles (élèves imbriqués au sein de classes scolaires, patients traités au sein des mêmes centres hospitaliers, ou membres d’une même fratrie). Ignorer cette non-indépendance engendre une sous-estimation systématique des erreurs-types, conduisant à des faux positifs et à des conclusions scientifiques trompeuses.

Lorsque des structures de dépendance intra-grappe sont identifiées dans le devis de recherche, le modèle logistique standard doit impérativement être adapté. Les méthodologies appropriées consistent à utiliser soit l’ajustement pour effets de grappes via l’option vce(cluster nom_grappe), soit l’estimation d’équations d’estimation généralisées (GEE avec xtgee), soit l’ajustement de modèles logistiques hiérarchiques à effets mixtes à l’aide de la commande melogit.

5. Implémentation pratique de la commande logit sous Stata

5.1. Syntaxe fondamentale et exécution du modèle de base

L’environnement Stata propose deux commandes fondamentales pour estimer une régression logistique binaire : la commande logit et la commande logistic. La commande logit constitue la formulation la plus académique et directe, produisant par défaut les coefficients de régression exprimés en termes de variations du logarithme de la cote (log-odds). La syntaxe de base respecte une structure universelle : le nom de la commande est immédiatement suivi par la variable dépendante binaire, puis par la succession ordonnée des prédicteurs indépendants :

logit low age lwt smoke ht

À l’exécution, Stata affiche d’abord le journal des itérations de l’optimisation numérique, illustrant l’évolution séquentielle de la log-vraisemblance jusqu’à ce que la convergence de l’algorithme de Newton-Raphson soit atteinte. Le tableau de sortie principal se divise ensuite en deux sections distinctes : l’en-tête synthétique et la matrice des coefficients estimés.

L’en-tête synthétique indique le nombre total d’observations valides incluses dans l’estimation (Number of obs), la statistique globale du test du rapport de vraisemblance (LR chi2), le nombre de degrés de liberté associé, la p-valeur globale du modèle (Prob > chi2), ainsi que l’indice de pseudo-R² de McFadden. La présence d’une valeur de Prob > chi2 inférieure à 0,001 démontre que le modèle incluant les covariables offre un ajustement statistique significativement supérieur à celui d’un modèle nul ne comportant que la seule constante.

5.2. Interprétation des coefficients bruts en termes de log-cotes

La matrice des résultats de la commande logit présente pour chaque variable explicative son coefficient brut estimé ($B$ ou $\beta$), son erreur-type asymptotique (Std. Err.), la statistique du test de Wald ($z = B / \text{SE}$) et la p-valeur bilatérale associée ($P > |z|$).

Le coefficient brut $B$ quantifie la variation attendue du logarithme népérien du rapport de cotes pour chaque augmentation unitaire de la variable explicative correspondante, toutes les autres variables du modèle étant maintenues strictement constantes. Par exemple, si le coefficient associé au statut tabagique de la mère (smoke) est estimé à $B = 0,69$, cela signifie que le fait de fumer est associé à une augmentation de 0,69 unité du log-odds d’avoir un nouveau-né de faible poids, comparativement aux femmes non fumeuses, à âge, poids maternel et antécédents d’hypertension constants.

La constante du modèle (notée _cons dans la sortie Stata) correspond au logarithme prédit de la cote lorsque l’ensemble des prédicteurs continus et catégoriels du modèle est rigoureusement fixé à zéro. Si cette valeur numérique n’a souvent que peu de pertinence concrète lorsque les prédicteurs n’incluent pas zéro dans leur domaine empirique naturel (comme l’âge ou le poids maternel), elle demeure mathématiquement indispensable pour calibrer le niveau de base des probabilités prédites.

5.3. Intervalles de confiance des paramètres logit

En accord avec les exigences contemporaines de l’inférence statistique et les recommandations de l’American Psychological Association, l’évaluation des associations ne saurait se réduire au verdict dichotomique de la valeur-p. L’analyse des intervalles de confiance à 95 % entourant les coefficients constitue un indicateur fondamental de la précision de l’estimation et de l’incertitude d’échantillonnage.

Sous l’hypothèse asymptotique de normalité des estimateurs du maximum de vraisemblance, l’intervalle de confiance bilatéral à $(1 – \alpha)%$ pour un coefficient $\beta_j$ est calculé par la formule classique :

$$\text{IC}_{1-\alpha}(\beta_j) = \hat{\beta}_j \pm z_{1 – alpha/2} \times \text{SE}(\hat{\beta}_j)$$

Dans Stata, l’option par défaut génère des intervalles à 95 % ($z_{0,975} \approx 1,96$). Le chercheur peut aisément modifier le seuil de couverture via l’option level(#), en spécifiant par exemple logit low age lwt smoke, level(99) pour obtenir un intervalle de confiance à 99 %.

L’interprétation de ces bornes fournit un éclairage substantiel : si l’intervalle de confiance englobe la valeur zéro, nous ne pouvons rejeter l’hypothèse nulle d’absence d’association au seuil d’erreur considéré. De surcroît, la largeur de l’intervalle informe directement le clinicien sur la précision de l’effet : un intervalle excessivement large traduit un manque de puissance statistique ou une colinéarité latente, alertant le chercheur sur la fragilité des conclusions issues de l’échantillon.

6. Estimation et interprétation des Odds Ratios avec la commande logistic

6.1. Exécution de la commande ‘logistic’ et équivalence avec ‘logit, or’

Bien que l’échelle des log-cotes soit mathématiquement fondamentale pour l’estimation linéaire, elle demeure contre-intuitive pour l’esprit humain et les praticiens cliniques. Pour faciliter la dissémination et l’interprétation concrète des résultats, la recherche biomédicale et comportementale s’exprime très majoritairement sur l’échelle des rapports de cotes (Odds Ratios ou OR). Dans Stata, l’obtention directe de ces ratios multiplicatifs s’opère au moyen de la commande dédiée logistic :

logistic low age lwt smoke ht

Sur le plan computationnel, l’exécution de la commande logistic est rigoureusement équivalente à l’appel de la commande logit complétée par l’option d’exponentiation :

logit low age lwt smoke ht, or

Les deux commandes exécutent exactement le même algorithme de maximisation de vraisemblance et aboutissent à une fonction de log-vraisemblance strictement identique. La seule différence réside dans la présentation finale de la colonne d’estimations : au lieu de publier le coefficient brut $\beta_j$, Stata applique une transformation exponentielle directe $\text{OR}_j = \exp(\beta_j)$. Il est à noter que l’intervalle de confiance publié pour l’Odds Ratio n’est pas calculé par l’addition de l’erreur-type sur l’échelle multiplicative, mais par l’exponentiation directe des bornes de l’intervalle de confiance calculé sur l’échelle logit, préservant ainsi la nature asymétrique de la distribution de l’Odds Ratio :

$$\text{IC}_{95%}(\text{OR}_j) = \left[ \exp(\hat{\beta}_j – 1{,}96 \times \text{SE}), , \exp(\hat{\beta}_j + 1{,}96 \times \text{SE}) \right]$$

6.2. Décodage approfondi des rapports de cotes pour prédicteurs continus

Pour décoder adéquatement la valeur d’un rapport de cotes issu d’une variable continue, il faut intégrer que la valeur neutre indiquant l’absence absolue d’association n’est plus 0, mais 1 ($exp(0) = 1$). Un Odds Ratio strictement supérieur à 1 signale que l’augmentation de la variable accroît la cote de survenue de l’événement ; inversement, un Odds Ratio strictement inférieur à 1 traduit un effet protecteur ou une réduction de la cote.

Le calcul du pourcentage d’accroissement ou de diminution proportionnelle de la cote s’obtient par la formule arithmétique simple : $(\text{OR} – 1) \times 100%$. Considérons un prédicteur continu tel que le poids initial de la mère (lwt), affichant par exemple un Odds Ratio de 0,985. L’application de la formule fournit : $(0{,}985 – 1) \times 100% = -1{,}5%$. Cela s’interprète rigoureusement comme suit : pour chaque livre supplémentaire de poids maternel initial, la cote d’accoucher d’un enfant de faible poids diminue en moyenne de 1,5 %, toutes choses étant égales par ailleurs.

Une précaution méthodologique majeure s’impose quant à l’échelle de mesure : un Odds Ratio de 0,985 par livre peut sembler dérisoire sur le plan clinique, mais un écart d’une seule unité est rarement cliniquement substantiel. Si le chercheur souhaite évaluer l’impact d’une augmentation de 10 unités de la variable continue, il ne doit jamais multiplier l’Odds Ratio par 10. La relation étant purement multiplicative, le nouvel Odds Ratio s’obtient par élévation à la puissance :

$$\text{OR}_{Delta=10} = (\text{OR}_1)^{10} = (0{,}985)^{10} \approx 0{,}859$$

Une augmentation de 10 livres de la mère est ainsi associée à une réduction de 14,1 % de la cote de faible poids de naissance.

6.3. Interprétation des Odds Ratios pour prédicteurs binaires

Pour un prédicteur dichotomique codé $0/1$, l’Odds Ratio quantifie le rapport direct entre la cote de survenue de l’événement chez les sujets exposés ($X=1$) et celle mesurée chez les sujets du groupe de référence ($X=0$) :

$$\text{OR} = \frac{\text{Cote}(Y=1 | X=1)}{\text{Cote}(Y=1 | X=0)}$$

Illustrons cette mécanique avec la covariable tabagique smoke, dont l’Odds Ratio ajusté s’établit par exemple à 2,02. Cette métrique signifie que la cote d’accoucher d’un enfant de faible poids chez les femmes fumeuses est 2,02 fois plus élevée que chez les femmes non fumeuses, après ajustement sur l’âge, le poids et les antécédents médicaux.

Une dérive interprétative omniprésente dans la littérature scientifique consiste à assimiler indûment l’Odds Ratio au Risque Relatif (Relative Risk ou RR). Le risque relatif compare des probabilités brutes ($\pi_1 / \pi_0$), tandis que l’Odds Ratio compare des cotes. Cette confusion sémantique conduit souvent les auteurs à prétendre que les femmes fumeuses ont « deux fois plus de risque » d’accoucher d’un enfant de faible poids, ce qui est mathématiquement inexact.

L’approximation de l’Odds Ratio au Risque Relatif ne s’avère recevable que sous l’hypothèse de maladie rare (rare disease assumption), énoncée par Jerome Cornfield en 1951. Lorsque la prévalence globale de l’événement dans la population d’étude demeure inférieure à 5 % ou 10 %, le dénominateur de la cote $(1 – \pi)$ est proche de 1, rendant l’Odds Ratio numériquement similaire au Risque Relatif. Dès lors que l’événement dépasse cette fréquence — ce qui est le cas dans notre base où la prévalence du faible poids avoisine 31 % —, l’Odds Ratio surestime systématiquement la force de l’association en s’éloignant de la valeur neutre plus rapidement que ne le fait le Risque Relatif.

7. Intégration et manipulation des variables catégorielles et des termes d’interaction

7.1. Utilisation de la notation factorielle ‘i.’ sous Stata

Dans la recherche empirique, les modèles statistiques intègrent couramment des variables catégorielles polytomiques comportant trois modalités ou plus (par exemple, le statut socio-économique ou l’origine ethnoculturelle). Auparavant, la prise en compte de ces facteurs exigeait la création manuelle et fastidieuse de multiples variables indicatrices muettes (dummy variables). Depuis plusieurs versions, Stata a introduit une syntaxe factorielle élégante reposant sur le préfixe i. :

logit low age lwt smoke i.race

La variable race comporte trois catégories (1 = Blanche, 2 = Noire, 3 = Autre). En appliquant le préfixe i.race, Stata traite automatiquement la première catégorie (la modalité dont la valeur numérique est la plus basse) comme le groupe de référence omis, et génère instantanément dans l’estimation les indicateurs associés aux modalités 2 et 3.

Le chercheur conserve une flexibilité totale pour redéfinir la catégorie de référence sans avoir à recoder ses données, en mobilisant l’opérateur de base ib.. Par exemple, pour stipuler que la modalité 2 doit servir de référence d’ancrage, il suffit de formuler :

logit low age lwt smoke ib2.race

Bien que la commande affiche la significativité individuelle de chaque modalité contrastée par rapport au groupe de référence, le chercheur doit évaluer l’effet global (omnibus) de la variable polytomique sur le modèle. Cette vérification post-estimation s’effectue via le test de Wald conjoint exécuté par la commande testparm :

testparm i.race

Ce test soumet à l’épreuve l’hypothèse nulle conjointe selon laquelle l’ensemble des coefficients associés aux modalités de la variable catégorielle est simultanément égal à zéro ($\beta_{\text{race}=2} = 0 \text{ et } \beta_{\text{race}=3} = 0$).

7.2. Modélisation des termes d’interaction (effet modérateur)

En psychologie et en sociologie comportementale, les effets d’un prédicteur sur une réponse dépendent fréquemment du contexte ou d’une caractéristique individuelle spécifique : c’est le phénomène de modération statistique. Sous Stata, la spécification d’effets modérateurs fait appel aux opérateurs factoriels d’interaction dièse (#) et double dièse (##) :

• c.age#i.smoke : génère uniquement le produit d’interaction entre la variable continue age et la variable binaire smoke.
• c.age##i.smoke : génère l’ensemble des effets principaux (l’effet principal de l’âge et du tabac) ainsi que leur terme d’interaction d’ordre supérieur. Cette dernière formulation est universellement préconisée pour respecter le principe d’hiérarchie marginale.
• i.race##i.smoke : permet d’estimer une interaction purement factorielle entre deux variables catégorielles.

Ajustons un modèle testant si l’effet de l’âge maternel est modéré par le statut tabagique :

logit low lwt c.age##i.smoke

L’évaluation du gain de performance procuré par l’introduction d’un terme d’interaction exige une comparaison rigoureuse par un test du rapport de vraisemblance entre le modèle sans interaction et le modèle enrichi, garantissant que l’augmentation de la complexité paramétrique se traduise par une amélioration statistiquement significative de l’adéquation aux données.

7.3. Analyse des pentes simples et effets conditionnels

L’interprétation directe du coefficient du produit d’interaction sur l’échelle logit ou sur l’échelle multiplicative s’avère particulièrement complexe et génère de réelles controverses méthodologiques, comme l’ont souligné Ai et Norton en 2003. Dans les modèles non-linéaires, l’effet d’interaction varie selon les valeurs absolues prises par l’ensemble des autres prédicteurs de l’équation.

Pour clarifier la nature de l’effet modérateur, il est nécessaire de décomposer l’interaction par l’analyse des pentes simples (simple slopes). L’outil computationnel fondamental sous Stata pour opérer cette dissection locale est la commande post-estimation margins. Nous pouvons requérir l’effet marginal de l’âge spécifiquement au sein du groupe des non-fumeuses, puis au sein de celui des fumeuses :

margins smoke, dydx(age)

Stata calcule la dérivée partielle de la probabilité par rapport à l’âge pour chaque strate tabagique, accompagnée de son erreur-type asymptotique dérivée par la méthode Delta. Cela permet d’identifier si l’effet prédictif de l’âge demeure cliniquement significatif dans les deux sous-populations ou s’il s’estompe chez les mères fumeuses. Pour des interactions continues-continues, la technique de Johnson-Neyman peut être approchée en évaluant l’effet marginal à une succession de points conditionnels prédéterminés via la commande margins, dydx(age) at(lwt=(80(20)200)).

8. Évaluation globale de l’ajustement du modèle et mesures de pseudo-R²

8.1. Le test du rapport de vraisemblance global (Likelihood Ratio Test)

L’évaluation globale d’un modèle logistique commence par la vérification de sa supériorité statistique comparativement à un modèle nul dépourvu de toute covariable explicative. Cette procédure s’appuie sur le test du rapport de vraisemblance (Likelihood Ratio Test ou LRT), fondé sur la différence des déviances.

La statistique formelle du test est définie par l’équation :

$$G = -2 \left[ ell(\hat{\beta}_{\text{restre\int}}) – ell(\hat{\beta}_{\text{complet}}) \right] = 2 \left[ ell(\hat{\beta}_{\text{complet}}) – ell(\hat{\beta}_{\text{restre\int}}) \right]$$

Sous l’hypothèse nulle stipulant que l’ensemble des coefficients associés aux prédicteurs est simultanément nul ($\beta_1 = \beta_2 = dots = \beta_k = 0$), la statistique $G$ suit asymptotiquement une distribution du Chi-deux dont les degrés de liberté correspondent à la différence entre le nombre de paramètres estimés dans les deux modèles concurrents ($df = k$).

Dans la pratique avec Stata, cette statistique est calculée et documentée automatiquement dans l’en-tête de la commande logit sous l’intitulé LR chi2(k). Pour comparer deux modèles emboîtés quelconques — par exemple, un modèle de base et un modèle enrichi d’un ensemble de covariables cliniques —, le chercheur fait appel à la commande dédiée lrtest :

quietly logit low age lwt
estimates store Modele_Base
quietly logit low age lwt smoke ht ptl
estimates store Modele_Complet
lrtest Modele_Base Modele_Complet

Une p-valeur associée inférieure au seuil alpha critique conduit au rejet univoque du modèle restreint, confirmant l’apport prédictif incrémental des variables additionnelles.

8.2. Les indices de pseudo-R² : McFadden, Cox-Snell et Nagelkerke

Contrairement au modèle de régression linéaire par MCO, il n’existe pas dans le cadre logistique de mesure unique et universelle de la part de variance expliquée. L’analogie avec le coefficient de détermination classique $R^2$ s’avère conceptuellement illusoire en raison de la nature dichotomique de la réponse. Les statisticiens ont par conséquent forgé diverses métriques de substitution, regroupées sous l’appellation de « pseudo-$R^2$ ».

Dans la sortie standard de Stata, l’indice affiché par défaut est le pseudo-$R^2$ de McFadden (souvent appelé rapport d’incertitude), calculé selon la formule :

$$R^2_{\text{McFadden}} = 1 – \frac{ell(\hat{\beta}_{\text{complet}})}{ell(\hat{\beta}_{\text{nul}})}$$

Ce ratio mesure l’amélioration proportionnelle de la log-vraisemblance procurée par le modèle spécifié par rapport au modèle réduit à la seule constante. Une propriété critique, souvent méconnue des analystes habitués à la régression ordinaire, réside dans l’échelle d’évaluation des valeurs de McFadden : des valeurs comprises entre 0,20 et 0,40 indiquent un ajustement empirique exceptionnel du modèle, équivalent sur le plan de la séparation à des $R^2$ linéaires oscillant entre 0,70 et 0,90.

D’autres formules de pseudo-$R^2$ sont couramment rapportées dans les publications biomédicales, telles que le $R^2$ de Cox et Snell et sa version ajustée, le $R^2$ de Nagelkerke (qui corrige la borne supérieure pour lui permettre d’atteindre théoriquement la valeur 1). Sous Stata, ces indicateurs complémentaires s’obtiennent immédiatement après l’estimation grâce au module communautaire populaire fitstat :

fitstat

L’affichage structuré qui en découle permet au chercheur d’appréhender la qualité de son ajustement à travers l’ensemble des prismes métriques reconnus par la communauté internationale.

8.3. Critères d’information pénalisée pour la sélection de modèles

Lorsque l’objectif méthodologique réside dans la comparaison de modèles théoriques non emboîtés (qui ne peuvent pas faire l’objet d’un test du rapport de vraisemblance classique), les critères d’information pénalisée s’imposent comme le standard de décision scientifique. Ces indices intègrent explicitement un arbitrage formel entre la qualité de l’ajustement aux données et le principe de parcimonie scientifique (rasoir d’Ockham).

Les deux métriques prééminentes sont le critère d’information d’Akaike (AIC) et le critère d’information bayésien (BIC), formalisés mathématiquement comme suit :

$$\text{AIC} = -2 \ln L + 2k$$

$$\text{BIC} = -2 \ln L + k \ln(n)$$

où $ln L$ désigne la log-vraisemblance maximisée, $k$ le nombre total de paramètres libres estimés, et $n$ la taille totale de l’échantillon analysé. Le terme de pénalité dans le BIC croissant de façon logarithmique avec la taille de l’échantillon, ce dernier pénalise beaucoup plus sévèrement l’adjonction de paramètres superflus que ne le fait l’AIC.

Dans Stata, la consultation synthétique de ces indices s’effectue au moyen de la commande post-estimation :

estat ic

La règle d’arbitrage comparatif est absolue : le meilleur modèle empirique est celui qui affiche les valeurs d’AIC et de BIC les plus faibles. Selon les critères d’inférence de Raftery, une différence de BIC ($\Delta\text{BIC}$) comprise entre 2 et 6 constitue une évidence modérée en faveur du modèle ayant le plus faible score, une différence de 6 à 10 fournit une évidence forte, et un différentiel excédant 10 apporte une évidence décisive.

9. Tests de diagnostic post-estimation et détection des observations influentes

9.1. Test de calibration de Hosmer-Lemeshow

La performance d’un modèle logistique s’évalue selon deux dimensions cardinales et indépendantes : sa calibration (la concordance entre les probabilités prédites et les fréquences empiriques observées) et sa discrimination (sa capacité à séparer adéquatement les sujets développant l’événement de ceux qui ne le développent pas).

Le test de calibration le plus universellement utilisé est le test d’adéquation de Hosmer-Lemeshow. Le principe de ce test consiste à ordonner l’ensemble des sujets selon leur probabilité prédite par le modèle, puis à partitionner l’échantillon en $g$ groupes de taille égale (habituellement des déciles de risque, $g=10$). Pour chaque strate, le test confronte les effectifs d’événements et de non-événements réellement observés aux effectifs mathématiquement attendus sous le modèle, calculant une statistique globale approchant le Chi-deux de Pearson.

Dans Stata, l’exécution s’effectue via la commande :

estat gof, group(10) table

L’option table expose de façon transparente les décomptes observés et attendus à travers les dix déciles de risque. L’interprétation méthodologique de la p-valeur issue de ce test requiert une vigilance particulière : contrairement aux tests usuels de significativité où le chercheur espère rejeter l’hypothèse nulle, le test de Hosmer-Lemeshow pose pour hypothèse nulle ($H_0$) un ajustement parfait entre les données réelles et le modèle théorique. Par conséquent, une p-valeur non significative (par exemple, $p > 0{,}10$ ou $p > 0{,}20$) est recherchée, car elle indique une absence de divergence systématique entre les prédictions du modèle et la réalité empirique.

Toutefois, ce test fait l’objet de critiques méthodologiques croissantes : il souffre d’une instabilité notable liée au choix arbitraire du nombre de groupes ($g$), d’un manque de puissance dans les cohortes restreintes, et inversement d’une sur-sensibilité conduisant à rejeter des modèles parfaitement acceptables dans les très grandes bases de données administratives.

9.2. Analyse de la sensibilité, spécificité et courbe ROC

Pour mesurer la capacité discriminante d’un modèle binaire, la première étape post-estimation consiste à projeter les probabilités prédites sur une table de classification binaire (la matrice de confusion), accessible sous Stata au moyen de la commande :

estat classification

Par défaut, cette procédure classe tout individu dont la probabilité prédite excède le seuil de coupure standard de $\hat{\pi} ge 0{,}5$ dans la catégorie positive, et calcule la sensibilité (proportion de vrais positifs détectés) ainsi que la spécificité (proportion de vrais négatifs identifiés). Cependant, l’utilisation aveugle du seuil arbitraire de 0,5 peut être trompeuse, en particulier lorsque la prévalence d’échantillon est fortement déséquilibrée.

L’instrument diagnostique suprême s’affranchissant du choix d’un seuil particulier est la courbe ROC (Receiver Operating Characteristic). Cette courbe trace l’évolution de la sensibilité (l’axe des ordonnées) en fonction du taux de faux positifs ($1 – \text{spécificité}$, sur l’axe des abscisses) pour l’intégralité du continuum des seuils de décision envisageables entre 0 et 1. La génération de ce graphique vectoriel s’opère instantanément sous Stata via :

lroc

La métrique synthétique fondamentale dérivée de cette analyse est l’Aire Sous la Courbe (Area Under the Curve ou AUC), également assimilée à la statistique $c$ de concordance. L’AUC varie théoriquement entre 0,5 (le modèle ne fait pas mieux qu’un tirage à pile ou face aléatoire) et 1,0 (discrimination parfaite sans aucune erreur de prédiction). Dans la littérature de référence en modélisation psychologique et clinique, l’interprétation s’appuie sur la classification de Hosmer et Lemeshow :

• $\text{AUC} in [0{,}70 ; 0{,}80[$ : discrimination acceptable.
• $\text{AUC} in [0{,}80 ; 0{,}90[$ : discrimination excellente.
• $\text{AUC} ge 0{,}90$ : discrimination exceptionnelle (bien qu’une valeur supérieure à 0,95 doive inciter à vérifier l’absence d’un biais d’incorporation ou de sur-ajustement).

9.3. Diagnostics des résidus, leviers et points influents

L’ajustement global d’un modèle peut masquer la présence de cas déviants ou d’observations atypiques dont le poids dans le processus de maximisation altère drastiquement les valeurs des estimateurs. Les diagnostics individuels post-estimation dans Stata permettent d’isoler ces observations déstabilisatrices à travers la génération de résidus standardisés et de métriques d’influence issues de la commande predict :

predict r_pearson, rpearson
predict r_deviance, deviance
predict h, hat
predict dbeta, dbeta

Les résidus de Pearson (rpearson) et les résidus de déviance (deviance) quantifient l’écart entre la valeur observée $y_i$ et la prédiction $\hat{\pi}_i$, corrigé de la variance binomiale. Les observations présentant des résidus absolus supérieurs à $|2|$ ou $|3|$ constituent des valeurs aberrantes suspectes d’une mauvaise adéquation locale du modèle.

L’effet de levier (leverage, stocké dans h) découle de la diagonale de la matrice de projection (matrice chapeau) et mesure l’éloignement d’une observation par rapport au centroïde des covariables dans l’espace multidimensionnel des prédicteurs. Un levier élevé combiné à un résidu substantiel engendre un point hautement influent.

La distance D de Cook pour la régression logistique, désignée sous le terme de delta-bêta (dbeta dans Stata), mesure la modification globale subie par le vecteur des coefficients $\beta$ lorsque l’observation $i$ est retranchée de l’échantillon. Un diagnostic graphique classique consiste à représenter la distance de Cook en fonction des probabilités prédites au moyen de la syntaxe :

predict p_pred, pr
scatter dbeta p_pred, mlabel(id) yline(1)

Toute observation dont le score dbeta approche ou dépasse l’unité exerce une force disproportionnée sur la stabilité du modèle et exige un audit qualitatif approfondi pour écarter toute erreur matérielle de saisie ou justifier son traitement méthodologique (analyses de sensibilité avec et sans l’observation déviante).

10. Calcul des probabilités prédites et représentations graphiques marginales

10.1. Estimation des effets marginaux avec la commande margins

Parce que la fonction logistique est intrinsèquement non-linéaire, l’impact effectif d’un prédicteur sur la probabilité finale d’un événement $\pi(X)$ n’est pas constant : il varie mathématiquement selon le positionnement de l’individu le long de la courbe sigmoïde. L’analyse exclusive des Odds Ratios dissimule souvent cette réalité concrète. Pour communiquer des résultats substantiels auprès des décideurs ou des cliniciens, le recours aux effets marginaux sur l’échelle des probabilités absolues est hautement recommandé.

Sous Stata, la commande margins s’impose comme le standard universel pour réaliser ces calculs d’effets marginaux. Deux postures conceptuelles fondamentales s’offrent au chercheur :

• Les effets marginaux aux moyennes (MEM – Marginal Effects at the Means) : cette approche calcule la dérivée partielle instantanée de la probabilité en fixant artificiellement l’ensemble des prédicteurs à leurs moyennes d’échantillon respectives : margins, dydx(*) atmeans. Cette méthode est toutefois critiquée car l’individu « moyen » ainsi construit est souvent une chimère théorique (par exemple, un individu qui serait à 45 % une femme et à 55 % un homme).
• Les effets marginaux moyens (AME – Average Marginal Effects) : considérée par l’ensemble des méthodologues comme l’approche la plus rigoureuse et réaliste, elle calcule l’effet marginal pour chaque observation individuelle de la cohorte réelle, puis calcule la moyenne arithmétique globale de ces pentes : margins, dydx(*).

Exécutons le calcul des effets marginaux moyens sur notre modèle :

margins, dydx(smoke age)

Si la sortie de margins rapporte pour le statut tabagique un effet dy/dx de $0{,}142$ avec un intervalle de confiance à 95 % de $[0{,}03 ; 0{,}25]$, cela s’interprète avec une limpidité clinique parfaite : le fait de fumer augmente la probabilité absolue d’avoir un enfant de faible poids de 14,2 points de pourcentage en moyenne sur la cohorte étudiée, toutes choses étant égales par ailleurs.

10.2. Visualisation graphique avancée avec marginsplot

L’un des atouts opérationnels majeurs de Stata réside dans l’intégration étroite entre le moteur de calcul analytique de la commande margins et son module de rendu visuel vectoriel marginsplot. Cette fonctionnalité permet de transformer instantanément des modélisations abstraites complexes en graphiques publiables dans des revues académiques de premier rang.

Supposons que nous souhaitions représenter l’évolution continue de la probabilité prédite de faible poids de naissance selon l’âge maternel, conditionnellement au fait que la mère soit fumeuse ou non fumeuse. Nous commençons par calibrer une grille de scénarios contrefactuels à l’aide de l’option at() au sein de margins :

margins smoke, at(age=(15(5)40))

Puis, nous lançons l’instruction graphique :

marginsplot, recast(line) recastci(rarea) ///
ciopts(color(%20)) ///
title("Probabilité prédite de faible poids néonatal") ///
xtitle("Âge maternel (années)") ytitle("Probabilité prédite P(Y=1)") ///
legend(order(1 "Non-fumeuse" 2 "Fumeuse"))

Ce script génère un tracé vectoriel dans lequel les prédictions sont affichées sous forme de lignes fluides continues (recast(line)), flanquées de bandes d’incertitude ombrées à 95 % semi-transparentes (recastci(rarea) ciopts(color(%20))). L’inspection visuelle immédiate des courbes permet d’appréhender le différentiel de risque absolu séparant les deux trajectoires et de déceler visuellement d’éventuelles zones de chevauchement où l’effet du tabagisme perdrait de sa significativité statistique.

10.3. Création de tables personnalisées de prédictions ajustées

En complément des visualisations continues, la commande margins permet de construire des profils cliniques types ou des scénarios prédictifs ciblés, répondant à des interrogations opérationnelles précises du type « Quelle est la probabilité prédite d’événement pour une mère âgée de 18 ans, présentant des antécédents d’hypertension et fumant pendant sa grossesse ? ».

La formalisation d’une telle requête sous Stata s’exécute par l’énonciation explicite des fixations factorielles :

margins, at(age=18 smoke=1 ht=1 lwt=110)

Stata délivre alors l’estimation ponctuelle ponctualisée de la probabilité d’événement conditionnelle, encadrée par son erreur-type exacte et son intervalle de confiance à 95 %. Ces estimations ajustées pour des sous-profils spécifiques sont particulièrement prisées pour la constitution d’outils d’aide à la décision clinique, pour la communication des risques auprès du grand public ou pour alimenter des rapports psychologiques appliqués destinés à des praticiens non statisticiens, en évitant le jargon abstrait des cotes et des log-odds.

11. Gestion des violations d’hypothèses et modèles logistiques alternatifs

11.1. Erreurs-types robustes et correction de l’hétéroscédasticité

L’estimation classique par le maximum de vraisemblance repose sur la prémisse stricte que la fonction de log-vraisemblance postulée est la vraie loi génératrice des données. Dans la réalité empirique, des formes résiduelles de surdispersion, des écarts à la loi binomiale ou des misspecifications mineures de la variance conditionnelle peuvent survenir, compromettant l’exactitude des erreurs-types standards et conduisant à des inférences statistiques trop optimistes.

Pour parer à cette vulnérabilité, Stata permet de substituer à l’estimateur de variance conventionnel l’estimateur « sandwich » de Huber-White, universellement désigné sous le vocable d’erreurs-types robustes. Son implémentation s’effectue simplement par l’adjonction de l’option vce(robust) :

logit low age lwt smoke ht, vce(robust)

Il est fondamental de souligner que l’estimateur robuste ne modifie en rien la valeur numérique des coefficients ponctuels $\beta$ ni des Odds Ratios : seule la matrice de variance-covariance des estimateurs est recalculée. Les erreurs-types obtenues sont dites hétéroscédasticité-consistantes, ce qui immunise les tests de Wald et les intervalles de confiance contre diverses violations de la structure des résidus.

Dans les contextes d’échantillonnage où des corrélations intra-groupes sont suspectées (comme des patients traités au sein de plusieurs centres cliniques identifiés par la variable id_clinique), la variante en grappes doit impérativement être spécifiée via l’option vce(cluster id_clinique), garantissant que l’estimation asymptotique prenne fidèlement en compte la dépendance statistique au sein de chaque pôle hospitalier.

11.2. Données rares et régression logistique pénalisée de Firth

Lorsque la taille d’échantillon globale est faible, que la prévalence de l’événement est extrêmement basse (phénomène des événements rares, typique de pathologies rares ou de comportements hautement atypiques), ou que les données manifestent un problème de séparation quasi-complète, l’estimateur standard du maximum de vraisemblance est lourdement biaisé en s’éloignant excessivement de zéro (finite-sample bias).

Pour neutraliser ce biais systématique, David Firth a conceptualisé en 1993 une méthode mathématique élégante consistant à pénaliser la fonction de log-vraisemblance par l’information de Jeffreys :

$$ell^*(\beta) = ell(\beta) + \frac{1}{2} \ln |I(\beta)|$$

où $|I(\beta)|$ désigne le déterminant de la matrice d’information de Fisher. Cette pénalisation introduit une force de rappel qui recentre les coefficients vers zéro et garantit l’existence d’estimations finies et univoques même en présence d’une séparation linéaire absolue.

Sous Stata, cette méthodologie n’est pas présente dans les commandes natives de base mais s’installe facilement via le dépôt communautaire du Boston College :

ssc install firthlogit
firthlogit low age lwt smoke ht

L’utilisation de firthlogit résout instantanément les divergences vers l’infini des coefficients et restaure des erreurs-types d’une parfaite plausibilité numérique, constituant la panacée méthodologique face aux échantillons cliniques restreints à faible taux d’événements.

11.3. Extensions vers les modèles multinomiaux et ordinaux

Lorsque la variable de réponse dépasse le cadre dichotomique pour embrasser des échelles polychotomiques à trois modalités ou plus, le chercheur doit étendre son architecture de modélisation vers les modèles logistiques généralisés disponibles dans Stata.

Si la variable dépendante est purement nominale sans hiérarchie sous-jacente (par exemple, le choix entre trois orientations psychothérapeutiques : cognitivo-comportementale, psychanalytique ou systémique), la commande adéquate est la régression logistique multinomiale :

mlogit orientation age stress, baseoutcome(1)

Le modèle estime simultanément un ensemble d’équations logit log-linéaires contrastant chaque modalité par rapport à la catégorie définie comme référence (baseoutcome).

Si, en revanche, la variable dépendante est ordonnée — ce qui est le cas archétypique des échelles de Likert en psychométrie (par exemple : sévérité d’un trouble codée « nulle », « légère », « modérée », « sévère ») —, l’outil méthodologique de choix est le modèle à cotes proportionnelles ou régression logistique ordinale :

ologit severite age duree_trouble

L’application de la régression ordinale requiert la vérification impérative du postulat de cotes proportionnelles (l’hypothèse de parallélisme des pentes à travers les seuils de coupure). Sous Stata, ce postulat peut être testé post-estimation à l’aide de la commande omodel logit ou via le test de Brant (brant, detail). Si ce postulat est rejeté, le chercheur devra s’orienter vers des modèles de cotes proportionnelles généralisés partiels (implémentés par la commande gologit2).

12. Rédaction des résultats selon les normes académiques et standards de publication (APA)

12.1. Structuration narrative du texte selon les directives APA 7

La communication des résultats d’une régression logistique dans un article soumis aux standards de publication académiques de l’American Psychological Association (APA 7th edition) exige une transparence absolue et une précision métrique rigoureuse. La narration doit impérativement articuler les coefficients non standardisés ($B$), leurs erreurs-types associées ($SE$), les valeurs des statistiques de test ($z$ ou de Wald), les degrés de liberté, les niveaux exacts de significativité statistique ($p$) ainsi que les Odds Ratios exponentiés ($OR$) assortis de leurs intervalles de confiance à 95 % ($IC_{95%}$).

Voici un gabarit narratif académique exemplaire prêt à l’insertion :

« Une régression logistique binaire multivariée a été ajustée afin de tester la capacité prédictive des caractéristiques comportementales et médicales de la mère sur la probabilité de survenue d’un faible poids de naissance chez le nouveau-né. L’adéquation globale du modèle s’est avérée statistiquement hautement significative comparativement au modèle nul, $\chi^2(4) = 22{,}85$, $p < 0{,}001$, avec un pseudo-$R^2$ de McFadden de $0{,}10$ et une capacité discriminante satisfaisante attestée par une aire sous la courbe ROC de $0{,}73$ ($IC_{95%} [0{,}65 ; 0{,}81]$). Le test d'adéquation de Hosmer-Lemeshow n'indique aucune divergence significative entre les effectifs observés et prédits, $\chi^2(8) = 7{,}42$, $p = 0{,}492$, confirmant une calibration robuste du modèle. »

« L’analyse des effets uniques révèle que le statut tabagique de la mère au cours de la gestation est positivement et significativement associé à la cote d’un faible poids néonatal, $B = 0{,}70$, $SE = 0{,}32$, $z = 2{,}19$, $p = 0{,}028$, $OR = 2{,}02$, $IC_{95%} [1{,}08 ; 3{,}79]$. Les mères fumeuses affichent ainsi une cote d’accoucher d’un enfant de faible poids plus de deux fois supérieure à celle des non-fumeuses, à âge et poids maternels constants. En revanche, l’âge de la mère n’exerce pas d’effet prédictif statistiquement significatif dans ce modèle ajusté, $B = -0{,}02$, $SE = 0{,}03$, $z = -0{,}76$, $p = 0{,}448$, $OR = 0{,}98$, $IC_{95%} [0{,}93 ; 1{,}04]$. »

12.2. Construction de tableaux de régression professionnels avec outreg2 ou asdoc

La dissémination académique proscrit formellement la capture d’écran brute des sorties de Stata. La présentation des données quantitatives doit s’incarner dans des tableaux d’une typographie irréprochable conformes aux normes APA : absence absolue de lignes verticales de séparation, usage parcimonieux de lignes horizontales délimitant l’en-tête et le pied de table, et alignement scrupuleux des décimales.

L’automatisation de la création de tels tableaux sous Stata s’opère couramment à l’aide de packages communautaires réputés comme outreg2 ou asdoc. Le module outreg2 permet d’exporter directement les modèles dans des formats éditables (.doc ou .docx) tout en orchestrant la présentation hiérarchique de modèles emboîtés successifs (par exemple, un premier modèle univarié non ajusté suivi du modèle multivarié pleinement ajusté) :

ssc install outreg2
quietly logit low smoke
outreg2 using resultats_logit.doc, replace ctitle(Modèle 1) eform bdec(2) sdec(2)
quietly logit low smoke age lwt ht
outreg2 using resultats_logit.doc, append ctitle(Modèle 2) eform bdec(2) sdec(2) stats(coef ci)

L’option eform impose à outreg2 d’exporter les résultats sous forme d’Odds Ratios plutôt que de coefficients bruts, tandis que l’argument stats(coef ci) consigne élégamment les bornes de l’intervalle de confiance directement en dessous de chaque estimation ponctuelle. Le bas du tableau exporté consolide l’ensemble des métriques d’ajustement global (taille d’échantillon $N$, log-vraisemblance, pseudo-$R^2$, AIC), conférant au manuscrit un professionnalisme éditorial absolu.

12.3. Directives de science ouverte, reproductibilité et conservation des do-files

Dans le paradigme contemporain de la science ouverte (Open Science), la publication d’un article scientifique implique la mise à disposition transparente du code computationnel permettant la réplication exacte des inférences numériques rapportées. L’intégralité du pipeline d’analyse sous Stata doit impérativement être rédigée, articulée et archivée au sein d’un fichier de script unique (fichier do-file).

Un do-file rigoureusement conçu obéit à plusieurs canons méthodologiques fondamentaux :

• Initialisation et environnement : ouverture systématique par les commandes de réinitialisation de l’environnement (clear all, macro drop _all), de paramétrage de la pagination console (set more off) et d’enregistrement de l’historique complet des calculs via un fichier journal (log using journal_analyses.log, replace).
• Fixation de la reproductibilité stochastique : si le script convoque des algorithmes d’échantillonnage aléatoire (bootstrapping, imputations multiples, partitions de validation croisée), il est impératif de fixer la graine du générateur de nombres pseudo-aléatoires au moyen de l’instruction set seed 12345.
• Modularité et documentation interne : structuration du script en sections logiques clairement commentées (1. Importation et nettoyage, 2. Diagnostics des postulats, 3. Modélisation principale, 4. Diagnostics post-estimation, 5. Exportation graphique et tabulaire).

Le dépôt conjoint de ce fichier do-file scrupuleusement auditable et du dictionnaire de données sur des plateformes pérennes de science ouverte telles que l’Open Science Framework (OSF) ou Zenodo garantit la parfaite reproductibilité computationnelle de vos recherches et atteste de l’intégrité déontologique de votre démarche scientifique.

Références

Ai, C., & Norton, E. C. (2003). Interaction terms in logit and probit models. Economics Letters, 80(1), 123–129. https://doi.org/10.1016/S0165-1765(03)00032-6

Albert, A., & Anderson, J. A. (1984). On the existence of maximum likelihood estimates in logistic regression models. Biometrika, 71(1), 1–10. https://doi.org/10.1093/biomet/71.1.1

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7th ed.). American Psychological Association. https://doi.org/10.1037/0000165-000

Cornfield, J. (1951). A method of estimating comparative rates from clinical data; applications to cancer of the lung, breast, and cervix. Journal of the National Cancer Institute, 11(6), 1269–1275. https://doi.org/10.1093/jnci/11.6.1269

Firth, D. (1993). Bias reduction of maximum likelihood estimates. Biometrika, 80(1), 27–38. https://doi.org/10.1093/biomet/80.1.27

Harrell, F. E. (2015). Regression modeling strategies: With applications to linear models, logistic and ordinal regression, and survival analysis (2nd ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-19425-7

Hosmer, D. W., Lemeshow, S., & Sturdivant, R. X. (2013). Applied logistic regression (3rd ed.). John Wiley & Sons. https://doi.org/10.1002/9781118548387

Long, J. S., & Freese, J. (2014). Regression models for categorical dependent variables using Stata (3rd ed.). Stata Press.

McFadden, D. (1974). Conditional logit analysis of qualitative choice behavior. In P. Zarembka (Ed.), Frontiers in econometrics (pp. 105–142). Academic Press.

StataCorp. (2023). Stata base reference manual: Release 18. Stata Press. https://www.stata.com/manuals/r.pdf